2010新课标全国卷数学理 详解

2010年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷） 数学（理科） 参考公式： 样本数据 的标准差                  锥体体积公式 其中 为样本平均数                            其中 为底面面积， 为高 柱体体积公式                                  球的表面积，体积公式 其中 为底面面积， 为高                            其中R为球的半径 第Ⅰ卷(选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 　共60分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x| ≤4，x∈Z}，则A∩B＝(  ) A．(0,2)    B．[0,2]        C．{0,2}          D．{0,1,2} 2．已知复数z＝ ， 是z的共轭复数，则z· ＝(  ) A.               B.                 C．1                 D．2 3．曲线y＝ 在点(－1，－1)处的切线方程为(  ) A．y＝2x＋1      B．y＝2x－1       C．y＝－2x－3      D．y＝－2x－2 4．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0( ，－ )，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为(  ) 5．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R为增函数． p2：函数y＝2x＋2－x在R为减函数． 则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是(  ) A．q1，q3                         B．q2，q3 C．q1，q4                          D．q2，q4 6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(  ) A．100          B．200            C．300              D．400 7．如果执行如图的框图，输入N＝5，则输出的数等于(  ) A.               B.                 C.                 D. 8．设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝(  ) A．{x|x<－2或x>4}     B．{x|x<0或x>4}  C．{x|x<0或x>6}  D．{x|x<－2或x>2} 9．若cosα＝－ ，α是第三象限的角，则 ＝(  ) A．－           B.                 C．2             D．－2 10．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(  ) A．πa2          B. πa2           C. πa2      D．5πa2 11．已知函数f(x)＝ 若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(  ) A．(1,10)       B．(5,6)          C．(10,12)          D．(20,24) 12．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(  ) A. － ＝1             B. － ＝1            C. － ＝1              D. － ＝1 第Ⅱ卷(非选择题　共90分) 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二（填空题：本大题共4小题，每小题5分） 13．设y＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分 f(x)dx.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，…，N)．再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分 f(x)dx的近似值为________． 14．正视图为一个三角形的几何体可以是________．(写出三种) 15．过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为________________． 16．在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝ CD，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面积为3－ ，则∠BAC＝________. 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分12分)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1. (1)求数列{an}的通项公式；  (2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. 18．(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点． (1)证明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值． 19．(本小题满分12分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下： 性别 是否需要志愿者 　 男 女 需要 40 30 不需要 160 270       (1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； (2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ (3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由． 附： P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828         K2＝ 20．(本小题满分12分)设F1，F2分别是椭圆E： ＋ ＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列． (1)求E的离心率；  (2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程． 21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ex－1－x－ax2. (1)若a＝0，求f(x)的单调区间；  (2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围． 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分． 22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲 如图，已知圆上的弧 ＝ ，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明： (1)∠ACE＝∠BCD；  (2)BC2＝BE×CD. 23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线C1： (t为参数)，圆C2： (θ为参数)． (1)当α＝ 时，求C1与C2的交点坐标； (2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线． 24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数f(x)＝|2x－4|＋1. (1)画出函数y＝f(x)的图象； (2)若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围． 2010年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试卷参考答案 一、选择题： 1.解析：∵A＝{x|－2≤x≤2，x∈R}，B＝{x|0≤x≤16，x∈Z}， ∴A∩B＝{x|0≤x≤2，x∈Z}＝{0,1,2}． 答案：D 2.解析：∵z＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ，∴z· ＝|z|2＝ . 答案：A 3.解析：∵y′＝ ＝ ，∴k＝y′|x＝－1＝ ＝2， ∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1. 答案：A 4.解析：法一：(排除法)当t＝0时，P点到x轴的距离为 ，排除A、D，由角速度为1知，当t＝ 或t＝ 时， P点落在x轴上，即P点到x轴的距离为0，故选C. 法二：由题意知P(2cos(t－ )，2sin(t－ ))， ∴P点到x轴的距离为d＝|y0|＝2|sin(t－ )|， 当t＝0时，d＝ ；当t＝ 时，d＝0. 答案：C 5.解析：p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题； ∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题， ∴q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题． ∴真命题是q1，q4. 答案：C 6.解析：记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1 000,0.1)，所以Eξ＝1 000×0.1＝100，而X＝2ξ，故EX＝E(2ξ)＝2Eξ＝200. 答案：B 7.解析：由框图知：k＝1时，S＝0＋ ； k＝2时，S＝ ＋ ； 当k＝3时，S＝ ＋ ＋ ； 当k＝4时，S＝ ＋ ＋ ＋ ； 满足条件k<5，故还需进行下一步运算， 当k＝5时，S＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝(1－ )＋( － )＋…＋( － )＝1－ ＝ ， 不满足条件k<5，故输出S，选D. 答案：D 8.解析：当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝(－x)3－8＝－x3－8， 又f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝－x3－8， ∴f(x)＝ .∴f(x－2)＝ ， 或 ，解得x>4或x<0. 答案：B 9.解析：∵cosα＝－ 且α是第三象限的角，∴sinα＝－ ， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝－ . 答案：A 10.解析：三棱柱如图所示，由题意可知： 球心在三棱柱上、下底面的中心O1、O2的连线的中点O处， 连接O1B、O1O、OB，其中OB即为球的半径R， 由题意知：O1B＝ × ＝ ，所以半径R2＝( )2＋( )2＝ ， 所以球的表面积是S＝4πR2＝ . 答案：B 11.解析：由a，b，c互不相等，结合图象可知 ： 这三个数分别在区间(0,1)，(1,10)，(10,12)上， 不妨设a∈(0,1)，b∈(1,10)，c∈(10,12)， 由f(a)＝f(b)得lga＋lgb＝0， 即lgab＝0，所以ab＝1，所以abc∈(10,12)． 答案：C 12.解析：设双曲线的标准方程为 － ＝1(a>0，b>0)， 由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有： ， 两式作差得： ＝ ＝ ＝ ， 又AB的斜率是 ＝1，所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得 a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是 － ＝1. 答案：B 二、填空题： 13.解析：由均匀随机数产生的原理知： 在区间[0,1]满足yi≤f(xi)的点都落在了函数y＝f(x)的下方， 又因为0≤f(x)≤1，所以由 围成的图形的面积是 ， 由积分的几何意义知 f(x)dx＝ . 答案： 14.解析：正视图是三角形的几何体，最容易想到的是三棱锥，其次是四棱锥、圆锥；对于五棱锥、六棱锥等，正视图也可以是三角形． 答案：三棱锥、四棱锥、圆锥(其他正确答案同样给分) 15.解析：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意知： ，解之得：a＝3，b＝0，r＝ ， 所以圆的方程是：(x－3)2＋y2＝2. 答案：(x－3)2＋y2＝2 16.解析：由∠ADB＝120°知∠ADC＝60°， 又因为AD＝2，所以S△ADC＝ AD·DCsin60°＝3－ ， 所以DC＝2( －1)， 又因为BD＝ DC，所以BD＝ －1，过A点作AE⊥BC于E点， 则S△ADC＝ DC·AE＝3－ ， 所以AE＝ ，又在直角三角形AED中，DE＝1， 所以BE＝ ，在直角三角形ABE中，BE＝AE，所以△ABE是等腰直角三角形，所以∠ABC＝45°， 在直角三角形AEC中，EC＝2 －3， 所以tan∠ACE＝ ＝ ＝2＋ ， 所以∠ACE＝75°，所以∠BAC＝180°－75°－45°＝60°. 答案：60° 三、解答题： 17.解：(1)由已知得，当n≥1时， an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1 ＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1， 而a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1. (2)由bn＝nan＝n·22n－1知 Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1                                            ① 从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1                                        ② ①－②得 (1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1.即Sn＝ [(3n－1)22n＋1＋2]． 18.解：以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图， 则A(1,0,0)，B(0,1,0)． (1)证明：设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)， 则D(0，m,0)，E( ， ，0)． 可得 ＝( ， ，－n)， ＝(m，－1,0)． 因为 · ＝ － ＋0＝0，所以PE⊥BC. (2)由已知条件可得m＝－ ，n＝1， 故C(－ ，0,0)，D(0，－ ，0)，E( ，－ ，0)，P(0，0,1)． 设n＝(x，y，z)为平面PEH的法向量，则 即 因此可以取n＝(1， ，0)． 由 ＝(1,0，－1)，可得|cos〈 ，n〉|＝ ， 所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为 . 19.解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为 ＝14%. (2)K2＝ ≈9.967. 由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关． (3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好． 20.解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝ a. l的方程为y＝x＋c, 其中c＝ . 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组 化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0， 则x1＋x2＝ ，x1x2＝ . 因为直线AB斜率为1，所以|AB|＝ |x2－x1|＝ . 得 a＝ ，故a2＝2b2，所以E的离心率e＝ ＝ ＝ . (2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知 x0＝ ＝ ＝－ c，y0＝x0＋c＝ . 由|PA|＝|PB|得kPN＝－1.即 ＝－1， 得c＝3，从而a＝3 ，b＝3.故椭圆E的方程为 ＋ ＝1. 21.解：(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1. 当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加． (2)f′(x)＝ex－1－2ax. 由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立． 故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，从而当1－2a≥0， 即a≤ 时，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)＝0，于是当x≥0时，f(x)≥0. 由ex>1＋x(x≠0)可得e－x>1－x(x≠0)，从而当a> 时，f′(x)