中考数学一模试卷（含解析）2

2016年广东省韶关市南雄二中中考 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 一模试卷 一、选择题 1．下列图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正六边形 2．已知反比例函数y= ，下列结论不正确的是（　　） A．图象经过（1，1） B．图象分布在一、三象限 C．当x＜0时，y＜0 D．当x＜0时，y随x的增大而增大 3．下列事件是必然事件的是（　　） A．打开电视，正在播放新闻 B．三点确定圆 C．实数a＜0，则2a＜0 D．新疆的冬天不下雪 4．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（　　） A．x2﹣2x=5 B．2x2﹣4x=5 C．x2+4x=5 D．x2+2x=5 5．如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于（　　） A．55° B．45° C．40° D．35° 6．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠C=40°，则∠AOB的度数为（　　） A．40° B．50° C．80° D．140° 7．下列说法中 （1）垂直于弦的直径平分于弦； （2）平分于弦的直径垂直于弦； （3）相等的弦所对的弧相等； （4）三角形的内心也是该三角形两内角平分线的交点； （5）三角形的外心到三角形三个顶点距离相等； （6）和半径垂直的直线是圆的切线． 其中正确的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（　　） A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＞0，c＜0 C．a＜0，b＜0，c＞0 D．a＜0，b＜0，c＜0 9．在△ABC中，DE∥BC，分别交边AB、AC于点D、E，AD：BD=1：2，那么△ADE与△ABC面积的比为（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9 10．某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是（　　） A．（a﹣10%）（a+15%）万元 B．a（1﹣10%）（1+15%）万元 C．（a﹣10%+15%）万元 D．a（1﹣10%+15%）万元 　 二、填空题： 11．点（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是　　． 12．方程x2+3x=0的解是　　． 13．已知抛物线的解析式为y=﹣（x+3）2+1，则它的顶点坐标是　　． 14．已知扇形的半径长6，圆心角为120°，则该扇形的弧长等于　　．（结果保留π） 15．如图，请填上一个你认为合适的条件：　　，使△ABD与△ACB相似．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！） 16．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，∠B=60°，AB=4，以点A为圆心在这个梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积是　　． 　 三、解答题： 17．解方程：2x2﹣2x﹣1=0 18．试确定抛物线y=﹣2x2+4x﹣6的开口方向、顶点坐标和对称轴． 19．你吃过拉面吗？实际上在制作拉面的过程中就渗透着数学知识，一定体积的面团做拉面，面条的总长度y（cm）与面条的粗细（横截面积）x（cm2）的关系如图所示： （1）写出y与x的函数关系式； （2）当面条粗1.6cm2时，求面条总长度是多少厘米？ 　 四、解答题 20．如图，某座桥的桥拱是圆弧形，O为其圆心，它的跨度AB为8米，拱高为2米，求桥拱的半径． 21．在不透明的口袋中装有1个白色、一个红色和若干个黄色的乒乓球（除颜外其余都相同），为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了模球的实验，表是本次实验的一些数据： 模球次数 15 80 180 600 1000 模到白球次数 5 21 39 250 模到白球的频率 0.33 0.26 0.21 0.25 （1）试完成表格中的所缺的部份． （2）试估计摸到白球的概率及估计黄色乒乓球的个数． （3）求连续模球两次（不放回）结果是一红一黄的概率． 22．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0①． （1）1是这个方程的一个根，求m的值及另一个根； （2）对于任意的实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由． 　 五、解答题： 23．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克． （1）当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？ （2）若商场只要求保证每天的盈利为6000元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？ 24．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD垂直于过C点的直线，垂足为D，AC平分于∠DAB． （1）试判断CD与⊙O的位置关系． （2）若AD=4，AC=5，求⊙O的半径． 25．如图已知A（﹣ ，0），C（0，3），B为x轴中正半轴上的点，以AB为直径的圆过C点． （1）求∠ACB的度数； （2）已知抛物线y=ax2+bx+3经过A、B两点，求抛物线的解析式； （3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 　 2016年广东省韶关市南雄二中中考数学一模试卷 参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 与试题解析 　 一、选择题 1．下列图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正六边形 【考点】中心对称图形；轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确． 故选D． 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 　 2．已知反比例函数y= ，下列结论不正确的是（　　） A．图象经过（1，1） B．图象分布在一、三象限 C．当x＜0时，y＜0 D．当x＜0时，y随x的增大而增大 【考点】反比例函数的性质． 【分析】根据反比例函数的性质，利用排除法求解． 【解答】解：A、x=1，y= =1，∴图象经过点（1，1），正确； B、∵k=1＞0，∴图象在第一、三象限，正确； C、当x＜0时，图象在第三象限内，y＜0，正确； D、当x＜0时，图象在第三象限内，y随着x的增大而减小，错误． 故选D． 【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y的值随x的值的增大而减小． 　 3．下列事件是必然事件的是（　　） A．打开电视，正在播放新闻 B．三点确定圆 C．实数a＜0，则2a＜0 D．新疆的冬天不下雪 【考点】随机事件． 【分析】根据事件的定义，可得答案． 【解答】解：A、打开电视，正在播放新闻是随机事件，故A错误； B、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故B错误； C、不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变，是必然事件，故C正确； 故选：C． 【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 　 4．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（　　） A．x2﹣2x=5 B．2x2﹣4x=5 C．x2+4x=5 D．x2+2x=5 【考点】解一元二次方程-配方法． 【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方分别进行解答，即可得出答案． 【解答】解：A、因为本方程的一次项系数是﹣2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误； B、先在等式的两边同时除以2，得到x2﹣2x= ，因为此方程的一次项系数是﹣2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误； C、因为本方程的一次项系数是4，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方4；故本选项正确； D、因为本方程的一次项系数是2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误； 故选C． 【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 　 5．如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于（　　） A．55° B．45° C．40° D．35° 【考点】旋转的性质． 【分析】本题旋转中心为点O，旋转方向为逆时针，观察对应点与旋转中心的连线的夹角∠BOD即为旋转角，利用角的和差关系求解． 【解答】解：根据旋转的性质可知，D和B为对应点，∠DOB为旋转角，即∠DOB=80°， 所以∠AOD=∠DOB﹣∠AOB=80°﹣45°=35°． 故选：D． 【点评】本题考查旋转两相等的性质：即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等． 　 6．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠C=40°，则∠AOB的度数为（　　） A．40° B．50° C．80° D．140° 【考点】圆周角定理． 【分析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得到∠AOB=2∠C，即而得到答案． 【解答】解：∵∠C=40°， ∴∠AOB=2∠C=80°． 故选C． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是找准同弧所对的圆周角和圆心角个是哪一个． 　 7．下列说法中 （1）垂直于弦的直径平分于弦； （2）平分于弦的直径垂直于弦； （3）相等的弦所对的弧相等； （4）三角形的内心也是该三角形两内角平分线的交点； （5）三角形的外心到三角形三个顶点距离相等； （6）和半径垂直的直线是圆的切线． 其中正确的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】三角形的内切圆与内心；垂径定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定． 【分析】根据垂径定理、圆周角定理、三角形的内心、外心的性质、切线的判定一一判断即可． 【解答】解：（1）正确．垂直于弦的直径平分于弦． （2）错误．此弦不是直径． （3）错误．同圆或等圆中相等的弦所对的劣弧或优弧相等． （4）正确．三角形的内心是三角形的角平分线的交点． （5）正确．三角形的外心是三角形的边的垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等． （6）错误．过半径的外端和半径垂直的直线是圆的切线． 故正确的有3个， 故选B． 【点评】本题考查垂径定理、圆周角定理、三角形的内心、外心的性质、切线的判定，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于基础题，中考常考题型． 　 8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（　　） A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＞0，c＜0 C．a＜0，b＜0，c＞0 D．a＜0，b＜0，c＜0 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】根据函数图象可以判断a、b、c的正负情况，从而可以解答本题． 【解答】解：由函数图象，可得 函数开口向下，则a＜0， 顶点在y轴右侧，则b＞0， 图象与y轴交点在y轴正半轴，则c＞0， 故选A． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是明确a、b、c的符号根据图象如何判断． 　 9．在△ABC中，DE∥BC，分别交边AB、AC于点D、E，AD：BD=1：2，那么△ADE与△ABC面积的比为（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】根据已知可得到△ADE∽△ABC，从而可得到其相似比与面积比，从而不难求得△ADE与△ABC面积的比． 【解答】解：∵AD：BD=1：2， ∴AD：AB=1：3， 又∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC， ∴相似比是2：3， ∴面积的比是4：9． 故选D． 【点评】本题主要了相似三角形的判定和性质运用，是中考常见题型． 　 10．某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是（　　） A．（a﹣10%）（a+15%）万元 B．a（1﹣10%）（1+15%）万元 C．（a﹣10%+15%）万元 D．a（1﹣10%+15%）万元 【考点】列代数式． 【分析】根据3月份的产值是a万元，用a把4月份的产值表示出来（1﹣10%）a，进而得出5月份产值列出式子（1﹣10%）a×（1+15%）万元，即可得出选项． 【解答】解：3月份的产值是a万元， 则：4月份的产值是（1﹣10%）a万元， 5月份的产值是（1+15%）（1﹣10%）a万元， 故选：B． 【点评】此题主要考查了列代数式，解此题的关键是能用a把4、5月份的产值表示出来． 　 二、填空题： 11．点（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是　（﹣2，3）　． 【考点】关于原点对称的点的坐标． 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），然后直接作答即可． 【解答】解：根据中心对称的性质，可知：点（2，﹣3）关于原点O中心对称的点的坐标为（﹣2，3）． 故答案为：（﹣2，3）． 【点评】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形． 　 12．方程x2+3x=0的解是　x1=0，x2=﹣3　． 【考点】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】首先对原方程的左边进行因式分解，然后即可得x的值． 【解答】解：∵x2+3x=0， ∴x（x+3）=0， ∴x1=0，x2=﹣3． 故答案为x1=0，x2=﹣3． 【点评】本题主要考查用因式分解法解一元二次方程，关键在于正确的对方程的左边进行因式分解． 　 13．已知抛物线的解析式为y=﹣（x+3）2+1，则它的顶点坐标是　（﹣3，1）　． 【考点】二次函数的性质． 【分析】由抛物线解析式可求得其顶点坐标． 【解答】解： ∵y=﹣（x+3）2+1， ∴顶点坐标为（﹣3，1）， 故答案为：（﹣3，1）． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）． 　 14．已知扇形的半径长6，圆心角为120°，则该扇形的弧长等于　4π　．（结果保留π） 【考点】弧长的计算． 【分析】利用弧长公式计算即可． 【解答】解：扇形的弧长= =4π， 故答案为：4π． 【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式：l= 是解题的关键． 　 15．如图，请填上一个你认为合适的条件：　∠1=∠C（答案不唯一）　，使△ABD与△ACB相似．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！） 【考点】相似三角形的判定． 【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答即可． 【解答】解：∵有两个角相等的三角形相似， ∴添加的条件可以是：∠1=∠C． 故答案为：∠1=∠C（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定，此题属开放性题目，答案不唯一． 　 16．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，∠B=60°，AB=4，以点A为圆心在这个梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积是　4π　． 【考点】扇形面积的计算；梯形． 【分析】作AE⊥BC，根据三角函数求得扇形的半径AE，由梯形的性质得出圆心角度数，继而根据扇形的面积公式可得． 【解答】解：过点A作AE⊥BC于E， 则AE=ABsinB=4× =2 ， ∵AD∥BC，∠B=60°， ∴∠BAD=120°， ∴扇形的面积为 =4π， 故答案为：4π． 【点评】本题主要考查扇形的面积计算，掌握扇形面积的计算公式是解题的关键． 　 三、解答题： 17．解方程：2x2﹣2x﹣1=0 【考点】解一元二次方程-公式法． 【专题】计算题． 【分析】此题可以采用配方法和公式法，解题时要正确理解运用每种方法的步骤． 【解答】解法一：原式可以变形为 ， ， ， ∴ ， ∴ ， ． 解法二：a=2，b=﹣2，c=﹣1， ∴b2﹣4ac=12， ∴x= = ， ∴x1= ，x2= ． 【点评】公式法和配方法适用于任何一元二次方程，解题时要细心． 　 18．试确定抛物线y=﹣2x2+4x﹣6的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【考点】二次函数的性质． 【分析】把抛物线化为顶点式可求得答案． 【解答】解： ∵y=﹣2x2+4x﹣6=﹣2（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线开口向上，顶点为（1，﹣4），对称轴为直线x=1． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）． 　 19．你吃过拉面吗？实际上在制作拉面的过程中就渗透着数学知识，一定体积的面团做拉面，面条的总长度y（cm）与面条的粗细（横截面积）x（cm2）的关系如图所示： （1）写出y与x的函数关系式； （2）当面条粗1.6cm2时，求面条总长度是多少厘米？ 【考点】反比例函数的应用． 【分析】（1）由题意可以假设设y= ，利用待定系数法即可解决． （2）把x=1.6代入y= ，求出y即可． 【解答】解：（1）由题意可以假设设y= ， 把（4，32）代入得：K=128， ∴y= （x＞0）． （2）当x=1.6时，y= =80， ∴面条总长度是80厘米． 【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是记住反比例函数图象的特征，熟练掌握待定系数法，属于基础题． 　 四、解答题 20．如图，某座桥的桥拱是圆弧形，O为其圆心，它的跨度AB为8米，拱高为2米，求桥拱的半径． 【考点】垂径定理的应用． 【分析】设圆的半径为R米，由于CD平分弧AB，且CD⊥AB，根据垂径定理的推论得到圆心O在CD的延长线上，再根据垂径定理得到CD平分AB，则AD= AB=4，在Rt△OAD中，利用勾股定理可计算出半径R． 【解答】解：如图，设圆的半径为R米， ∵CD平分弧AB，且CD⊥AB， ∴圆心O在CD的延长线上， ∴CD平分AB， ∴AD= AB=4， 连OA， 在Rt△OAD中，AD=4，OA=R，OD=R﹣CD=R﹣2， ∵OA2=OD2+AD2， ∴R2=42+（R﹣2）2， 解得R= ， 即拱桥所在圆的半径 米． 【点评】本题考查了垂径定理的应用：先把实际问题中的数据与几何图形中的量对应起来，然后根据垂径定理及其推论进行证明或计算． 　 21．在不透明的口袋中装有1个白色、一个红色和若干个黄色的乒乓球（除颜外其余都相同），为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了模球的实验，表是本次实验的一些数据： 模球次数 15 80 180 600 1000 模到白球次数 5 21 39 250 模到白球的频率 0.33 0.26 0.21 0.25 （1）试完成表格中的所缺的部份． （2）试估计摸到白球的概率及估计黄色乒乓球的个数． （3）求连续模球两次（不放回）结果是一红一黄的概率． 【考点】模拟实验；频数（率）分布表；列表法与树状图法． 【分析】（1）根据表中的信息即可得到结论； （2）根据概率公式即可得到结论； （3）根据列表法即可得到结论． 【解答】解：（1） 模球次数 15 80 180 600 1000 模到白球次数 5 21 39 150 250 模到白球的频率 0.33 0.26 0.21 0.25 0.25 （2）从表中可估计摸到白球的概率为0.25， 1÷0.25=4，可得黄球的个数为4﹣1﹣1=2， ∴估计有2个黄色的乒乓球； （3）记一红一黄为“√”，其余记为“╳”，列出表格为： 白 红 黄 黄 白 ╳ ╳ ╳ 红 ╳ √ √ 黄 ╳ √ ╳ 黄 ╳ √ ╳ 从表中可知，“总次数”为12，“一红一白”的次数为4次， ∴P（一红一黄）= ． 【点评】本题考查了模拟实验，频数分布表，列表法和树状图，正确的理解题意是解题的关键． 　 22．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0①． （1）1是这个方程的一个根，求m的值及另一个根； （2）对于任意的实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由． 【考点】根与系数的关系；根的判别式． 【分析】（1）设方程另一根为x1，根据根与系数的关系可得出1+x1=m、1×x1=﹣2，由此可得出x1与m的值，此题得解； （2）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=m2+8＞0，由此得出方程有两个不相等的实数根． 【解答】解：（1）设方程另一根为x1， ∵原方程为：x2﹣mx﹣2=0， ∴1+x1=m，1×x1=﹣2， ∴x1=﹣2，m=﹣1． ∴m的值为﹣1；方程的另一根为﹣2． （2）对于任意的实数m，方程①总有两个不相等的实数根，理由如下： ∵在方程x2﹣mx﹣2=0中，△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣2）=m2+8＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握“两根之和为﹣ ，两根之积为 ”是解题的关键． 　 五、解答题： 23．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克． （1）当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？ （2）若商场只要求保证每天的盈利为6000元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？ 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）设每千克涨价x元，利润为y元，根据总利润=每千克利润×数量建立式子，求出y与x之间的关系即可求出结论， （2）把y=6000代入（1）的解析式，根据题意使顾客得到实惠就可以得出结论． 【解答】解：（1）设每千克涨价x元，利润为y元，由题意，得 y=（10+x）（500﹣20x）， = ， ∴a=﹣20＜0， ∴抛物线开口向下，当x=7.5时，y最大值=6125． （2）当y=6000时， 6000=（10+x）（500﹣20x）， 解得：x1=10，x2=5， ∵要使顾客得到实惠， ∴x=5． 答：每千克应涨价为5元． 【点评】本题考查了总利润=每千克利润×数量建立二次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的性质的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 　 24．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD垂直于过C点的直线，垂足为D，AC平分于∠DAB． （1）试判断CD与⊙O的位置关系． （2）若AD=4，AC=5，求⊙O的半径． 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】（1）根据角平分线定义求出∠1=∠2，求出∠2=∠3，推出∠1=∠3，求出OC⊥CD，根据切线的判定得出即可； （2）连BC，求出△AOC∽△BOC，得出比例式，即可求出答案． 【解答】解：（1）CD为⊙O的切线，理由如下： 连OC， ∵AC平分于∠DAB， ∴∠1=∠2， ∵OC=OA， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3， ∴AD∥OC， ∵AD⊥CD， ∴OC⊥CD， ∴CD为⊙O的切线； （2）连BC， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∵AD⊥CD， ∴∠ADC=90° ∴∠ACB=∠D， ∵∠1=∠2， ∴△AOC∽△BOC， ∴ ， ∵AD=4，AC=5， ∴AB= ， ∴⊙O的半径为 ． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的性质和判定，圆周角定理的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键． 　 25．如图已知A（﹣ ，0），C（0，3），B为x轴中正半轴上的点，以AB为直径的圆过C点． （1）求∠ACB的度数； （2）已知抛物线y=ax2+bx+3经过A、B两点，求抛物线的解析式； （3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质． 【专题】综合题；分类讨论． 【分析】（1）根据以AB为直径的圆过C点可得，AB为圆的直径，进而得到∠ACB=90°； （2）通过判定△AOC∽△BOC，根据OC2=OA•OB，求得B（4，0），再把 A、B的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+3，得 a和b的值，进而得到抛物线的解析式； （3）当△BOD为等腰三角形时，有OD=OB、BD=BO或DO=DB这三种可能，需要分三种情况讨论：①当OD=OB时，不可能；②当OD=DB时，可得D的坐标为 ；③当BD=BO时，可得D（ ， ）． 【解答】解：（1）∵AB为圆的直径， ∴∠ACB=90°； （2）如图，∵∠ACB=90°，CO⊥AB， ∴∠AOC=∠BOC=90°，且∠A=∠BCO， ∴△AOC∽△BOC， ∴ ， ∴OC2=OA•OB， ∵A（﹣ ，0），C（0，3）， ∴ ，OC=3， ∴ ， ∴OB=4， ∴B（4，0）， 把 A、B的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+3，得 ，42a+4b+3=0， 联立方程组后解得： ， ， ∴抛物线的解析式为： ； （3）如图，当△BOD为等腰三角形时，有OD=OB、BD=BO或DO=DB这三种可能， 分三种情况讨论： ①当OD=OB时， ∵OC=3，OB=4，而D在BC上， ∴OD＜OB， ∴OD=OB没有可能； ②当OD=DB时， 如图，过D作DH⊥OB于H，则H 是OB 中点． 由DH∥CO，可得： ， ， ∴D的坐标为 ； ③当BD=BO时， 如图，过D作DG⊥OB于G， ∵Rt△BOC中，OB=4，OC=3， ∴由勾股定理可得，BC=5， 而BD=BO=4， ∴CD=5﹣4=1， 由DG∥CO得： ，即 ， ∴ ， 由DG∥CO得： ，即 ， ∴ ， ∴D（ ， ）． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例定理以及勾股定理的综合应用，解题时需要根据圆周角的性质求出角的度数，用待定系数法求出抛物线的解析式，根据等腰三角形的性质确定点D的坐标．解答此题的关键是画出图形，作出辅助线，结合等腰三角形进行分类讨论． PAGE 23