巧用“两线合一”构建且证明等腰三角形问题

巧用“两线合一”构建且证明等腰三角形问题 湖北省襄阳市樊城区牛首镇竹条一中　李敬峰　谷兴武 学习了等腰三角形的三线合一后，笔者认为，可以根据学生的实际情况，补充“三线合一”的逆命题的教学，因为这种逆命题虽然不能作为定理用，但它在解题中非常常见的。掌握了它，可以为我们解题增加一种重要思路。它有以下几种形式： ①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质） ②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形． ③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形. 因此，三角形“一边上的高、这边上的中线及这边所对角的平分线”三线中“两线合一”就能证明它是等腰三角形． 为了便于记忆，笔者简言之：两线合一，必等腰。 本文重点利用该逆命题作为一种思路正确地添加辅助线，构建等腰三角形且证明之来解决问题。 一、我们先来证明“三线合一”性质的逆命题三种情形的正确性： 证明①：已知:如图1，△ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高。 求证：△ABC是等腰三角形。 分析：AD就是BC边上的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，可以推出AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。具体证明过程略。 证明②：已知:如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高。 求证：△ABC是等腰三角形。 分析：利用ASA的方法来证明△ABD≌△ACD，由此推出AB=AC得出△ABC是等腰三角形。具体证明过程略。 证明③：已知:如图2， △ABC中，AD是∠BAC的角平分线， AD是BC边上的中线。 求证：△ABC是等腰三角形。 方法一： 分析：要证△ABC是等腰三角形就是要证AB=AC，直接通过证明这两条线段所在的三角形全等不行，那就换种思路，经验告诉我们，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是“倍长中线法”（即通过延长三角形的中线使之加倍，以便构造出全等三角形来解决问题的方法），即延长AD到E点，使DE=AD，由此问题就解决了。 证明：如图2，延长AD到E点，使DE=AD，连接BE 在△ADC和△EDB中 AD = DE ∠ADC=∠EDB CD=BD ∴△ADC≌△EDB ∴AC=BE, ∠CAD=∠BED ∵AD是∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD ∴∠BED=∠BAD ∴AB=BE 又∵AC=BE ∴AB=AC ∴△ABC是等腰三角形。 方法二： 分析：上面的“倍长中线法”稍微有点麻烦，经验告诉我们，遇到角的平分线，我们可以利用角的平分线的性质：过角的平分线上一点向角的两边作垂线，从而构造出了高，再利用面积公式开辟出新思维。具体做法是：如图2， 过点D作DF⊥AB， DE⊥AC垂足分别为F、E。又因AD是∠BAC的角平分线，所以DF= DE。 因为BD=DC，利用“等底同高的三角形面积相等”的原理，所以 = ，再根据“等积三角形高相等则底也相等”，因为 = = = ，又因DF= DE，所以AB=AC，可见“面积法”给解题带来了简便，这种方法也正是被人们易忽视的。 当然，学生在作出角的平分线上一点到角的两边的距离时，很容易形成思维定势，证明两组直角三角形分别全等，从而证明∠B=∠C，所以AB=AC，此法明显较麻烦些，但是思路要给予肯定。 需要提醒读者的是：以上我们证明了“三线合一”的逆定理的正确性，但是这种逆命题不能作为定理来用，掌握了它和它的证明过程，其目的是为我们解题增加一种重要思路和方法。 二、 利用“三线合一”性质的逆命题添加辅助线，构建且证明等腰三角形来解决问题 1、逆命题①的应用（即线段垂直平分线的性质的应用） 例1  人教版八（上）第十二章章节复习题中的第5题：如图4，D、E分别是AB、AC的中点，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，求证：AC=AB。 经笔者验证，学生一拿到题目就找全等三角形或构建全等三角形，所以连接AO（图略），证明△AOC≌△AOB或者三组直角三角形分别全等，其中还要用到线段的垂直平分线的性质，证明OA=OB=OC，方法相当地麻烦。 分析：题目没有直接给出“CD、BE分别是AB、AC的垂直平分线”这样的语句，所以学生最初拿到这个题目，很难把分立的垂直和平分两个条件联系在一起。如果学生有“两线合一，必等腰”的思维，很容易想到CD、BE分别可以是以AB、AC为底边的等腰三角形底边上的高和中线，即“两线合一”，因此添加辅助线，构造等腰三角形。 简单证明：连结BC，∵ CD⊥AB，AD=BD ∴ AC=BC  （注：利用线段垂直平分线的性质） 同理可得：AB=BC ∴ AC=AB 由于逆命题①的应用与线段垂直平分线的性质相一致，所以笔者在此就不过多的举例。 2、逆命题②的应用 例2  已知：如图5，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD,D为垂足，AB>AC。 求证：∠2=∠1+∠B 分析：由“AD平分∠BAC，CD⊥AD”可以想到AD可以是同一个等腰三角形底边上的高和底边所对角的平分线，即“两线合一”，因此添加辅助线，构造等腰三角形。 简单证明：延长CD交AB于点E，由题目提供的条件，可证△AED≌△ACD，∠2=∠AEC，又∠AEC=∠1+∠B，所以结论得证。 例3  在学习等腰三角形知识时，会遇到这个典型题目：如图6，在△ABC中，∠ BAC=900，AB=AC，BE平分∠ABC，且CD⊥BE交BE的延长线于点D， 求证：CD= BE 分析：由已知条件可知：BD满足了逆命题②的“两线合一”，所以延长CD和BA，交于点F，补全等腰三角形。 简单证明：由所添辅助线可证△BFD≌△BCD，可知△BCF是等腰三角形 ∴ CD=DF= CF 再证△ABE≌△ACF ∴ BE=CF ∴ CD= BE 可见，学会“两线合一，必等腰”的思维，对满足“三线合一”性质的逆命题的条件，添加适当的辅助线来构造等腰三角形，为我们解决相关问题开辟了新思维。 笔者认为，三个逆命题中以逆命题②在几何证明的应用中尤为突出。 例4  逆命题②还可以与中位线综合应用： 已知： 如图7，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点E，F为BC的中点，连结EF。 求证： EF∥AB，EF= (AC-AB) 分析： 由已知可知，线段AE既是∠BAC的角平分线，又是EC边上的高，即“两线合一”，就想到把AE所在的等腰三角形构造出来，因而就可添辅助线：分别延长CE、AB交于点G。 简单证明：由所添辅助线可证△AGE≌△ACE，得出△AGC是等腰三角形，AG=AC ∴EG=CE 又∵点F是BC的中点 ∴EF是△BGC的中位线 ∴EF∥AB，EF= BG= (AG-AB)= (AC-AB) 3、逆命题③应用： 例5  已知：如图8，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE∥AC 、DF∥AB分别与AB、AC相交于点E，F。求证：DE=DF 分析：根据已知条件，利用相似性知识，可证：点E，F分别是AB、AC的中点（初中阶段不能用三角形的中位线的逆定理），又因点D是BC的中点，再利用三角形中位线的性质可知，DE= AC，DF= AB，可见只要证明AC=AB，题目所求证的结论就可得证。因为AD既是∠BAC的角平分线，又是BC边上的中线，即“两线合一”， 所以△ABC是等腰三角形可证，方法见逆命题③的证明。 证明：过程略。 还有的题目没有直接给出“两线合一”的条件，而是需要证明其中一个条件或者通过作辅助线构建另一个条件，使题目符合“两线合一”思路。 例6         如图9，梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：AD=CD+AB 例7                           分析：拿到这个题目，学生的思维很活跃，有的用“截长补短法”；有的用“角的平分线性质”；有的用“梯形问题转化为三角形问题” 的方法；笔者发现有几个学生延长DC、AE相交于点F，易证△ABE≌△FCE，所以 AB=CF，AE=EF，可见只要证明AD=FD，题目所求证的结论就可得证。可是学生想到这一步，思维受阻：DE此时既是∠ADC的角平分线，又是AF边上的中线，△DAF肯定是等腰三角形，就是不知道怎么证明。可见，学生如果有“两线合一，必等腰”的思维和掌握了它的证明方法，那么此法是可行。只是此法用于这个题目较为麻烦、不可取，但是对于学生的思维火花还是要给予肯定的。 由于笔者在研究过程中，发现逆命题③的应用不是很多，所以在此就不过多的举例。 三、请读者小试牛刀 学习了以上“两线合一，必等腰”的新思路，笔者最后再一次警告读者：由于“三线合一”性质的逆命题①与线段垂直平分线的性质相吻合，所以可直接应用；但是运用逆命题②或③添加辅助线构造的等腰三角形必须先要证明，不能作为定理用，切记切记！谨防与“三线合一”性质搞混淆。 请读者试解下面问题（前2题提示，后3题不予提示） 1、已知，如图10，△ABC中，∠BAC＝ 90°， AD⊥BC于D，∠ABC的平分线交AD于E，交AC于P，∠CAD的平分线交BP于Q。求证：△QAD是等腰三角形。（提示：可证∠AQB=90°，延长AQ。此题把逆命题②与直角三角形的性质综合应用） 2、如图（图略，读者自己画），在△ABC中（AB≠AC），M为BC的中点，AD平分∠BAC交BC于点D，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．求证：ME=MF．（提示：延长BE、CF．） 3、如图（图略），BE、CF是△ABC的角平分线，AM⊥CF于M，AN⊥BE于N． 求证：MN∥BC．（画图时，注意AB≠AC）