Ch5 一元微积分的应用
一、 导数应用
题型1.判断函数单调性
例1.设函数
具有二阶导数，且
，
为自变量在
的增量，
与
分别为
在
处对应增量与微分，若
，则（ ）
（A）
；（B）
；（C）
；（D）
.
解法1：运用函数微分图解；
解法2：由Talyor公式，
又
，（A）正确.
解法3：
*
改为
，选（D）
例2.设
，在
内可导，且
，若
单调递增，则
在
内单调增加.
证：
所以，
在
Ex1.证明函数
在
单调增加.
证：
令
，
，
题型2.函数极值或最值命题
例1.设函数
有二阶连续导数，且
，则下列说法正确的是（ ）
（A）
不是
的极值,
不是曲线的拐点；
（B）
是
的极小值；
（C）
是曲线的拐点；
（D）
是
的极大值.
解：
，
排除法，
故选（B）
Ex2.设函数
有二阶连续导数，并满足
，且
，若
，则（ ）
（A）
；
（B）
；
（C）
；
（D）
.
解：
，
周期性不变，
，
故选（B）.
例2.已知
在
的邻域内有意义，
，其中n为正整数，
，讨论
在
处是否有极值.
*
解：
其中
为偶数；
与
同号；
当
时，
为极小值；
当
时，
为极大值.
为奇数；
在
两侧异号，即
不恒为正或负，
不是极值；
如：
为极大值；
不是极值.
例3.设
是由方程
确定。求
的驻点，并判定其驻点是否为极值点.
解：
代入方程
，观察得
为隐函数的极小值点.
Ex3.设
是恒大于零的可导函数，且
，则当
时，有（ ）
（A）
； （B）
；
（C）
； （D）
.
解：导数形式，积分
，
所以，
故选（A）
题型3.关于函数根的讨论（重点）
（1） 根的存在性（介质TH，Rolle TH）；
（2） 根的个数（单调性或反证）；
（3） 根的唯一性（单调性或反证法）.
例1. 证明奇次方程
一定有实根，其中常数
.
证：不妨设
，
又
在
内连续，因此
*特别地，
有一个实根.
Ex4.讨论曲线
与
交点的个数.
解：
交点个数的问题
为
驻点
为最小值.
，无根无交点；
，唯一实根，一个交点；
，
，
二个根，两个交点.
例2.在区间
上研究方程
的实根个数.
解:
根据单调性讨论：
，无根；
，
唯一根；
，
，
在
与
各有一个根.
Ex5.设a,b,c为实数，求证：方程
的根不超过3个。
证：反证法，
，设
有3个不同根
，
应用Rolle Th，则
至少有3个不同零点；
至少有2个不同零点；
至少有1个不同零点，矛盾.
例3.设
，且
，又
，试证明：
在
内有且仅有一根.
证：*先证存在性，在证唯一性;
由介质TH，则
，使
.
（严格单调）
只有一个根.
Ex6.试证方程
有且仅有一个实根.
证：
即
严格单调增加，又
所以，原方程有且仅有一个实根.
题型4.函数图像的命题
1。切线；
2。单调性；
3。凹凸性（拐点）；
4。渐进性.
例1.曲线
上与直线
垂直的切线方程为
解：切点：
切线方程为
.
Ex7.已知曲线
与
在
处切线相同，写出切线方程，并求
.
解:
,
相同切线：
例2.曲线
的渐近线方程为
解：
所以，渐近线方程为
Ex8. 求
的渐近线方程.
解：
渐近线方程：
二、定积分应用
题型1.求平面图形的面积
1.坐标的选取；
2.对称性（图形）；
3.参数式计算面积.
例1.求曲线
在区间
内的一条切线，使该切线与直线
及
围成的图形面积最小.
解:切点：
切线方程：
，
是唯一驻点
所求切线方程为
.
例2. 求星形线
所围成图形的面积.
公式：
解:原式
例3. 求
与
的公共部分的面积.
公式：
解:令
，
Ex1.曲线
与
轴图形面积最小可
表
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示为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
答案
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：（C）
题型2.求体积
1．
2. 旋转体
3.侧面积.
例1. 设两曲线
与
在
处有公共切线，求这两曲线与
轴围成平面图形绕
轴旋转体的体积
.
解:
在
处有公共切线，
Ex2.求曲线
绕
轴旋转而成圆环面的表面积
解：上半圆：
下半圆：
Ex3.计算
与
的公共部分的体积.
解：联立去项：
圆锥与球冠：
浙公网安备 33021202002483