实变函数和泛函分析基础第三版答案

实变函数和泛函分析基础第三版 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 泛函分析习题解答1、设为一度量空间，令，问的闭包是否等于。解答：在一般度量空间中不成立，例如：取的度量子空间，则中的开球的的闭包是，而2、设是区间上无限次可微函数全体，定义，证明：按构成度量空间。证明：（1）显然且EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4有，特别当时有EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4有。（2）由函数在上单调增加，从而对有即三角不等式成立。3、设是度量空间中的闭集，证明必有一列开集包含，而且。证明：设为度量空间中的闭集，作集：，为开集，从而只要证；可实上，由于任意正整数，有，故：。另一方面，对任意的，有，令有。所以（因为闭集）。这就是说，综上所证有：。4、设为度量空间上的距离，证明也是上的距离。证明：首先由为度量空间上的距离且，因此显然有且的充要条件是，而的充要条件是，因此的充要条件是。其次由函数在上单调增加有即三角不等式成立。所以也是上的距离。5、证明点列按题2中距离收敛于的充要条件为的各阶导数在上一致收敛于的各阶导数。证明：由题2距离的定义：则有：若上述距离收敛于，则。所以对任何非负整数有：。由此对任何非负实数有。从而对任何非负整数，的各阶导数在上一致收敛于的各阶导数。反之：若对每个，的各阶导数在上一致收敛于的各阶导数，则对每个有，则有：从而对任意的非负实数有：。又由于从而；，于是有：。从而取EMBEDEquation.DSMT4时于是有。从而点列按题2中距离收敛于。7、设及是度量空间中两个集，如果，证明必有不相交开集及分别包含及。证明：记。，以为半径作点的邻域，令，则是开集且。同理可作开集，使得。余证，如若不然即，则存在，由及的作法可知，必有，使得，即，。从而有另一方面，，从而有，由于，故得矛盾。因此。9、设是可分距离空间，为的一个开覆盖，即是一族开集，使得对每个，有中的开集，使，证明必可从中选出可数个集组成的一个开覆盖。证明：因是可分距离空间，所以在中存在可数稠密子集。因是的一个开覆盖。因此，存在中的开集，使得且是的内点。存在，使，因在中稠密，从而可在上取出中的点，再取有理数，使得（此处的有理数与均有关系）于是，由的任意性从而满足该条件的开集的全体覆盖。又由于的和均为可数故这种开集的全体至多可数。10、设是距离空间，为中的子集，令，证明是上的连续函数。证明：，则由可得同理可得：EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4。因此当即时有。所以在处连续，由在上的任意性得在上连续。14、Cauahy点列是有界点列。证明：设是度量空间中的中的Cauahy点列，则有。特别取，则对任意的有，则，即点列的直径，从而点列是有界集。其次对于，取，则即是中的有界集。又集EMBEDEquation.DSMT4，所以有界。设是赋范空间，是中的Cauahy点列点列，则时有，今取，则，使得。，取，则，有。所以点列有界。18、设为完备度量空间，是到中的映射，记，若，则映射有唯一不动点。证明：因，由级数收敛之必要条件有，于是对于，，时有。于是时，EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4。从而从后，映射是到的压缩映射。又由于是完备的，所以映射有唯一不动点。_1234567890.unknown_1234567891.unknown_1234567892.unknown_1234567893.unknown_1234567894.unknown_1234567895.unknown_1234567896.unknown_1234567897.unknown_1234567898.unknown_1234567899.unknown_1234567900.unknown_1234567901.unknown_1234567902.unknown_1234567903.unknown_1234567904.unknown_1234567905.unknown_1234567906.unknown_1234567907.unknown_1234567908.unknown_1234567909.unknown_1234567910.unknown_1234567911.unknown_1234567912.unknown_1234567913.unknown_1234567914.unknown_1234567915.unknown_1234567916.unknown_1234567917.unknown_1234567918.unknown_1234567919.unknown_1234567920.unknown_1234567921.unknown_1234567922.unknown_1234567923.unknown_1234567924.unknown_1234567925.unknown_1234567926.unknown_1234567927.unknown_1234567928.unknown_1234567929.unknown_1234567930.unknown_1234567931.unknown_1234567932.unknown_1234567933.unknown_1234567934.unknown_1234567935.unknown_1234567936.unknown_1234567937.unknown_1234567938.unknown_1234567939.unknown_1234567940.unknown_1234567941.unknown_1234567942.unknown_1234567943.unknown_1234567944.unknown_1234567945.unknown_1234567946.unknown_1234567947.unknown_1234567948.unknown_1234567949.unknown_1234567950.unknown_1234567951.unknown_1234567952.unknown_1234567953.unknown_1234567954.unknown_1234567955.unknown_1234567956.unknown_1234567957.unknown_1234567958.unknown_1234567959.unknown_1234567960.unknown_1234567961.unknown_1234567962.unknown_1234567963.unknown_1234567964.unknown_1234567965.unknown_1234567966.unknown_1234567967.unknown_1234567968.unknown_1234567969.unknown_1234567970.unknown_1234567971.unknown_1234567972.unknown_1234567973.unknown_1234567974.unknown_1234567975.unknown_1234567976.unknown_1234567977.unknown_1234567978.unknown_1234567979.unknown_1234567980.unknown_1234567981.unknown_1234567982.unknown_1234567983.unknown_1234567984.unknown_1234567985.unknown_1234567986.unknown_1234567987.unknown_1234567988.unknown_1234567989.unknown_1234567990.unknown_1234567991.unknown_1234567992.unknown_1234567993.unknown_1234567994.unknown_1234567995.unknown_1234567996.unknown_1234567997.unknown_1234567998.unknown_1234567999.unknown_1234568000.unknown_1234568001.unknown_1234568002.unknown_1234568003.unknown_1234568004.unknown_1234568005.unknown_1234568006.unknown_1234568007.unknown_1234568008.unknown_1234568009.unknown_1234568010.unknown_1234568011.unknown_1234568012.unknown_1234568013.unknown_1234568014.unknown_1234568015.unknown_1234568016.unknown_1234568017.unknown_1234568018.unknown_1234568019.unknown_1234568020.unknown_1234568021.unknown_1234568022.unknown_1234568023.unknown_1234568024.unknown_1234568025.unknown_1234568026.unknown_1234568027.unknown_1234568028.unknown_1234568029.unknown_1234568030.unknown_1234568031.unknown_1234568032.unknown_1234568033.unknown_1234568034.unknown_1234568035.unknown_1234568036.unknown_1234568037.unknown_1234568038.unknown_1234568039.unknown_1234568040.unknown_1234568041.unknown_1234568042.unknown_1234568043.unknown_1234568044.unknown_1234568045.unknown_1234568046.unknown_1234568047.unknown_1234568048.unknown_1234568049.unknown_1234568050.unknown_1234568051.unknown_1234568052.unknown_1234568053.unknown_1234568054.unknown_1234568055.unknown_1234568056.unknown_1234568057.unknown_1234568058.unknown_1234568059.unknown_1234568060.unknown_1234568061.unknown_1234568062.unknown_1234568063.unknown_1234568064.unknown_1234568065.unknown_1234568066.unknown_1234568067.unknown_1234568068.unknown_1234568069.unknown_1234568070.unknown_1234568071.unknown_1234568072.unknown_1234568073.unknown_1234568074.unknown_1234568075.unknown_1234568076.unknown_1234568077.unknown_1234568078.unknown_1234568079.unknown_1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