07 第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性方程的一般形式为
(8.1)
根据线性微分方程的解的结构定理可知，要求方程(8.1)的通解，只要求出它的一个特解和其对应的齐次方程的通解，两个解相加就得到了方程(8.1)的通解. 上节我们已经解决了求其对应齐次方程的通解的方法，因此，本节要解决的问题是如何求得方程(8.1)的一个特解
.
方程(8.1)的特解的形式与右端的自由项
有关，如果要对
的一般情形来求方程(8.1)的特解仍是非常困难的，这里只就
的两种常见的情形进行讨论.
1.
,其中...
第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性方程的一般形式为
(8.1)
根据线性微分方程的解的结构定理可知，要求方程(8.1)的通解，只要求出它的一个特解和其对应的齐次方程的通解，两个解相加就得到了方程(8.1)的通解. 上节我们已经解决了求其对应齐次方程的通解的方法，因此，本节要解决的问题是如何求得方程(8.1)的一个特解
.
方程(8.1)的特解的形式与右端的自由项
有关，如果要对
的一般情形来求方程(8.1)的特解仍是非常困难的，这里只就
的两种常见的情形进行讨论.
1.
,其中
是常数,
是
的一个
次多项式:
；
2.
或
，其中
，
是常数，
是
的一个
次多项式.
分布图示
★ 二阶常系数非齐次线性方程的求解问题
★
型 ★ 例1
★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 例5 ★ 例6
★
或
型
★ 例7 ★ 例8 ★ 例9
★ 例 10 ★ 例 11
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题8-7
内容要点：
一、
型
当
时，二阶常系数非齐次线性微分方程(8.1)具有形如
(8.4)
的特解，其中
是与
同次（
次）的多项式，而
按
是不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意(8.4)式中的k是特征方程的根
的重数（即若
不是特征方程的根，
取0；若
是特征方程的
重根，
取为
）.
二、
或
型
即要求形如
(8.7)
(8.8)
两种方程的特解.
由欧拉公式知道，
和
分别是
的实部和虚部.
我们先考虑方程
. (8.9)
这个方程的特解的求法在上一段中已经讨论过. 假定已经求出方程(8.9)的一个特解，则根据第六节的定理5知道，方程(8.9)的特解的实部就是方程(8.7)的特解，而方程(8.9)的特解的虚部就是方程(8.8)的特解.
方程(8.9)的指数函数
中的
(
)是复数，特征方程是实系数的二次方程，所以
只有两种可能的情形：或者不是特征根，或者是特征方程的单根. 因此方程(8.9)具有形如
(8.10)
的特解，其中
是与
同次（
次）的多项式，而
按
是不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.
上述结论可推广到
阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意(8.10)式中的k是特征方程含根
的重复次数.
例题选讲：
型
例1（E01）下列方程具有什么样形式的特解?
(1)
(2)
(3)
解 (1) 因
不是特征方程
的根,故方程具有特解形式：
(2) 因
是特征方程
的单根,故方程具有特解形式:
(3) 因
是特征方程
的二重根，所以方程具有特解形式：
例2（E02）求方程
的一个特解.
解 题设方程右端的自由项为
型，其中
对应的齐次方程的特征方程为
特征根为
由于
不是特征方程的根，所以就设特解为
把它代入题设方程,得
比较系数得
解得
于是，所求特解为
例3（E03）求方程
的通解.
解 题设方程对应的齐次方程的特征方程为
特征根为
于是，该齐次方程的通解为
因
是特征方程的单根，故可设题设方程的特解：
代入题设方程,得
比较等式两端同次幂的系数,得
于是，求得题没方程的一个特解
从而，所求题设方程的通解为
例4 求微分方程
的通解.
解 特征方程为
特征根为
故对应齐次方程的通解为
观察可得,
的一个特解为
的一个特解为
例5求方程
的特解.
解 其对应齐次方程的特征方程为
解得特征根为
由第六节定理4知,题设方程的特解是下列两个方程的特解的和:
(1)
(2)
因特征方程有重根
所以设方程(1)的特解
将其代入方程
并消去
整理后得
即
于是得特解
又因特征方程有重根
所以设方程(2)的特解为
求导后代入方程，解出
得特解
所以题设方程的特解为：
例6求方程
的通解.
解 对应的齐次方程的特征方程为
特征根
所求齐次方程的通解
由于
不是特征方程的根，因此方程的特解形式可设为
代入题设方程易解得
故所求方程的通解为
例7 求方程
的通解.
解 对应齐次方程的特征方程的特征根为
故对应齐次方程的通解
作辅助方程
是单根,故设
代入上式得
取虚部得所求非齐次方程特解为
从而题设方程的通解为
或
型
例8（E04）求方程
的通解.
解 对应齐次方程的特征方程的特征根为
故对应齐次方程的通解
作辅助方程
不是特征方程的根，故设
代入辅助方程得
取实部得到所求非齐次方程的一个特解:
所求非齐次方程的通解为
例9设函数
满足
求
.
解 将方程两端对
求导，得微分方程
即
特征方程为
特征根为
对应齐次方程的通解为
注意到方程的右端
且
不是特征根，根据非齐次方程解的叠加原理，可设特解
代入方程定出
从而原方程的通解为
又在原方程的两端令
得
又在原方程的两端令
得
定出
从而所求函数为
例10求以
(其中
为任意常数)为通解的线性微分方程.
解法1
(1)
(2)
由式(1)知
代入(2)式得
所求方程为
解法2 因
由解的结构知所求方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，对应齐次线性方程有两个特解
故有二重特征根
于是特征方程为
即
对应齐次线性方程为
令该方程为
因
为其解,故
从而所求方程为
例11 已知函数
是二阶常系数非齐次线性微分方程
的一个特解, 试确定常数
与
及该方程的通解.
解法1 将
代入原方程得
比较两边同类项系数，得方程组
解此方程组,得
于是原方程为
其通解为
解法2 将已知方程的特解改写为
因对应齐次方程的解应是
型的,如
是对应齐次方程的解,
也可能是，因原方程的自由项是
而
或
是原非齐次方程的解,故
也是对应齐次方程的解(即
也是特征方程的根).故原方程所对应的齐次方程的特征方程为
即
于是得
将
代入方程
得
原方程的通解为
课堂练习
1.写出微分方程
的待定特解的形式.
2.求微分方程
的通解.
3.求微分方程
的通解.
4.求微分方程
的通解.
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