高三第一轮复习——用均值不等式求最值的类型及方法
均值不等式是《不等式》一章重要
内容
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之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。
一、几个重要的均值不等式
①
当且仅当a = b时，“=”号成立；
②
当且仅当a = b时，“=”号成立；
③
当且仅当a = b = c时,“=”号成立；
④
,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；
② 熟悉一个重要的不等式链：
。
二、函数
图象及性质
(1)函数
图象如图：
(2)函数
性质：
①值域：
；
②单调递增区间：
，
；单调递减区间：
，
.
三、用均值不等式求最值的常见类型
类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。
例1、求函数
的最小值。
解析：
，
当且仅当
即
时，“=”号成立，故此函数最小值是
。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：
①
②
解析：①
，
∴
，
当且仅当
即
时，“=”号成立，故此函数最大值是1。
②
，则
，欲求y的最大值，可先求
的最大值。
,
当且仅当
，即
时，
不等式中的“=”号成立，故此函数最大值是
。
评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。
类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。
例3、若x、y
，求
的最小值。
解法一：（单调性法）由函数
图象及性质知，当
时，函数
是减函数。证明：任取
且
，
则
，
∵
，∴
，则
，
即
在
上是减函数。
故当
时，
在
上有最小值5。
解法二：（配方法）因
，则有
，
易知当
时，
且单调递减，则
在
上也是减函数，
即
在
上是减函数，当
时，
在
上有最小值5。
解法三：（导数法）由
得
，当
时，
，
则函数
在
上是减函数。故当
时，
在
上有最小值5。
解法四：（拆分法）
，
当且仅当
时“=”号成立，故此函数最小值是5。
评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。
类型Ⅳ：条件最值问题。
例4、已知正数x、y满足
，求
的最小值。
解法一：（利用均值不等式）
,
当且仅当
即
时“=”号成立，故此函数最小值是18。
解法二：（消元法）由
得
，由
则
。
当且仅当
即
时“=”号成立，故此函数最小值是18。
解法三：（三角换元法）令
则有
则：
，
易求得
时“=”号成立，故最小值是18。
评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：
。原因就是等号成立的条件不一致。
类型Ⅴ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。
例5、已知正数
满足
，试求
、
的范围。
解法一：由
，则
，
即
解得
，
当且仅当
即
时取“=”号，故
的取值范围是
。
又
，
当且仅当
即
时取“=”号，故
的取值范围是
。
解法二：由
，
知
，
则：
，由
，
则：
，
当且仅当
，并求得
时取“=”号，故
的取值范围是
。
，
当且仅当
，并求得
时取“=”号，故
的取值范围是
。
评析：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。
四、均值不等式易错例析：
例1. 求函数
的最值。
错解：
当且仅当
即
时取等号。所以当
时，y的最小值为25，此函数没有最大值。
分析
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：上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件，两个数都应大于零，因而导致错误。因为函数
的定义域为
，所以必须对
的正负加以分类讨论。
正解：1）当
时，
当且仅当
即
时取等号。所以当
时，
2）当
时，
，
当且仅当
，即
时取等号，所以当
时，
.
例2. 当
时，求
的最小值。
错解：因为
所以当且仅当
即
时，
。
分析：用均值不等式求“和”或“积”的最值时，必须分别满足“积为定值”或“和为定值”，而上述解法中
与
的积不是定值，导致应用错误。
正解：因为
当且仅当
，即
时等号成立，所以当
时，
。
例3. 求
的最小值。
错解：因为
，所以
分析：忽视了取最小值时须
成立的条件，而此式化解得
，无解，所以原函数
取不到最小值
。
正解：令
，则
又因为
时，
是递增的。所以当
，即
时，
。
例4.已知
且
，求
的最小值.
错解：
,
,
的最小值为
.
分析：解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为
和
，而这两个式子不能同时成立，故取不到最小值
.
正解：
当且仅当
即
时等号成立.
的最小值为
.
综上所述，应用均值不等式求最值要注意：
一要正：各项或各因式必须为正数；
二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；
三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。
巩固练习：
1、已知：
且
，则
的最大值为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
2、若
，且
恒成立，则a的最小值是( )
(A)
(B)
(C)2 (D)1
3、已知下列不等式：
①
；
②
；
③
.
其中正确的个数是( )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
4、设
，则下列不等式中不成立的是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
5、设
且
的最大值是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
6、若实数
满足
，则
的最小值是( )
(A)18 (B)6 (C)
(D)
7、若正数
满足
，则
的取值范围是 .
8、若
,且
，则
的最小值为 .
9、若
，则
中最大的是 .
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