论连续函数常义积分广义积分的应用

论连续函数常义积分广义积分的应用 摘要:本文从函数定义入手,按照层次展开对函数导数,微分,偏导数,微分的定义及函 数与其之间的关系做了一系列的讨论,最后归结于应用上,着重讨论了积分在实际生产生活中的应用。 关键词:连续函数,导数,积分,定义与应用。 Application of continuous function normal integral of eneralized integral Abstract: This article from the function definition, according to the level of the derivative, differential, partial derivative, definition and function relationship between differential did a series of discussions, finally into the application, discussed the application of integral in the actual production of life. Keywords: continuous, derivative, integral, definition and application 1 一维连续函数定义 1.1连续的定义 若一维函数有()() 00 lim x f x f x x =→,则称函数 ()x f 在点0x 连续,而称0x 是函数的连续点.“函数()x f 在点0x 连续”可以有以下的 符 号 表 述 : ()δδε<-?>?>?0,0,0x x x : ()()ε <-0x f x f ,若一维函数()x f 在区 间()b a ,的每一个点都连续,则称函数()x f 在开区(a,b )上连续,函数称为一维连续函数。 1.2间断点类型 第一类不连续点:函数()x f 在点0x 的左右 极限都存在但不相等,即 ()() - +≠00x f x f 。 第二类不连续点:函数()x f 在点0x 的左右 极限中至少有一个不存在。 第三类不连续点:函数()x f 在点0x 的左右 极限都存在而且相等,但不等于 ()0x f 或者 ()x f 在点0x 无定义。 2一维连续函数与导数微分的关系 导数的定义: 设函数y=f(x)在U(x0)内有定义.如果极限 00 ()() lim →--x x f x f x x x 存在,则 称该极限值为f(x)在点x0处的导数,记为 000 ()() ()lim →-'=-x x f x f x f x x x , 此时也称函数f(x)在点x0可导。函数f(x)在点x0处的导数还可记为 d d =y x x x ; d () d =f x x x x ; ' =y x x . 连续函数与其的关系:导数f ′(x0)可以表 示为下面的增量形式 00000()()()lim lim ?→?→+?-?'==??x x f x x f x y f x x x . 000000()()() ()()lim lim 0x x x x f x f x A x x f x f x A x x x x →→??----=-= ?--?? ,而这一形式与函数连续的定义: ()δδε<-?>?>?0,0,0x x x ()()ε <-0x f x f ,是一致的。可由函数连 续定义推出导数的表达式 3二维连续函数定义 由一元函数连续概念引入 定义(用“δε-”定义二元函数连续) 设 函数),(y x f 为定义在点集2 R D ?上的二 元函数,D P ∈0(它或者是D 的聚点,或 者是 D 的孤立点),若对 ,0>?>?δε,使得当 D P U P );(0δ∈时 , 都 有 ε<-|)()(|0P f P f ,则称),(y x f 关于 集合D 在 0P 点连续,简称0P f 在点连续。 若函数D f 在上任何点都连续,则称 D f 为上的连续函数。由连续定义,若0 P 是D 的孤立点,则0P 必定是f 关于集合D 的连续点;若 0P 是D 的聚点,则f 关于集 合D 在0P 连续等价于 ) ()(lim 00 P f P f D P P P =∈→ 4二维连续函数与导数微分的关系 4.1二维函数的可微性: 设函数 ()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义,对于()0P U 中的点 ()()y y x x y x P ?+?+=00,,,若函数f 在 点 0P 处的全增量z ?可表示 为 : ()()()ρο+?+?=-?+?+=?y B x A y x f y y x x f z ,,00, 其中A ,B 是仅与点0P 有关的常 数,22y x ?+?=ρ,()ρο是较ρ高阶的无穷小量,则称函数f 在点0P 处可微,并称 上式中关于x ?,y ?的线性函数 A x B y ?+?为函数f 在点0P 的全微分,记 作 y B x A y x df dz P ?+?==),(|000。 4.2二维函数的偏导数:设函数 ()y x f z ,=,(,)x y D ∈.若00(,)x y D ∈, 且()0,y x f 在0x 的某一邻域内有定义,则 当 极 限 ()()() x y x f y x x f x y x f x x x ?-?+=??→?→?00000000,,lim ,lim 存在时,称这个极限为函数f 在点()00,y x 关于x 的偏导数,记作()00,y x f x 或 ) ,(00|y x x f ??。 4.3二元函数连续性、偏导数存在性及可微性关系的概图 如果函数(),z f x y ?=在点(,)x y 可微分,则函数在该点必连续,反之不一定成立。 如果函数(),z f x y ?=在点(,)x y 可微分, 则函数在该点的偏导数必存在,反之一定成立。 如果函数(),z f x y ?=在点(,)x y 连续,则偏导不一定存在。 如果函数(),z f x y ?=在点(,)x y 偏导存在,则不一定连续。 如果函数(),z f x y ?=在点(,)x y 偏导连续,则函数在该点必可微,反之不一定成立。 5常义积分,广义积分 广义积分的定义; 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,任取b>a , 我们把极限 称为f(x)在区间[a,b]上的广义积分,也称无穷限积分,记为 即 存在,称广义积分收敛 如果极限不存在,称广义积分发散。 例1 求由抛物线x =2y2与直线x 2y 4=0所围成的平面图形的面积。 解:如图 令 解得交点A 与B 的坐标为(2, 1)与(8,2) S= = = 9 6总结 连续函数在生产应用中,常常联系到函数的 积分应用,如一维函数导数的实际意义,二 维函数的偏导的应用等, 都在实际生产生活中十分广泛。同时一维函数同导数与二维函 数同偏导数的不同关系,导致了寻求其导数 或偏导数方式的不同。依据本文的分析得出函数与导数微分的关系,不但对学习是一种 积极的推动作用,有助于对这方面的知识不会产生干扰,能较好地辨别它们之间的本质,使得原有知识更加牢固,也同时抓住了函数的本质. 7 参考文献 [1] 华东师范大学 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 系. 数学分析(下)[M] . 北京: 高等教育出版社,2001: 100 – 112 。 [1] of the East China Normal University Department of mathematics. Mathematical analysis (lower) [M]. Beijing: Higher Education Press, 2001: 100 – 112. [2] 吉米多维奇. 数学分析习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 集[M] . 北京: 人民教育出版社, 1958: 62-78。 [2] Jimmy Dovichi. Mathematical analysis [M]. Beijing: People's education press, 1958: 62-78. [3]马振民. 数学分析的方法与技巧选讲[M]. 兰州: 兰州大学出版社, 1999: 偏导连续 可微 连续 偏导存在 ?+∞a dx x f )(=?+ ∞a d x x f )(如果极限 +∞→b lim ?b a dx x f )(+∞ →b lim ?b a dx x f )(+∞ →b lim ?b a dx x f )({ 04y 2x 2 y 2x =--=? --+2 1 2dy )y 24y (22 1 32)y 32y 4(y --+y x o x =2y 2 x 36-54。 [3] Ma Zhenmin. The methods and techniques of mathematical analysis of selected [M]. Lanzhou: Lanzhou University press, 1999: 36-54. [4] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京: 北京高等教育出版社, 1993: 86-97。 [4] [M]. Pei Liwen. Typical problems and methods in mathematical analysis. Beijing: Beijing higher education press, 1993: 86-97. [5]陈纪修,於崇华,金路.数学分析(第二版)[M],北京:高等教育出版社,2004.6。 [5] Chen Jixiu, in Chong Hua, Jin Lu. Mathematical analysis (Second Edition) [M], Beijing: Higher Education Press, 2004.6. [6] 刘玉琏,等. 数学分析讲义学习辅导书(二版).高等教育出版社, 2004.7。 [6] Liu Yulian, et al. Mathematical analysis of learning counseling book (two edition). Higher education press, 2004.7