计算方法实验报告2
【课题名称】
最小二乘法拟合多项式程序实现
【目的和意义】
在一般情况下，不能要求近似曲线y=p(x)严格地通过所有数据点（xi,yi）,亦即不能要求拟合函数在xi处的残差（亦称偏差）都严格地等于零。但是，为了使近似曲线能尽量反映所给数据点的变化趋势，要求残差的绝对值都较小还是需要的。达到这一目标的途径很多，如使残差平方和最小来选取拟合曲线y=p（x）的最小二乘法。
【计算
公式
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】
设拟合函数的形式为
为已知的线性无关函数，求系数
最小，则称相应的
为最小二乘拟合函数，特别地，若
，则称P(x)为m次最小二乘拟合多项式。
此时即取
，
，…，
，则由
知
，
故相应的法方程组为
解出此时的法方程即得多项式的系数。
【列主元高斯消去法程序流程图】
输入xi，yi（i=1,2，…m）及m，n
生成中间矩阵C
生成法方程的系数矩阵A=C’*C
生成法方程右端向量b=C’*Y
解法方程得ai，并求出均方误差以及最大偏差的值
输出ai，最大偏差，以及均方误差
【列主元高斯消去法Matlab主程序】
function f=zxec(x,y,z) %定义最小二乘法函数，其中x是自变量，y是因变量，为输入方便，x与y均定义为行向量，z为最小二乘法拟合多项式的最高次
n=length(x); %读取地区数据个数
c=ones(n,z+1);
for i=2:z+1 %构造中间矩阵C
for j=1:n
c(j,i)=x(j)^(i-1);
end
end
A=c'*c; %做出系数矩阵A
b=c'*y'; %做出矩阵b
a=inv(A)*b; %计算求a
det=0;
max=0;
for i=1:n
sum=a(1);
for j=2:z+1
sum=sum+ a(j)*(x(i)^(j-1));
end
temp1=abs(y(i)-sum);
if temp1>max
max=temp1; %比较
记录
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最大偏差
end
det=det+temp1^2; %累加求均方误差
end
m=length(a); %将a矩阵倒过来写，以配合函数输出函数poly2str
for k=1:floor(m/2)
temp2=a(k);
a(k)=a(m-k+1);
a(m-k+1)=temp2;
end
poly2str(a,'x') %以函数形式输出
表
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达式
disp(['最大偏差=',num2str(max)]); %输出均方误差和最大偏差
det=sqrt(det);
disp(['均方误=',num2str(det)]);
【调用函数解题】
【编程疑难】
本次的最小二乘法的算法实现较为简单，过程比较清晰，只在调用poly2str函数直接输出表达式时碰到困难。由于开始得到的系数a矩阵的排列方式与poly2str函数输出表达式刚好相反，要通过将系数a矩阵倒过来写才能正确得出表达式。
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