北师大版2018-2019学年高中数学必修2习题
习题课 平行关系与垂直关系的综合应用
1.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )
A.若α⊥β,m⫋α,n⫋β,则m⊥n
B.若α∥β,m⫋α,n⫋β,则m∥n
C.若m⊥n,m⫋α,n⫋β,则α⊥β
D.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β
解析:对于选项A,分别在两个垂直平面内的两条直线平行、相交、异面都可能;对于选项B,分别在两个平行平面内的两条直线平行、异面都可能;对于选项C,两个平面分别经过两垂直直线中的一条,不能保证两个平面垂直;对于选项D,m⊥α,m∥n,则n⊥α;又因为n∥β,则β内存在与n平行的直线l,因为n⊥α,所以l⊥α,因为l⊥α,l⫋β,所以α⊥β.综上所述,D选项正确.
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
:D
2.
如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是( )
A.一条线段 B.一条直线
C.一个圆 D.一个圆,但要去掉两个点
答案:D
3.已知直线PG⊥平面α于点G,直线EF⫋α,且PF⊥EF于点F,则线段PE,PF,PG的关系是( )
A.PE>PG>PF B.PG>PF>PE
C.PE>PF>PG D.PF>PE>PG
解析:在Rt△PFE中,PE>PF;在Rt△PFG中,PF>PG,所以PE>PF>PG.
答案:C
4.若ABCD-A1B1C1D1为正方体,则下列结论中错误的是 ( )
A.BD∥平面CB1D1 B.A1C⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1 D.AC1⊥BD1
解析:因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以DD1∥BB1且DD1=BB1,所以四边形DD1B1B为平行四边形,所以BD∥B1D1,因为BD⊈面CB1D1,B1D1⫋面CB1D1,所以BD∥平面CB1D1,故A正确;因为AA1⊥面ABCD,BD⫋面ABCD,所以AA1⊥BD,因为四边形ABCD为正方形,所以AC⊥BD,因为AC∩AA1=A,所以BD⊥面A1ACC1,因为A1C⫋面A1ACC1,所以BD⊥A1C,故B正确.同理可得B1D1⊥面A1ACC1,因为AC1⫋面A1ACC1,所以B1D1⊥AC1,同理可得CB1⊥AC1,因为B1D1∩CB1=B1,所以AC1⊥平面CB1D1,故C正确.排除法应选D.
答案:D
5.直线m,n均不在平面α,β内,给出下列命题:
①若m∥n,n∥α,则m∥α;②若m∥β,α∥β,则m∥α;③若m⊥n,n⊥α,则m∥α;④若m⊥β,α⊥β,则m∥α.其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:对①,根据线面平行的判定定理知,m∥α;对②,若直线m与平面α相交,则α必与β相交,而这与α∥β矛盾,故m∥α;对③,在平面α内取一点A,设过A,m的平面γ与平面α相交于直线b.因为n⊥α,所以n⊥b,又m⊥n,所以m∥b,所以m∥α;对④,设α∩β=l,在α内作m'⊥β,因为m⊥β,所以m∥m',从而m∥α.故四个命题都正确.
答案:D
6.已知两条不同的直线m,n和两个不同的平面α,β,给出下列四个命题:①若m∥α,n∥β,且α∥β,则m∥n;②若m∥α,n⊥β,且α⊥β,则m∥n;③若m⊥α,n∥β,且α∥β,则m⊥n;④若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n.其中正确的个数为 .
解析:①中m,n也可能异面或相交,故不正确;②当m∥α,n⊥β,且α⊥β成立时,m,n两直线的关系可能是相交、平行、异面,故不正确;③由m⊥α,α∥β可得出m⊥β,再由n∥β可得出m⊥n,故正确;④分别垂直于两个垂直平面的两条直线一定垂直,正确.故③④正确.正确个数为2.
答案:2
7.在四面体P-ABC中,PA=PB=,平面PAB⊥平面ABC,∠ABC=90°,AC=8,BC=6,则PC= .
解析:
如图所示,取AB的中点E,连接PE.因为PA=PB,所以PE⊥AB.
又平面PAB⊥平面ABC,所以PE⊥平面ABC.连接CE,则PE⊥CE.因为∠ABC=90°,AC=8,BC=6,所以AB=2,PE=,
CE=,PC==7.
答案:7
8.已知直线m⫋平面α,直线n⫋平面α,m∩n=M,直线a⊥m,a⊥n,直线b⊥m,b⊥n,则直线a,b的位置关系是 .
解析:因为直线a⊥m,a⊥n,直线m⫋平面α,直线n⫋平面α,m∩n=M,所以a⊥α.同理可得直线b⊥α,所以a∥b.
答案:a∥b
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1-BD-A的平面角的正切值为 .
解析:如图所示,连接AC,交BD于点O,连接A1O1.因为OA1⊥BD,AC⊥BD,所以∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角.在Rt△A1OA中,设AA1=a,则AO=a,所以二面角A1-BD-A的正切值为.
答案:
10.如图所示,四边形ABCD为矩形,平面ABCD⊥平面ABE,BE=BC,F为CE上的一点,且BF⊥平面ACE.
求证:(1)AE⊥BE;
(2)AE∥平面BFD.
证明(1)因为平面ABCD⊥平面ABE,平面ABCD∩平面ABE=AB,AD⊥AB,
所以AD⊥平面ABE,
所以AD⊥AE.
因为AD∥BC,
所以BC⊥AE,
又BF⊥平面ACE,
所以BF⊥AE.
因为BC∩BF=B,
所以AE⊥平面BCE,所以AE⊥BE.
(2)设AC∩BD=G,连接FG,易知G是AC的中点.
因为BF⊥平面ACE,
所以BF⊥CE.
又BC=BE,
所以F是EC中点.
在△ACE中,FG∥AE,
因为AE⊈平面BFD,FG⫋平面BFD,
所以AE∥平面BFD.
★11.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=2CD=4.
(1)设M是PC上任意一点,证明:平面MBD⊥平面PAD.
(2)在线段PC上是否存在一点M,使得PA∥平面BDM?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
(1)证明在△ABD中,
因为AD=4,BD=8,AB=4,
所以AD2+BD2=AB2.
所以AD⊥BD.
又平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,BD⫋平面ABCD,所以BD⊥平面PAD,
又BD⫋平面MBD,故平面MBD⊥平面PAD.
(2)解当点M满足条件时,PA∥平面BDM.理由如下:
连接AC交BD于点G,由AB∥CD,得△ABG∽△CDG,
所以=2.
当PA∥平面BDM时,PA⫋平面PAC,平面PAC∩平面BDM=GM,
所以GM∥PA,所以.
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