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组合数学(西安电子科技大学(第二版))第二章母函数.ppt

组合数学(西安电子科技大学(第二版))第二章母函数

中小学精品课件
2019-04-25 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《组合数学(西安电子科技大学(第二版))第二章母函数ppt》,可适用于高等教育领域

母函数及其应用排列组合问题母函数例有限数列C(n,r)r=,,,…,n的普母函数是母函数例无限数列{…n…}的普母函数是例无限数列{……}的普母函数是母函数母函数母函数母函数母函数母函数母函数例设有个红球个黑球个白球问()共有多少种不同的选取方法试加以枚举?()若每次从中任取个有多少种不同的取法?解:设想用xyz分别代表红、黑、白三种球两个红球的取法与xxx对应起来即红球的可能取法与+x+x中x的各次幂一一对应亦即x=表示不取x表示取个红球x表示取两个。对其它球依此类推。则母函数G(x,y,z)=(+x+x)(+y)(+z)=+(x+y+z)+(x+xy+xz+yz)+(xy+xz+xyz)+(xyz)若令x=y=z=就得所有不同的选取方案总数为G(,,)=++++=母函数例设有个红球个黑球个白球问()共有多少种不同的选取方法试加以枚举?()若每次从中任取个有多少种不同的取法?解:若只考虑每次取个的方案数而不需枚举则令y=xz=x便有G(x)=(+x+x)(+x)(+x)=+x+x+x+x由x的系数即得所求方案数为。母函数例求不定方程kkkk=的解数。其中,限制k可取,,k可取,,k可取,k可取,。解:设不定方程kkkk=k的解组数目为ck本例中m=,k=。注意到对ki(i=,,,)的限制序列{ck}对应的生成函数为:G(x)=(xx)(xxx)(xx)(xx)母函数例求不定方程kkkk=的解数。其中,限制k可取,,k可取,,k可取,k可取,。G(x)=(xx)(xxx)(xx)(xx)=(xx)(xx)x(x)x(x)x=(xx)(x)x=(xxxxx)x只需要多项式(xxxxx)展开式中x的系数就等于x的系数由多项式定理:C=母函数例求不定方程kkkk=n的非负整数解的个数。母函数例确定苹果、香蕉、橘子和梨的n组合的个数其中在每个n组合中要求:苹果的个数必须是偶数香蕉的个数必须是的倍数橘子的个数最多个梨的个数为或个。解:生成函数为:母函数例从n双互不相同的五指袜子中取出r只要求没有任何两只是成对的共有多少种不同的取法?解:生成函数为:例从n双互不相同的袜子(每双袜子中的两只相同)中取出r只要求没有任何两只是成对的共有多少种不同的取法?解:生成函数为:母函数解:例某班有甲乙丙三个小组人数分别为。把本相同的书分给甲、乙、丙个小组再发到个人手上每人最多发一本。考虑将分给某组的某本书发给该组的同学A与将其发给同学B被认为是不同的分法(每个同学最多一本)而且甲、乙两组最少本甲组最多本乙组最多本丙组最少本最多本问有多少种不同的分配方案?母函数母函数母函数解:例甲、乙、丙人把n(n≥)本相同的书搬到办公室要求甲和乙搬的本数一样多问共有多少种分配的方法?母函数母函数母函数母函数母函数母函数母函数母函数例、一粒骰子连续投掷次求出现点数之和为的概率。母函数例、一粒骰子连续投掷次求出现点数之和为的概率。母函数的性质母函数的性质母函数的性质母函数的性质母函数的性质母函数的性质母函数的性质母函数的性质母函数的性质母函数的性质母函数的性质指数型母函数回顾:普通型母函数较好地解决了各种组合的计数问题。启发:对排列问题也采用母函数方式。尤其是n个不尽相异元素中取r个的排列问题。观察n集的r无重排列数和r无重组合数之间有如下关系:由此受到启发排列数数列的母函数应该采用形如的幂级数为好。由于这种类型的幂级数很象指数函数eax的展开式故取名为指数型母函数。指数型母函数指数型母函数指数型母函数例、盒中有个红球个黄球个篮球从中取个球排成一列问共有多少种不同排列方案?指数型母函数例、盒中有个红球个黄球个篮球从中取个球排成一列问共有多少种不同排列方案?所以从中取个球的排列方案有种。指数型母函数指数型母函数指数型母函数指数型母函数指数型母函数例、五个数字能组成多少个四位数?指数型母函数例、求五个数字组成的n位数的个数(每个数字可重复出现)要求其中出现的次数为偶数出现的次数不加限制。指数型母函数例、求五个数字组成的n位数的个数(每个数字可重复出现)要求、、出现的次数一样多和出现的次数不加限制。求这样的n位数的个数。指数型母函数指数型母函数例从n双互不相同的五指袜子中取出r只并排成一列要求没有任何两只是成对的共有多少种不同的排法?解:生成函数为:例从n双互不相同的袜子(每双袜子中的两只相同)中取出r只并排成一列要求没有任何两只是成对的共有多少种不同的排法?解:生成函数为:指数型母函数指数型母函数例、确定每位数字都是奇数的n位数的个数an其中和出现偶数次。指数型母函数例、确定每位数字都是奇数的n位数的个数an其中和出现偶数次。谢谢!

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