第三章
把握热点考向
理解教材新知
应用创新演练
3.3
导数的应用
3.3.3
导
数
的
实
际
应
用
考点一
考点二
考点三
3．3.3 导数的实际应用
3.3导数的应用
某城市准备在半径为R的圆形街心花园的中心竖一高杆灯，已知各点亮度与光线的倾角的正弦成正比，与光源距离的平方成反比，当高杆灯距离地面一定高度时，绕在街心花园周围的道路的亮度最大．
问题：为使亮度最大，怎样设计高杆灯离地面的高度？
提示：建立亮度y随高度h变化的函数关系式，用导数求y最大时h的值．
1．最优化问题
2．求实际问题的最值的主要步骤
(1)建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0，求出 ；
(3)比较函数在区间端点和在 的取值大小，确定其最大(小)者为最大(小)值．
极值点
极值点
解决生活中的优化问题的思路：
(1)审题：阅读理解文字
表
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达的题意、分清条件和结论．
(2)建模：利用数学知识建立相应的数学模型．
(3)解模：把数学问题转化为函数最值问题并求解．
(4)检验．
面积、体积的最值问题
[例1] 请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？
[思路点拨] 设出顶点O到底面中心O1的距离x后，求出底面边长，表示出帐篷的体积．
[精解详析] 设OO1为x m，则1＜x＜4.
由题设可得正六棱锥底面边长为(单位：m)
eq \r(32－x－12)＝eq \r(8＋2x－x2).
于是底面正六边形的面积为(单位：m2)
6·eq \f(\r(3),4)·(eq \r(8＋2x－x2))2＝eq \f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)．
帐篷的体积为(单位：m3)
V(x)＝eq \f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x－1＋1)).
＝eq \f(\r(3),2)(16＋12x－x3)．
求导数，得V′(x)＝eq \f(\r(3),2)(12－3x2)．
令V′(x)＝0，解得x＝－2(不合题意，舍去)，x＝2.
当1＜x＜2时，V′(x)＞0，V(x)为增函数；
当2＜x＜4时，V′(x)＜0，V(x)为减函数．
所以，当x＝2时，V(x)最大．
[一点通] 解决面积，容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．
答：当OO1为2 m时，帐篷的体积最大，最大体积为16eq \r(3) m3.
1．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则其高应为
( )
A.eq \f(20\r(3),3) cm
B．100 cm
C．20 cm
D.eq \f(20,3) cm
解析：设圆锥高为h cm，体积为V cm3，则底面半径为r＝eq \r(202－h2).
∴V＝eq \f(1,3)πr2·h＝eq \f(1,3)π×(400－h2)·h
＝eq \f(1,3)π(－h3＋400h)，0
3时S′>0.
故用料最省时圆柱的底面半径为3.
答案：3
4．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单元：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝eq \f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解：(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝eq \f(k,3x＋5)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq \f(40,3x＋5).而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq \f(40,3x＋5)＋6x＝eq \f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－eq \f(2 400,3x＋52).令f′(x)＝0，即eq \f(2 400,3x＋52)＝6，
解得x＝5或x＝－eq \f(25,3)(舍去)．
当0≤x<5时，f′(x)<0；当50.
故x＝5是f(x)的最小值点，
对应的最小值为f(5)＝6×5＋eq \f(800,15＋5)＝70.
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元.
利润最大问题
[例3] (12分)某集团为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤5)．
(1)若该公司将当年的广告费控制在三百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？
(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为－eq \f(1,3)x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配
方案
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，使该公司由此获得的收益最大(注：收益＝销售额－投入)．
[精解详析] (1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有
f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t
＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，
(3分)
∴当t＝2时，f(t)取得最大值4，
即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．
(5分)
(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)，则
g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x3＋x2＋3x))＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－eq \f(1,3)x3＋4x＋3(0≤x≤3)，
(8分)
∴g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝0，
解得x＝－2(舍去)或x＝2.
又当0≤x＜2时，g′(x)＞0；当2＜x≤3时，g′(x)＜0.
故g(x)在[0,2]上是增函数，在[2,3]上是减函数．
(11分)
∴当x＝2时，g(x)取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大．(12分)
[一点通]
(1)经济生活中优化问题的解法：
经济生活中要
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．
(2)关于利润问题常用的两个等量关系：
①利润＝收入－成本．
②利润＝每件产品的利润×销售件数．
5．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq \f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为
( )
A．13万件
B．11万件
C．9万件
D．7万件
解析：∵y＝f(x)＝－eq \f(1,3)x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81.令y′＝0得x＝9，或x＝－9(舍去)．当00，函数f(x)单调递增；当x>9时，y′<0，函数f(x)单调递减．故当x＝9时，y取最大值．
答案：C
6．某工厂生产某种产品，已知该种产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元)之间的关系式为p＝24 200－eq \f(1,5)x2，且生产x吨的成本为R＝50 000＋200x(元)．问该工厂每月生产多少吨该种产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)
解：设每月生产x吨时的利润为f(x)元，则
f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(24 200－\f(1,5)x2))x－(50 000＋200x)
＝－eq \f(1,5)x3＋24 000x－50 000(x≥0)．
由f′(x)＝－eq \f(3,5)x2＋24 000＝0，
解得x1＝200，x2＝－200(舍去)．
因为当0≤x<200时，f′(x)>0，
当x>200时，f′(x)<0，
所以x＝200是函数的最大值点，
且最大值为f(200)＝3 150 000(元)，
所以每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润315万元．
利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
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