逻辑与关联词
一、 知识
清单
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：
1．常用逻辑用语
（1）命
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
命题：可以判断真假的语句叫命题；
逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题。复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。
常用小写的拉丁字母p，q，r，s，……
表
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示命题，故复合命题有三种形式：p或q；p且q；非p。
（2）复合命题的真值
“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：一真一假
p
非p
真
假
假
真
“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示： 一假为假
p
q
p且q
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
“p或q”形式复合命题的真假可以用下表表示： 一真为真
p
q
P或q
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
（3）四种命题
如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；
如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；
如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。
两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。
（4）条件
一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件。
可分为四类：
（1）充分不必要条件，即pq,而q
p；
(2)必要不充分条件，即p
q,而qp；
(3)既充分又必要条件，即pq，又有qp；
(4)既不充分也不必要条件，即p
q，又有q
p。
一般地，如果既有pq，又有qp，就记作：p
q.“
”叫做等价符号。p
q表示pq且qp。
这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件。
（5）全称命题与特称命题
这里，短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号
表示。含有全体量词的命题，叫做全称命题。
短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号
表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。
课前练习
1写出命题：“若 x + y = 5则 x = 3且 y = 2”的逆命题否命题逆否命题，并判断它们的真假。
逆命题：若x = 3且 y = 2则x + y = 5；真 否命题: 若x
3或 y
2则 x + y
5 真
逆否命题：若 x + y
5则 x
3或 y
2 假
2:“若
” 是_真___命题.(填真、假)
3命题“若ab=0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为若a
0且b
0则ab
0。
4:
.(填
,)
5:条件甲:
;条件乙:
, 则乙是甲的充分不必要条件.
6“α≠β”是cosα≠cosβ”的必要不充分条件
7.设m,n是整数，则“m,n均为偶数”是“m+n是偶数”的充分不必要条件
8、命题“若
，则
”的逆否命题是若x≤-1或x≥1，则x
≥1
9、 “-1＜x＜1”是“x2＜1”的充要条件
10、设
是两个命题：
，则
是
充分不必要条件
11、设
是两个命题：
，则
是
的充分不必要条件
典型例题：
例1．写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假。
（1）p：9是144的约数，q：9是225的约数。
（2）p：方程x2－1=0的解是x=1，q：方程x2－1=0的解是x=－1；
（3）p：实数的平方是正数，q：实数的平方是0.
例2．（1） “
”是“直线
相互垂直”的充分不必要条件
（2）设集合A＝｛x|
＜0
，B＝｛x || x －1|＜a
，若“a＝1”是“A∩B≠
”的充分不必要条件
例3．（1）命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为若a
b，则2a
2b－1；
（2）判断命题：“若
没有实根，则
”的真假性。真
例4．命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则┐p是（ C ）
A．有些三角形不是等腰三角形 B．所有三角形是等腰三角形
C．所有三角形不是等腰三角形 D．所有三角形是等腰三角形
实战演练：
1、“
”是“直线
平行于直线
”的充要条件
2、命题“对任意的
，
”的否定是存在
，
3、下列各小题中，
是
的充要条件的是D
（1）
或
；
有两个不同的零点。
（2）
是偶函数。
（3）
。
（4）
。
（A）
（B）
（C）
（D）
4、 “|x|<2”是“x2-x-6<0”的充分不必要条件
5、设
是两个集合，则“
”是“
”的必要不充分条件
6、设
，
有实根，则
是
的充分不必要条件
7、设
在
内单调递增，
，则
是
的充要条件
8、若数列
满足
（
为正常数，
），则称
为“等方比数列”．甲：数列
是等方比数列；乙：数列
是等比数列，则充要条件
9、已知命题
，
，则命题的否定
x
R，sinx>1
10、已知p是r的充分条件而不是必要条件,q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：B
①r是q的充要条件；②p是q的充分条件而不是必要条件；③r是q的必要条件而不是充分条件；④┐p是┑s的必要条件而不是充分条件；⑤r是s的充分条件而不是必要条件.
则正确命题的序号是
A.①④⑤ B.①②④ C.②③⑤ D.②④⑤
11、 “
”是“
”的充分不必要条件
实战训练B
1．“设
＞bc
”以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有2个.
2．已知命题
，
，则
：
x
R，2
0．
3.命题“
，
”的否定是
,
4．已知命题p:
x
R，cosx≤1，则
x
R,cosx>1
5．已知命题“若
则
”为真，则下列命题中一定为真的是（B）
A．若
则
B．若
则
C．若
则
D．若
则
6.设集合A={x|
},B={x|0＜x＜3},那么“m
A”是“m
B”的充分不必要条件
7.已知命题
所有有理数都是实数，命题
正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ A）
A．
B．
C．
D．
8．设集合
，
，那么“
”是“
”的必要不充分条件
9．若“p且q”与“
”均为假命题，则 （ A ）
A．p真q假 B．p假q真 C．p与q均真 D．p与q均假
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