三角形外角的性质及应用
蔡志武 阮正法
角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。本文谈谈三角形外角的性质及应用。
一. 三角形外角的概念及特征
如图1，像∠ACD那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。
图1
外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；
（2）一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；
（3）另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。
二. 性质
1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4. 三角形的外角和等于360°。
三. 应用
1. 求角的度数
例1. （ 2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55°和65°，这个三角形的外角不可能是（ ）
A. 115° B. 120° C. 125° D. 130°
解析：如图2，∠A的外角为：180°
=125°。
∠B的外角为：180°－65°=115°
∠ACB的外角为：55°+65°=120°
所以选D。
图2
例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3，AB//CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=（ ）
A. 23° B. 42° C. 65° D. 19°
图3
解析：延长BE交CD于F
因为AB//CD
所以∠1=∠B=23°
∠BED是△EDF的外角
则∠BED=∠1+∠D=23°+42°=65°
故选C。
例3. （2006年重庆市中考）如图4，AB=AC，∠BAD=
，且AE=AD，则∠EDC=（ ）
A.
B.
C.
D.
图4
解析：设∠EDC=x°
因为∠ADC是△ABD的外角
所以∠ADC=∠ABC+∠BAD
即∠ADE+x=∠ABC+
（1）
因为AB=AC，AD=AE
所以∠B=∠C，∠ADE=∠AED
而∠AED是△DEC的外角
所以∠AED=∠EDC+∠C
即∠AED=x+∠C （2）
将（2）代入（1）得：
所以
所以选A。
2. 判定三角形的形状
例4. （2003年成都市中考）已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（ ）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 以上三种情况都有可能
解析：如图5，在三角形ABC中，∠BAC的外角∠CAD<∠BAC
而∠CAD+∠BAC=180°
即：∠CAD=180°－∠BAC
所以180°－∠BAC<∠BAC
所以∠BAC>90°
故选C
图5
3. 证明两角相等
例5. （2002年福建省龙岩市中考）如图6，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在BC、AC边上，且∠ADE=∠B，AD=DE。求证：△ADB≌△DEC。
图6
分析：因为∠ADC是△ADB的外角
所以∠ADC=∠B+∠BAD
而∠ADE=∠B，∠ADC=∠ADE+∠CDE
所以∠ADE+∠CDE=∠ADE+∠BAD
因此∠BAD=∠CDE
又AB=AC，可得∠B=∠C
而AD=DE
所以△ADB≌△DEC
例6. （2004年荆州市中考）在等边三角形中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，
，则△ABC的边长为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
图7
分析：因为△ABC为等边三角形，所以∠B=∠C=60°
又因为∠APC是△ABP的外角
所以∠APC=∠B+∠BAP
而∠B=∠APD=60°
所以∠BAP=∠CPD
又∠B=∠C，所以△ABP∽△PCD
所以
。
设△ABC边长为x，则
解得x=3
故选A
4. 证明角度不等关系
例7. 已知，如图8，在△ABC中，D是三角形内一点，求证：∠BDC>∠BAC。
图8
证明：延长BD交AC于E
在△ABE中，∠BEC>∠A
在△CDE中，∠BDC>∠BEC
所以∠BDC>∠A
例8. 已知：如图9，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AD上一点，求证：∠DEC>∠ABC。
图9
证明：因为∠BAC=90°
所以∠BAD+∠DAC=90°
又因为AD⊥BC
所以∠ADB=90°
所以∠ABC+∠BAD=90°
所以∠ABC=∠DAC
又因为∠DEC是△AEC外角
所以∠DEC>∠DAC
所以∠DEC>∠ABC
5. 证明角度的和差关系
例9. 如图10，已知：在△ABC中，AB>AC，∠AEF=∠AFE，延长EF与BC的延长线交于G，求证：
。
图10
证明：因为∠AEF=∠B+∠G
又因为∠AEF=∠AFE，∠AFE=∠GFC
所以∠AEF=∠GFC
所以∠GFC=∠B+∠G ①
又因为∠ACB=∠GFC+∠G ②
①+②得：∠ACB=∠B+2∠G
所以
例10. 如图11，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。
图11
证明：如图11，∠1=∠C+∠D，∠2=∠A+∠E
而∠1+∠2+∠B=180°
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
练习：
1. （1996年昆明市中考）如图12，
、
、
分别是△ABC的外角，且
，则∠ACB等于（ ）
A. 20° B. 30° C. 40° D. 80°
图12
2. （2004年陕西省中考）如图13，在锐角三角形中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P。若∠A=50°，则∠BPC的度数是（ ）
A. 150° B. 130° C. 120° D. 100°
图13
3. （2005年浙江省中考）如图14，直线a//b，则∠A=_________度。
图14
4. 如图15，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。
（提示：利用如图∠1、∠2即可）。
图15
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