数学研究性学习对数学思维品质的培养
培英学校 王玉梅
本文拟就在数学实践中进行"研究性学习"的内容、特征、策略，浅谈对学生数学 思维品质的培养。
数学研究性学习与数学思维品质
研究性学习是近几年来新兴的一个领域。今天倡导的研究性学习，是在提倡主体性教育与创新教育理念下，又是在被认为我国教育忽视学生个性发展的背景下提出的。研究性学习的提出对最为科学眼睛的数学又提供了一个新的契机。荷兰 数学家弗赖登塔尔说过. "数学知识即不是教出来的，也不是学出来的，而是研究 出来的。"可见这一新理念将给数学教育的改革与发展一个新方向-----数学研究性学习。
数学研究性学习广义上理解是一种数学学习理念、策略、基本思想和方法。 以学生动手、动脑，主动探索实践和相互交流为主要学习方式，通过学生自身的 思维活动，获取数学知识和能力，使每个学生独特个性健全发展。它可渗透于数 学学习所有活动中。狭义上讲是一种数学专题研究活动。是指学生在教师的指导 下，从自然现行、社会现象和自我生活中选择和确定数学研究专题，并在研究过 程中主动训练数学思维获取数学知识，以解决问题的学习活动。经过几年间的反复探索，研究性学习已经呈现出多种模式，探究式教学，变式教学，问题式教学，题组式教学……但从研究性学习开设的目的来看，无论是一种学习方式还是一种专题研究活动，都是为了改变学生 单纯接受教师传授为主的学习方式，为学生提供开放环境，在实践中获取知识同时把知识应用于实践，最终目的是培养学生创新精神和实践能力，发展学生个性。[1]学生学习数学，不仅要掌握教学大纲规定的数学知识、技能和能力，而且要掌握 数学思维方法，促进思维发展。因此，在数学教学过程中，培养思维能力应该是培养一切能力的核心。数学研究性学习作为数学教学的一部分，它的目的就是发展数学思维，培养创新能力。
我们所说的数学思维能力反映在数学思维品质上。数学思维品质是数学思维结构中的重要部分。思维品质是评价和衡量学生思维优劣的重要标志，因此在数学学习中要重视对学生良好的思维品质的培养。
数学研究性学习作为数学学习的一部分，在这方面有着其他学习方式无法比拟的优势，它着重学习过程，学习体验，知识应用，学生参与，这些都为培养学 生数学思维品质打好了基础。研究性学习通过内容选择，过程策划，拓宽视野，打破界限，在学生的实践探索中激发和培养他们多种优良的数学思维品质。
一 数学研究性学习对智力思维品质的培养
智力思维品质是思维品质的主体，是思维品质的主要方面，对评价思维能力起 决定作用.
1根据因果，纵向进退，培养思维的深刻性
研究性学习重参与，它的主体性使学生的思维潜力得到充分的发挥，使学生能深刻认识事物，要克服思维的表面性、绝对化，从而产生新看法、新结论，所以有利于对数学思维深刻性的培养。这种新的学习方式区别以往学生接受式学习， 它强调学生按其自己的思维逻辑，发现解决问题。人认识问题通常受到问题本身的制约和问题背景的制约。研究性学习正是解决问题，深层进退，在整个思维过 程中培养深刻性。
例 在我们的实际生活中，在生意兴隆的购物街，我们经常能听到这样的叫卖声 "清仓处理，五折优惠，走过路过不要错过……"这声音用录音机播放，一遍一遍似乎永不休止，那这样重复的"噪音"是怎么形成的呢?
Ⅰ 抓住本质，引导学生提出
方案
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，开始时学生思维发散想法很多，但要抓住本质， 整个录音是对同一声音的重复，那么先直接录入这段声音，接着可以用两台录音 机相互反复播音和录音。
Ⅱ寻找数学知识作为切入点，这里的知识点是数列，头脑中沿这条思路前进，不中途转换思路，设第一步录入声音遍数记为UI 第二步录入声音遍数记 U2第三步 录入声音遍数记为U3……_第n步录入声音遍数记为Un
UI=l U2 =1 U3= 2 U4 =3 Us =5 U6 =8 U7 =13……
Ⅲ 通过思维的深入找出各项问联系，这个数列是Un =Un-1 +Un-2 (n
3) 这是著名的斐波那契数列，在我们数列学习中占有相当大地位。
Ⅳ 思维继续深入，由己知数据，联系数学概念定理，联系数学概念定理，得出通项
，要求学生进行证明。
Ⅴ 深层挖掘，问题"若吆喝一遍叫卖声，连同中间的停顿一共需要10s，那末录一盒长为一小时的磁带需要操作几步? " (留读者思考)
由上例中可以看出研究性学习重在寻找问题中的思维方向，而非问题结果。思维的深入通过一个个知识点和技能点来进行，这种深入带有明显的指向性。因为，这一个个点实际上就是我们思维的出发点，思维在点的基础上纵向进退，对问题进行深化研究。思维逐步深入，对问题的认识也逐步深入，透过现象看本质，可能发现别人不能发现的问题，这是创新思维的重要环节。
2 一题多解，横向转换，培养思维的灵活性
话说条条大路通罗马，问题解决也不是只有一种。研究性课题通过选择开放性问题或在教学中设置多解题型来培养学生思维的灵活性。就像挖一口井，我们选择一个点(知识点或技能点) ，挖了很深仍没有出水，那我们就应该马上放弃， 另辟新址，不可贪图那口挖了半截但位置错误的枯井。这就是我们所说的横向转换，不断从一个思路跳到另一个思路，直到找到合适的方案和对策。
（1） 开放性题型
例 一工厂需从1mx 1m的钢板上冲压直径为O.lm圆形铁片，怎样安排冲压头 最省材料?如果冲压半径为R的圆盘，最大个数是多少?
Ⅰ放开学生思路，使其任意想象，学生思维马上活跃起来，排列方法玲琅满目(如图)，在这些方案中，由学生的直觉思维就可排除一些"浪费材料"方案。
[1]方案一 [2]方案二 [3]方案三 [4]方案四
II对公认的两种最优方案(图1图2)进行讨论o设圆盘半径为r，圆盘个数为N
(1)方形排列r=O.05m N=IOO
(2)三角形排列r=O.05m N=I05
显然，三角形排列最优
III 那么对于半径为R的圆盘是不是也是三角形排列最优呢?下面再次启发学 生，使其思维再度活跃。
1.设第一行能排n个，则对于方案一，N=n2.
2.在三角形排列中，设有m排，
其中
由此，学生可以自己比较当R的取值不同，哪种方案优化，在这里就不深入探讨。我们要强调的是这类问题本身没有所谓"正确结果"，评判问题 解决好坏的
标准
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是思维方向选择的优良，多种方法，多个结果，方法不同， 结果差异。通过对结果的比较，得出最优做法，也就是最优思维。通过这种方法是学生体会到思维切入点不同，对问题解决的彻底性不同。
(2)一题多解
在研究性学习中使学生体会思维灵活性在处理问题中的重要性，我们还提倡的"一题多解"。能作到对具体问题具体分析，即时调整原有思维过程和方法，寻找解决问题的新途径。思维不局限于固定程式或模式，具有较强应变能力
例 在三角形ABC中，
2CD 对题中结构和形式观察，对隐含条件挖掘，有意识引导学生联想，构造，培养灵活性
解法一（图1）延长AC到E点使AC=CE
过E作AB垂线且交子M点，过C点作 AC边垂线交AB于N点，连接EN
那么思路将很清晰EM=2CD EN>2CD EN2CE
解法三（图2）
CD2=BD.DF
BF2>=4CD2 AB>2CD
解法四 （图3） 以AB为直径作圆
∠C>900 C在圆内CDCD
解法五 反证法设AB<2CD取AB中点E
AE=BE 2CD
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
这样一组例题。
1，确定
在
上的单调性
2，确定
上的单调性
3，
当x 在
上为增函数，则a范围
4，
上单调递增，则a范围
5，
的值域为R，且f(x)在
上单调递增，则a范围
6，若函数
在区间
上为减函数，求
的取值范围；
当然这涉及了二次函数的单调性，在开口确定情况下，以轴为分类标准，同时不断变式，结合对数函数构造复合函数，以增加题的难度。这样的题组教学可以说是研究性学习的一个课堂实践吧，对培养思维灵活性是非常有益的。
3知识迁移，增加视角，培养思维的广阔性
数学研究性学习有广阔的知识背景，为思维的有机重组提供了宽广空间，一个问题，一个知识点，决不会是孤零零的存在的，这就要求学生在思考过程中，增加各种可采用视角，扩大范围，把对象放到大环境中去考察，从而有可能发现更多属性，它体现的就是思维的广阔性。
(1) 创设情景题型
例 在学习函数及其图象时，根据选择中学生上网热，设计一个研究性课题"上网方式与费用研究"
Ⅰ学生收集相关资料，这个课题有丰富的研究背景，开拓学生视野。如:上网的方 式有哪些?上网的费用如何?手机入网的类别与价格?储蓄与利率?
Ⅱ研究讨论，制表。
上网方式
基本费用
时间限额
超时收费标准
163
普通
一一一一
按时间计费2/h
拨号
A类
50元/月
包当月50小时
1，网络使用0.8兀/h
上网
H类
30元/月
包当月30小时
2，通信费0.02兀/分钟
D类
200元/月
包当月上网和
普通市话费
ADSL
512k
70元/月
一一一一
宽带
2M
90元/月
Ⅲ优化方案，运用知识，找出上网费用与时间的函数。
1
y=2t
t≧0
2
50
50+2(t-50)
0≦t≦50
t≧50
3
30
30+2(t-30)
0≦t≦30
t≧30
4
y=200
t≧0
5
y=70
t≧0
6
y=90
t≧0
Ⅳ画图分析，哪种方式省钱？让学生给方案
例 在学习指数函数时设置情景（实际问题）：某种计算机病毒传播速度很快，可以由1个分裂成2个，2个分裂成4个………，分裂x次后得到的个数y与x之间的函数关系式？
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
：
（
课件
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展示）
例 在学习数学归纳法时设置情景 ：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。
例 在学习球的体积时，设置情景 ：借助多媒体虚拟一个数学实验室，实验室中有足够多的水，量筒，器皿，弹簧秤，实心球，空心球，半球，并郑重通知学生实验器材不足可自行添加。这样实验环境新鲜，开放，马上调动起学生积极性，这时在提出问题：请设计方案计算球的体积。
（2）知识迁移型
例 数学归纳法的应用
1 ，证明恒等式13+23+33+……+n3=(1 +2+3+……+n)2
2，证明整除，当n为奇数时，证明xn + yn能被x+y整除
3，证明不等式，
4，几何问题，证n多边形对角线个数为
此外还有数列问题，一般性实际应用问题，求函数表达式等。一种很好的方法或理论，我们要试图从多方面设想，探求这种方法或理论适用的各种问题，扩大它的应用范围，这种知识的正向迁移也是研究性 学习渗透在数学教学中的一个方面。像换元法，判别式法，对称法， 在这类课题的研究中，学生发散思维，知识迁移，就是对思维品质广阔性的培养。
4亲历实践，打破定势，培养思维独创性
独创性指独立发现问题，分析问题，解决问题，独立思考出有社会(个人) 价值的有新颖成分的成果的智力品质。创造不仅仅是一种行为、能力、方法，而是一种意识、态度、观念。有了创造意识，才有创造实践。所以要让学生亲自参与到实践活动中去，在体验内化的基础上，逐步形成自觉指导创造行为的个人观 念系统。
《数学课堂标准解读》指出:学生数学学习过程可以说是一种再创造过程， 而且是真正意义上的再创造。这种创造区别于数学家注重结果的创造，它注重过 程的体验，经验的积累。在概念定理的学习中，通过数学研究性学习再现知识发生发展的过程，就是在问题基础上激发学生非模仿性思维的过程，对于学生来说 非模仿性思维就是思维的独创性。[2]
(1)再现过程型
有一条N边形道路。有一辆汽车绕此道路跑一周，此时回到起始的位置， y由于只转了一周，因此它的方向改变总计3600，对百边形，千边形也是3600， 这个值是不变的。因此有下述定理成立"多边形外角和3600。"
"人人是创造之人，处处是创造之地，天天是创造之时"可以说在数学家眼中无处不数学。数学研究性学习就是把数学与社会实践相结合，让学生体验数学 的巨大亲和力，并且感受数学家的那种生活数学化的感情。 在亲历实践的过程中，学生对那些有创意的拐弯，岔路往往不屑一顾。这些小路就是我数学研究性学习要强调的思维独创性 。
(2)思维求异型
例(b-c)x2+(c-a)x+a-b=0 (b ≠0)有两个相等的实根。求证: 2b=a+c
常规解法，我们最先想到的就是由判别式=O来解，个人思维方式主要表现为一种习惯，一种定势思维，看到高次就降幂，看到同类项就合并，看到分数就化简……头脑总是"轻驾就熟"地沿着自己习惯的道路飞奔，在这道题中，我们试图打破定势，思维求异，观察方程的系数，所有系数和为O 。
既有x1=x2=1
再由根与系数关系，
=x1x2=1 :.2b=a+c
思维定势改变需要一个长期过程，所以坚持数学研究性学习，经常做"脑力操"，对思维独创性培养有着重要作用。在研究过程的策划上要有意识打破权威定势、从众定势、唯经验定势。在研究内容选择上，可以设计概念定理的再发现过程，也可以安排实际生活问题，但目的都是培养学生打破定势创新思维。
5发现问题，训练"质疑"，培养恩维品质的批判性
批判性表现在有主见的评价事物，严格的估计思维材料，精确的检查思维过程的品质。它是思维过程中自我意识作用结果。
中学生具有好生性强，喜欢怀疑、争辩，寻跟问底的特点。而他们的认识总是从不全面、不深刻或出现谬误，经过多次反复和多次争论逐步发展起来的。批判性是思维过程中自我意识的结果。在数学研究性学习中，我们可以选择有争议的问题让学生进行研究，让学生自己鉴别，深层次挖掘，发现问题，尤其是那些 隐蔽的错误进行辩误、驳谬，来培养思维的批判性。
( 1 )对经验质疑
例"大饺子能装馅"这是老辈们的经验之谈，到底对不对?对这类题要以"质疑" 态度去对待，通过数量关系转化，在严紧的数学思维中去判断它的正误。 我们就假设一定体积的面，问:是不是饺子皮越大装的馅越多? 当我们在假设饺子皮厚度相同，大小相同，近似圆形的条件下，记饺子皮半径为r，面积为s，体积为v1，饺子馅体积V2，饺子皮总体积为v 则
饺子个数N=
饺子馅的总体积
由导数的几何性质，
，
所以随r增大，饺子馅也增大。可见老辈们的经验是正确的。
(2)对权威质疑
我们所说的"质疑"主要是从正反两视角思考问题，先用肯定视角思考一边，再用否定视角思考一边。有位学者说过. "告诉学生一个命题，谁能马上找出一个 反例来驳斥它，他就是个数学人才。"数学有不少发现就是在对前人的"质疑"后的产物。如无理数的出现，非欧几何的产生。
6通过问题性研究，培养学生的目的性和敏捷性
研究性学习中还渗透着对目的性和敏捷性的培养。数学研究性学习就是以问 题为中心，以解决问题为目的，引导学生积极探索，逐步寻求总目标的途径进而 实现它。希尔伯特说过: "he who seeks for methods with out having a definite problem in mind seeks for the most part in vain.'（心中没有一定问题而去寻找方法的人多半是徒劳无获的)思维的敏捷性表现在思维过程的简缩性和快速性思维速度敏捷的人，经常能表现出良好的临场应变能力，就是思维深刻性与灵活性的有机结合。 数学研究性学习正是通过反复训练，培养思维的敏捷性。
例 在一块半圆形铁板中，截取一块面积最大的矩形，怎样截取?并求出矩形的面积。
如学生还要选择参数，用三角函数知识来解决就显的思维呆板了，可用"圆内接矩形中正方形面积最大。"，快速简沽，这就是思维敏捷性的体现。
二数学研究性学习对非智力思维品质的培养
非智力思维品质是数学思维内驱力的巨大源泉，从根本上决定一个人能否进行正常 有效的数学思维活动。[3]
1开阔视野，激发学生高尚学习动机
学生学习数学是一种有意识的行动，需要有激励，推动他们去学习的内部动力，并借以达到学习的目的。这种引起个体行为的内在动力，促进人们进行有目的的行为---这就是学习动机。
联系社会开展的研究性学习加强了数学的应用性"数学的生命在于应用的 广泛性"通过应用知识解决实际问题使学生体验到理智高于事实和现象的权力感， 使学生体验到知识是使人崇高的力量。通过数学学科与其他学科的交叉与整合， 设计研究性题目，如. "湖水污染治理"，"经济增长极限"，"减肥问题"……这些 数学知识的具体应用是比任何东西都更强有力的动机。在研究过程中，学生不但 努力提高自己创造和认知能力，而且要关心社会的进步，祖国的前途，人类的命 运，经济的发展，环境的保护，使自己学习动机上升到一个更高境界，学习动机 越明确越高，学习将更专心刻苦，思维水平将越高，离成功将越近。事实上，许多数学家在学生时代就已经确立了高尚的学习动机，如不计个人名利，坚持回国工作的数学家陈建功。
2注重个性，培养学生数学学习情感
数学学习情感是在数学思维过程中产生发展起来的，学生在学习中感受到数学的用处与美，尝到获得数学知识技能的愉快和欢乐，从而逐步形成了学习数学的热情。
例 告诉学生这样一个故事:古罗马有一公主名叫约瑟芬，才华出众，美艳 绝伦，喜欢一青年人乔治。国王女儿出嫁不同于普通国民，有一传统议事。先选 出10人围成一圈，由公主任选一人开始，按顺时针方向逐个数到公主的年龄17， 这个人就被淘汰，在从下一个开始，继续下去…… 公主急中生智，晚上用金币围成一圈，反复实践，终于找到选中乔治的方法， 你知道吗?
其实答案就是我们所说的“计子问题"'用反向推理
无论从哪个开始，只要把第17块金币拿掉，那么剩
下的总是开始数的第三块金币 ，于是只要从乔治前两
位作为起点开始计数就可以了。(如图)
正如数学家华罗庚说过. "就数学本身而言，也是壮丽多彩，千姿百态，引人入胜的。一个问题想不出来时，固然有些苦恼，若一旦豁然想通，那滋味难 道不是甜蜜蜜的?这和音乐，舞蹈艺术的享受有什么不同?如果在成法之外， 别开生面的现出一些新法来，那就更是其乐无比了。" [4]华罗庚的这段话更突出 了研究性学习的数学的再创造过程使学生体会到数学创造的快乐情感。数学研 究性学习根据学生个性差异，因材施教，学学生想学的知识，研究想研究的问 题，学习不再是一种负担。越学越好，越好越学，这就是数学学习应努力达到的一种状态，这种思维品质能使学生对科学满腔热情，以攀登数学高峰。
3设置梯度，锻炼学习的坚强意志
学生在数学学习中，不但要发挥才能，开展思维，还要克服各种困难，能主动的调节自己的学习行动，去实现预定学习目的。这种能只觉确定学习目的，及时调节学习行动，努力克服种种困难，以实现预定目的的心理过程就是学习意志。 数学研究性学习是一项复杂脑力劳动，研究过程不可能一帆风顺，总要求学生调 整思路克服各种困难和疑问，通过经受这种磨练，锻炼坚强意志。
数学家张广厚谈到，数学家或科学家基本素质之一就是不怕困难。研究性学习本身就是一种再创造过程，虽与数学家的创造不同，但在其思维方式上是相同的，所以它与其他学习方式相比更利于对意志的培养。"几乎所有有成就得科学家都具有一种百折不回的精神，因为大凡有价值的成就，在面临反复挫折时都需要毅力和勇气。"同学生在数学学习时一定要抓住数学研究性学习这块阵地，克服 困难磨练意志，在创造数学方面，失败最多的学生，往往是最有希望的学生。
结束语
曾有一位数学家作过如下论断. "数学是一种思维形式，它牢固地扎根于人类的智慧之中……" [6]数学就是思维的体操，而数学教育的目的就是培养学生的数学思维能力，这个能力通常反映在数学思维品质上，笔者通过数学研究性学习这一新兴教育方式对培养数学思维品质的作用进行了再探讨，就是想在研究性学习的特 殊教育理念下，提高学生数学思维能力，培养学生创造精神和实践能力。此外在对数学研究性学习对思维品质培养中还存在几点思考 。
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