立体几何折叠问题

立体几何折叠问题立体几何——折叠问题 1、点是边长为4的正方形的中心，点，分别是，的中点．沿对角线把正方形折成直二面角D－AC－B．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求二面角的大小． 2、如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4,M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M点的最短路线长为，设这条最短路线与C1C的交点为N。求：该三棱柱的侧面展开图的对角线长； PC和NC的长；平面NMP和平面ABC所成锐二面角大小的余弦。 3、如图，在平...

立体几何——折叠问题 1、点是边长为4的正方形的中心，点，分别是，的中点．沿对角线把正方形折成直二面角D－AC－B．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求二面角的大小． 2、如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4,M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M点的最短路线长为，设这条最短路线与C1C的交点为N。求：该三棱柱的侧面展开图的对角线长； PC和NC的长；平面NMP和平面ABC所成锐二面角大小的余弦。 3、如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°。E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F为线段A’C的中点。（Ⅰ）求证：BF∥平面A’DE；（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A’DE所成角的余弦值。 4、如图，在中，B= ，AC= ，D、E两点分别在AB、AC上.使 ,DE=3.现将沿DE折成直二角角，求：（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小的余弦. 5、如图所示，等腰的底边，高，点是线段上异于点的动点，点在边上，且，现沿将折起到的位置，使，记，表示四棱锥的体积　（1）求的表达式；（2）当为何值时，取得最大值？（3）当取得最大值时，求异面直线与所成角的余弦值　 4．（一中）点是边长为4的正方形的中心，点，分别是，的中点．沿对角线把正方形折成直二面角D－AC－B．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求二面角的大小．解法一：（Ⅰ）如图，过点E作EG⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为H，则，． D C 因为二面角D－AC－B为直二面角，又在中，，．．（Ⅱ）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM． ∵二面角D－AC－B为直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交线为AC，又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．∵GM⊥OF，由三垂线定理，得EM⊥OF． ∴ 就是二面角的平面角．在Rt EGM中，，，， ∴ ．∴ ．所以，二面角的大小为．解法二：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系O－xyz，则，．．．（Ⅱ）设平面OEF的法向量为．由得解得．所以，．又因为平面AOF的法向量为，．∴ ．所以，二面角的大小为． 32.（2009福建卷文）（本小题满分12分）如图，平行四边形中，，将沿折起到的位置，使平面平面（I）求证：（Ⅱ）求三棱锥的侧面积。（I）证明：在中，又平面平面平面平面平面平面平面（Ⅱ）解：由（I）知从而在中，又平面平面平面平面，平面而平面综上，三棱锥的侧面积， 7．（江安中学）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4,M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M点的最短路线长为，设这条最短路线与C1C的交点为N。求 1) 该三棱柱的侧面展开图的对角线长； 2) PC和NC的长； 3) 平面NMP和平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）正解：①正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为 ②如图1，将侧面BC1旋转使其与侧面AC1在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过CC1到点M的最短路线。设PC＝，则P1C＝，在 ③连接PP1（如图2），则PP1就是NMP与平面ABC的交线，作NH 于H，又CC1 平面ABC，连结CH，由三垂线定理得，。（2010浙江理数）（20）（本题满分15分）如图，在矩形中，点分别在线段上， .沿直线将翻折成，使平面 . （Ⅰ）求二面角的余弦值；（Ⅱ）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。解析：本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力。（Ⅰ）解：取线段EF的中点H，连结，因为 = 及H是EF的中点，所以 , 又因为平面平面 . 如图建立空间直角坐标系A-xyz 则（2，2，），C（10，8，0）， F（4，0，0），D（10，0，0）. 故 =（-2，2，2 ）， =（6，0，0）. 设 =（x,y,z）为平面的一个法向量， -2x+2y+2 z=0 所以 6x=0. 取，则。又平面的一个法向量，故。所以二面角的余弦值为（Ⅱ）解：设则，因为翻折后，与重合，所以，故，，得，经检验，此时点在线段上，所以。方法二：（Ⅰ）解：取线段的中点 , 的中点 ,连结。因为 = 及是的中点，所以又因为平面平面，所以平面 , 又平面 , 故，又因为、是、的中点，易知 ∥ ，所以，于是面，所以为二面角的平面角，在中， = ， =2， = 所以 . 故二面角的余弦值为。（Ⅱ）解：设 , 因为翻折后，与重合，所以，而，得，经检验，此时点在线段上，所以。（2010浙江文数）（20）（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°。E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F为线段A’C的中点。（Ⅰ）求证：BF∥平面A’DE；（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A’DE所成角的余弦值。（19）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）如题（19）图，在中，B= ,AC= ,D、E两点分别在AB、AC上.使 ,DE=3.现将沿DE折成直二角角，求：（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）.

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