数列求和的基本方法和技巧
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛
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来谈谈数列求和的基本方法和技巧.
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
3、
4、
5、
[例1] 已知
，求
的前n项和.
解：由
由等比数列求和公式得
（利用常用公式）
＝
＝
＝1－
[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求
的最大值.
解：由等差数列求和公式得
，
（利用常用公式）
∴
＝
＝
＝
∴ 当
，即n＝8时，
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和：
………………………①
解：由题可知，{
}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{
}的通项之积
设
………………………. ② （设制错位）
①－②得
（错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
∴
[例4] 求数列
前n项的和.
解：由题可知，{
}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{
}的通项之积
设
…………………………………①
………………………………② （设制错位）
①－②得
（错位相减）
∴
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个
.
[例5] 求证：
证明： 设
………………………….. ①
把①式右边倒转过来得
（反序）
又由
可得
…………..…….. ②
①+②得
（反序相加）
∴
[例6] 求
的值
解：设
…………. ①
将①式右边反序得
…………..② （反序）
又因为
①+②得 （反序相加）
＝89
∴ S＝44.5
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
[例7] 求数列的前n项和：
，…
解：设
将其每一项拆开再重新组合得
（分组）
当a＝1时，
＝
（分组求和）
当
时，
＝
[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
解：设
∴
＝
将其每一项拆开再重新组合得
Sn＝
（分组）
＝
＝
（分组求和）
＝
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
(6)
[例9] 求数列
的前n项和.
解：设
（裂项）
则
（裂项求和）
＝
＝
[例10] 在数列{an}中，
，又
，求数列{bn}的前n项的和.
解： ∵
∴
（裂项）
∴ 数列{bn}的前n项和
（裂项求和）
＝
＝
[例11] 求证：
解：设
∵
（裂项）
∴
（裂项求和）
＝
＝
＝
＝
∴ 原等式成立
六、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
∵
（找特殊性质项）
∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···
+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）
＝ 0
[例13] 数列{an}：
，求S2002.
解：设S2002＝
由
可得
……
∵
（找特殊性质项）
∴ S2002＝
（合并求和）
＝
＝
＝
＝5
[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若
的值.
解：设
由等比数列的性质
（找特殊性质项）
和对数的运算性质
得
（合并求和）
＝
＝
＝10
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.
[例15] 求
之和.
解：由于
（找通项及特征）
∴
＝
（分组求和）
＝
＝
＝
[例16] 已知数列{an}：
的值.
解：∵
（找通项及特征）
＝
（设制分组）
＝
（裂项）
∴
（分组、裂项求和）
＝
＝
说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。
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