有限差分法分析电磁场边值问题(定稿)

第 1 章 绪  论 1.1 电磁场理论产生的背景及其意义 电磁场理论是人类探索自然活动的结晶和宝贵财富。人类认识电磁场运动规律的道路是漫长而曲折的。早在两千多年前，人类就有了关于磁石和摩擦起电的知识，我们祖先发明的指南针，为人类文明作出了不朽的贡献。但是，将电磁场现象系统地上升为理论的研究并加以应用则是18世纪中叶，特别是19世纪中叶以后的事情。1771——1773年，卡文迪许（Henry Cavendish;1731_1810）进行了著名的静电实验，库伦（Chareles-Augustinde Coulomb，1736——1806）于1785年建立了关于静电和静磁的平方反比定律，这标志着电学和磁学定量研究的开始。此后，人们对电和磁现象进行了大量的观察和实验研究，其中，最著名的是伽伐尼（L.Calvani，1737——1798）在解剖青蛙是注意到青蛙腿的痉挛现象，从而发现电流；伏特（Alessandro Volt，1745——1827）用电化学方法产生了稳定的电流（即伏特电池）。随后，欧姆（georg Simon Ohm，1789——1854）和基尔霍夫（Gustav Robert Kirchhoff，1824——1887）分别建立了后来用他们名字命名的电路定律。在很长的时期内，人们把电和磁看成是相互独立的现象，并不知道他们之间有什么联系。直到1820年奥斯特（Hans Christian Oersted，1777——1851）发现电流可使磁针偏转，级电流可产生磁力，才开始了将点与磁联系起来的研究。1825年，安培（Andrc Maric Ampere，1775——1836）提出了确定两电流之间相互作用及载流导体能受到磁力作用的定律，即安培定律，毕奥（Biot）和萨法尔（Savart）确定了磁场和电流之间的定量关系，即毕奥-萨法尔定律。到此为止，人们一直都还是在静止的或恒定的状态下研究电磁现象。电磁学研究的一个重大发展史，1831年法拉第（Michael Faraday，1791——1867）发现电磁感应现象，这是人们第一次对随时间变化的电磁场进行研究。电磁感应定律一方面推动了电磁在 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 中的应用，另一方面它是电磁理论的一块基石。1864年，麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831——1879）在总结前人发现的实验定律的基础上，进行了创造性的理论研究工作，建立了后来以他名字命名的麦克斯韦方程组，从而创立了完整的电磁理论体系[1]。 麦克斯韦电磁理论体系的建立，是19世纪人类文明史上的重大事件，它标志着人类文明迈进了电的时代。紧随其后，1866年，西门子（William Siemens，1823——1883）发明了发电机；1876年，贝尔（Alexander Graham Bell，1847——1922）发明了电话；1879年，爱迪生（Thomas Alva Edison，1847——1931）成功地做了电磁波实验，对麦克斯韦方程组的正确性提供两块实验依据。赫兹实验后不到6年，意大利工程师马可尼（G.Marconi，1874——1937）和俄国的波波夫（A.S.Popov，1859——1906）分别实现了无线电远距离传播，并很快投入实际应用。其后，无线电报（1894年）、无线电广播（1906年）、导航（1911年）、微波通信（1933年）、雷达（1935年）以及近代的无线电遥测、遥控、卫星通信、光纤通信等如雨后春笋般涌现出来。 一个多世纪以来，由电磁学发展起来的现代电子技术已应用在电力工程、电子工程、通信工程、计算机技术等多学科领域。电磁理论已广泛应用于国防、工业、农业、医疗、卫生等领域，并深入到人们的日常生活中。今天，电磁场问题的研究及其成果的广泛运用，已成为人类社会现代化的标志之一。 1.2 电磁场边值问题计算方法的重要性 在一个电磁系统中，电场和磁场的计算对于完成该系统的有效 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 师极端重要的。例如，在系统中，用一种绝缘材料是导体相互隔离是，就要保证电场强度低于绝缘介质的击穿强度。在磁力开关中，所要求的磁场强弱，应能产生足够大的力来驱动开关。在发射系统中进行天线的有效设计时，关于天线周围介质中电磁场分布的知识显然有实质性的意义。 为了分析电磁场，我们可以从问题所涉及的数学 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 入手。依据电磁系统的特性，拉普拉斯方程和泊松方程只能适合于描述静态和准静态（低频）运行条件下的情况。但是，在高频应用中，则必须在时域或频域中求解波动方程，以做到准确地预测电场和磁场，在任何情况下，满足边界条件的一个或多个偏微分方程的解，因此，计算电池系统内部和周围的电场和磁场都是必要的。 电磁场理论早期主要运用在军事领域，其发展和无线电通信、雷达的发展史分不开的。现在，电磁场理论的应用已经遍及得学、生命科学和医学、材料科学和信息科学等几乎所有的科学技术领域。计算电磁场研究的内容涉及面很广，与电磁场工程、电磁场理论互相联系，互相依赖。对电磁场工程而言，计算电磁场要解决的是实际电磁场工程中越来越复杂的建模与仿真、优化设计等问题；而电磁场工程也为之提供实验结果，以验证其计算结果的正确性。对电磁场理论而言，计算电磁场可以为其研究提供进行复杂的数值及解析运算的方法、手段和计算结果；而电磁场理论这为计算电磁场问题提供了电磁规律、数学方程，进而验证其计算结果，计算电磁场对电磁场理论发展的影响不仅仅是提供一个计算工具而已[2]，而是使整个电磁场理论发生了革命性的变化。毫不夸张地说，近二三十年来，电磁场理论的发展，无一不是与计算电磁场的发展相联系的。目前，计算电磁场已成为对复杂体系的电磁规律、电磁性质进行研究的重要手段，为电磁场理论的深入研究开辟了新的途径，并极大地推动了电磁场工程的发展。 第 2 章 电磁场边值问题计算方法 常用的计算电磁场边值问题的方法主要有两大类，其每一类又包含若干种方法，第一类是解析法；第二类是数值法。对于那些具有最简单的边界条件和几何形状 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf 的（如矩形、圆形等）问题，可用分离变量法和镜像法求电磁场边值问题的解析解（精确解），但是在许多实际问题中往往由于边界条件过于复杂而无法求得解析解。在这种情况下，一般借助于数值法求解电磁场的数值解。 2.1 解析法 电磁学是一门古老而又不断发展的学科。经典的数学分析方法是近百年来电磁学学科发展中的一个极为重要的方法。解析法包括建立和求解偏微分方程或积分方程。严格求解偏微分方程的经典方法是分离变量法 ,即在可分离变量的坐标系中求解 Maxwell 方程组或其退化形式 ,最后得到解析解。严格的求解积分方程的方法主要是变换数学法. 例 1 　一无限长直接地金属槽 ,其三壁电势为零 ,顶盖与三壁绝缘且电势为V0sin x，其中V0=100 V ,截面长宽分别为 a = 10 cm 和 b = 5 cm ,如图2-1 所示. 求金属槽内的电势分布。 图 2-1 　金属槽截面 分析 　金属槽无限长 , 故槽内电势与坐标 z无关.  由于槽内各点上电荷密度 ρ = 0 , 槽内电势满足二维直角坐标系中的拉普拉斯方程及其边界条件 : 应用分离变量法 , 得到满足方程 ( 1 ) 和边界条件式(2)—式 (4) 的解的形式为 （2.1.6） 带入边界条件（5）得 V0sin x=                       （2.1.7） 比较系数得： ，                         （2.1.8） 槽内电势的解析解为 解析法的优点是： 可将解答表示为已知函数的显式，从而计算出精确的数值结果； 可以作为近似解和数值解的检验 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ； 在解析过程中和在解的显式中可以观察到问题的内在联系和各个参数对数值结果所起的作用。 但解析法也存在严重缺点，主要是，它仅能解决很少量的问题。事实上，只有在为数不多的坐标系中才能分离变量，而用积分方程法是往往求不出结果，致使分析过程既困难又复杂。例如，对标量赫姆霍兹方程，只有在11种坐标系下才能用分离变量法求解。如果边界面不是在11种坐标系中1个坐标系的1个坐标面或该坐标系的几个坐标面的组合，或者边界条件不是第一类边界条件（该标量在边界上的值为已知）或不是第二类边界条件（该标量在边界上沿法线方向的空间导数为已知），则分立变量就不能用。又如，只有当积分方程中的核是某些形式时，才能用变换数学法来严格求解。 2.2 数值法 数值法用高性能的计算机就可直接以数值的、程序的形式代替解析形式来描述电磁场的问题。在数值法中，通常以差分代替微分，用有限求和代替积分，这样，就将问题化为求解差分方程或代数方程问题。这方面的例子如有限差分法（FDM）。 数值法与解析法比较，在许多方面具有独特的优点。 普适性强，用户拥有的弹性大。一个特定问题的边界条件、电气结构、激励等特性可以不编入基本程序，而由用户输入，更好的情况是通过图形界面输入。 用户不必具备高度专业化的电磁场理论、数学及数值技术方面的知识就能用提供的程序解决实际问题。 数值法的出现，使电磁场边值问题的分析研究从解析的经典方法进入到离散系统的数值分析方法，从而使许多解析法很难解决的复杂电磁场边值问题，有可能通过电磁场的计算机辅助分析获得很高精度的离散解（数值解），同时可极大地促进各种电磁场数值计算方法的发展。 数值法的缺点是数据输入量大、计算量大、受硬件条件的限制。原则上，数值法可以求解具有任何复杂几何形状、复杂材料的电磁场工程问题。但是，在工程应用中，由于受计算机存储容量、执行时间以及解的数值误差等方面的限制，数值法在解大型复杂的电磁场工程问题时也难以完成任务。 可以说数值法的发展大致分为两个阶段。起发展初期，是研究“解决得了”的问题，也就是研究该数值法能否应用于各个学科分支领域；而其发展后期，是研究“解决得好”的阶段，即探讨解决工程实际问题的各种改进方法、手段及相应的计算技术。近期的数值法研究中的大量工作都是为了实现这一目标。有的研究在小机器上计算大问题；有的研究减少内存占用，加快计算速度；还有的研究在一定程度上减少自由度和计算工作量；而最新的发展动向是研究高效的并行数值算法。 第 3 章 有限差分法 微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替， 这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组 ，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解[3]。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。 有限差分法的主要内容包括[4]：如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。关于差分格式的构造一般有以下3种方法。最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。