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高一数学数列求和的基本方法和技巧.doc

高一数学数列求和的基本方法和技巧

xu行舟
2019-02-26 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《高一数学数列求和的基本方法和技巧doc》,可适用于高中教育领域

数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要内容又是学习高等数学的基础在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的重要内容之一除了等差数列和等比数列有求和公式外大部分数列的求和都需要一定的技巧下面就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法、等差数列求和公式: 、等比数列求和公式:、        、、例已知求的前n项和解:由由等比数列求和公式得          (利用常用公式)===-例设Sn=…nn∈N*,求的最大值解:由等差数列求和公式得  (利用常用公式)∴===∴当即n=时二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列例求和:………………………①解:由题可知{}的通项是等差数列{n-}的通项与等比数列{}的通项之积设………………………②  (设制错位)①-②得 (错位相减)再利用等比数列的求和公式得:∴  例求数列前n项的和解:由题可知{}的通项是等差数列{n}的通项与等比数列{}的通项之积设…………………………………①………………………………②      (设制错位)①-②得         (错位相减)∴ 三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法就是将一个数列倒过来排列(反序)再把它与原数列相加就可以得到n个例求证:证明:设…………………………①把①式右边倒转过来得(反序)又由可得………………②①②得    (反序相加)∴ 例求的值解:设…………①将①式右边反序得…………②    (反序)又因为①②得                               (反序相加)=∴ S=四、分组法求和有一类数列既不是等差数列也不是等比数列若将这类数列适当拆开可分为几个等差、等比或常见的数列然后分别求和再将其合并即可例求数列的前n项和:…解:设将其每一项拆开再重新组合得(分组)当a=时=             (分组求和)当时=例求数列{n(n)(n)}的前n项和解:设∴ =将其每一项拆开再重新组合得 Sn=                    (分组)=    =            (分组求和)=五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解然后重新组合使之能消去一些项最终达到求和的目的通项分解(裂项)如:()   ()() ()()()例求数列的前n项和解:设                    (裂项)则             (裂项求和)==例 在数列{an}中又求数列{bn}的前n项的和解: ∵∴                   (裂项)∴ 数列{bn}的前n项和(裂项求和)==例求证:解:设∵                  (裂项)∴          (裂项求和)====∴ 原等式成立六、合并法求和针对一些特殊的数列将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质因此在求数列的和时可将这些项放在一起先求和然后再求Sn例 求cos°cos°cos°···cos°cos°的值解:设Sn=cos°cos°cos°···cos°cos°∵                  (找特殊性质项)∴Sn=(cos°cos°)(cos°cos°)(cos°cos°)···(cos°cos°)cos°               (合并求和)=例数列{an}:求S解:设S=由可得……∵         (找特殊性质项)∴ S=                  (合并求和)====例 在各项均为正数的等比数列中若的值解:设由等比数列的性质           (找特殊性质项)和对数的运算性质 得(合并求和)===七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析找出数列的通项及其特征然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和是一个重要的方法例 求之和解:由于             (找通项及特征)∴=         (分组求和)===例已知数列{an}:的值解:∵   (找通项及特征)=       (设制分组)=   (裂项)∴ (分组、裂项求和)==说明:本资料适用于高三总复习也适用于高一“数列”一章的学习。

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