天津市高等数学竞赛试题及答案_4套(05~08)

2005年天津市大学数学竞赛 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 参考答案 一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。） 1．   3  。 2．设函数 由方程 所确定，则曲线 在点 处的法线方程为 。 3．设函数 连续，则 。 4．设函数f和g都可微， ， ，则 。 5． 。 二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。） 1． 函数 在闭区间[1,2]上具有二阶导数， ， ，则 在开区间(1,2)内 (  B   ) （A） 没有零点；                            （B）至少有一个零点； （C） 恰有两个零点；                        （D）有且仅有一个零点。 2． 设函数 与 在开区间(a,b)内可导，考虑如下的两个命题， ⑴ 若 ，则 ； ⑵ 若 ，则 。 则（    A    ） （A）两个命题均不正确；                      （B）两个命题均正确； （C）命题⑴正确，命题⑵不正确；              （D）命题⑴不正确，命题⑵正确。 3． 设常数 ，在开区间 内，恒有 ，记 ，则（    C    ） (A) I < 0；          (B) I = 0；          (C) I > 0；          (D) I非零，且其符号不确定。 4． ，则 在x=a处（  D  ） （A）导数存在，且 ；                （B）导数不存在； （C）取得极小值；                            （D）取得极大值。 5． 累次积分 可以写成（  D  ） （A） ；                    （B） ； （C） ；                        （D） 。 四、设 在 上可导， ，其反函数为 ，若 ，求： 。（本题6分） 解：命 ，则 ，于是 。 将等式 两边同时对x求导，同时注意到 ，于是有 ， 当 时，有 。 对上式两端积分，得到 由 在x=0处连续，可知 ；又 ，解得C=0，于是 。 五、计算 。（本题6分） 解：方法一 方法二 六、设闭区域D： 。 为D上的连续函数，且 ， 求： 。（本题7分） 解：设 ，于是有 ，等式两边计算区域D上的二重积分，得 ， 即                      ， 于是 ， 所以 。 故 。 九、证明 。（本题8分） 证明：方法一（利用积分估值定理） 命 ， 对上式右端的第二个积分，取变换 ，则 ，于是 注意到：被积函数的两个因子在区间 上异号（ ， ），由积分估值定理得知必有I≤0，即知原不等式成立。 方法二（利用积分中值定理） 命 ， 由积分中值定理，并在区间 上取变换 ，同时注意到： ，得 十、设正值函数 在闭区间[a,b]上连续， ，证明： 。 （本题8分） 证明：化为二重积分证明。记 ，则原式 利用了e#>=1+X    (由e#的幂级数展开式可得) 十一、设函数 在闭区间[a,b]上具有连续的二阶导数，证明：存在ξ∈(a,b)，使得 。 （本题7分） 证明：将函数 在点 处作泰勒展开，并分别取x=a和b，得到 ； 。 两式相加得到 。 由于 连续，由介值定理知，存在 使得 ，从而得 ， 即                      。 十二、设函数 在闭区间[-2,2]上具有二阶导数， ，且 ，证明：存在一点ξ∈(-2,2)，使得 。（本题8分） 证明：在区间[-2,0]和[0,2]上分别对函数 应用拉格朗日中值定理 ； 。 注意到： ，因此 ， 。 命： ，则 在区间[-2,2]上可导，且      构造新函数    ； ； 。 故 在闭区间 上的最大值 ，且 。由弗马定理知 。而                ， 故                        。 由于 ，所以 ，从而 。 2006年天津市大学数学竞赛试题参考答案 一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。） 1．若 是 上的连续函数，则a = －1 。 2．函数 在区间 上的最大值为 。 3． 。 4．由曲线 绕y轴旋转一周得到的旋转面在点 处的指向外侧的单位法向量为 。 5．设函数 由方程 所确定，则 。 二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。） 6． 设函数f (x)可导，并且 ，则当 时，该函数在点 处微分dy是 的（  A  ） （A）等价无穷小；                            （B）同阶但不等价的无穷小； （C）高阶无穷小；                            （D）低阶无穷小。 7． 设函数f (x)在点x = a处可导，则 在点x = a处不可导的充要条件是（  C  ） （A）f (a) = 0，且 ；                  （B）f (a)≠0，但 ； （C）f (a) = 0，且 ；                  （D）f (a)≠0，且 。 8． 曲线 （  B  ） （A）没有渐近线；                            （B）有一条水平渐近线和一条斜渐近线； （C）有一条铅直渐近线；                      （D）有两条水平渐近线。 9． 设 均为可微函数，且 。已知 是 在约束条件 下的一个极值点，下列选项中的正确者为（  D  ） （A）若 ，则 ；      （B）若 ，则 ； （C）若 ，则 ；      （D）若 ，则 。 10． 设曲面 的上侧，则下述曲面积分不为零的是（  B   ） （A） ；                            （B） ； （C） ；                            （D） 。 三、设函数f (x)具有连续的二阶导数，且 ， ，求 。（本题6分） 解：由题设可推知f (0) = 0， ，于是有 。 故  。 五、设n为自然数，计算积分 。（本题7分） 解：注意到：对于每个固定的n，总有 ，                无穷小代换 所以被积函数在x = 0点处有界（x = 0不是被积函数的奇点）。又 ， 于是有 ， 上面的等式对于一切大于1的自然数均成立，故有 。所以 。 六、设f (x)是除x = 0点外处处连续的奇函数，x = 0为其第一类跳跃间断点，证明 是连续的偶函数，但在x = 0点处不可导。（本题7分） 证明：因为x = 0是f (x)的第一类跳跃间断点，所以 存在，设为A，则A≠0；又因f (x)为奇函数，所以 。 命： 构造连续函数 则 在x = 0点处连续，从而 在 上处处连续，且 是奇函数： 当x > 0，则－x < 0， ； 当x < 0，则－x > 0， , 即 是连续的奇函数，于是 是连续的偶函数，且在x = 0点处可导。又 ， 即                              ， 所以 是连续的偶函数，但在x = 0点处不可导。 九、计算 ，其中L为 正向一周。（本题7分） 解：因为L为 ，故 其中D为L所围区域，故 为D的面积。为此我们对L加以讨论，用以搞清D的面积。 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ， 故D的面积为2×1=2。从而 。 十、⑴ 证明：当 充分小时，不等式 成立。 ⑵ 设 ，求 。（本题8分） 证明：⑴ 因为 ， 又注意到当 充分小时， ，所以成立不等式 。 ⑵ 由⑴知，当n充分大时有， ，故 ， 而 ，于是 ，  为微积分方法 由夹逼定理知 。 十二、设匀质半球壳的半径为R，密度为μ，在球壳的对称轴上，有一条长为l的均匀细棒，其密度为ρ。若棒的近壳一端与球心的距离为a，a > R ，求此半球壳对棒的引力。（本题7分） 解：设球心在坐标原点上，半球壳为上半球面，细棒位于正z轴上，则由于对称性，所求引力在x轴与y轴上的投影 及 均为零。 设k为引力常数，则半球壳对细棒引力在z轴方向的分量为： 记 。在球坐标下计算 ，得到 若半球壳仍为上半球面，但细棒位于负z轴上，则 。 2007年天津市大学数学竞赛试题参考答案 二、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。） 1. 设函数 ， ，且当x→0时， 与 为等价无穷小，则a = 3 。 2. 设函数 在 点处取得极小值，则 。 3. 。 4. 曲线 在点（1，1，2）处的切线方程为 。 5. 。 二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。） 1. 设函数 连续，则下列函数中必为偶函数的是（  A  ） （A） ；              （B） ； （C） ；                        （D） 。 2. 设函数 具有一阶导数，下述结论中正确的是（  D  ） （A）若 只有一个零点，则 必至少有两个零点； （B）若 至少有一个零点，则 必至少有两个零点； （C）若 没有零点，则 至少有一个零点； （D）若 没有零点，则 至多有一个零点。 3. 设函数 在区间 内具有二阶导数，满足 ， ，又 ，则当 时恒有（  B  ） （A） ；                        （B） ； （C） ；                        （D） 。 4.考虑二元函数 在点 处的下面四条性质： ①连续；                                      ②可微； ③ 与 存在；                  ④ 与 连续。 若用“P Q”表示可由性质P推出性质Q，则有（  B  ） （A）② ③ ①；                          （B）④ ② ①； （C）② ④ ①；                          （D）④ ③ ②。 5.设二元函数 具有一阶连续偏导数，曲线L： 过第二象限内的点M和第四象限内的点N，Γ为L上从点M到点N的一段弧，则下列积分值为负的是（  C  ） （A） ；                        （B） ； （C） ；                        （D） 。 四、证明：当x > -2时， 。（本题7分） 证明：设 ， ， 。 又设： ，则 。 由拉格朗日中值定理知，存在 ，使 ， 而 ，又 ，故 。从而，当x > 2时， ， 即 单调减少，从而 。命题得证。 五、设 ，求 。（本题7分） 解：利用牛顿—莱布尼兹 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ： 。 设 ， 注意到： ； ， ， 。 故 ， 于是有 。 六、设当 时， ，且 ，试确定常数a的值，使 在x = 0点处可导，并求此导数。（本题7分） 解：首先写出 在 x < 0附近的表达式：当 时， 。由 知， ， 故有 显然， 在点 x = 0处连续，且 ， ， 。 因 在x = 0点处可导的充要条件为： ，即 ， 且 。 七、设函数 在区间 内连续，且满足 ， ⑴ 求 ； ⑵ 计算 ，其中L是从原点O到点M（1,3）的任意一条光滑弧。（本题7分） 解：⑴ 将原等式两边对x求导，得到 ， 所以 。 命： ，于是有 。 ⑵ 因为 ， 所以 。 于是可知I与积分路径无关，从而 ， 命： ，当x = 0,y = 0时，t = 1；x = 1,y = 3时，t = 12。 故          。 九、设 ，计算 。（本题7分） 解：将区域D分成三块： 于是 十、设函数 ，其中 在点(0,0)的一个邻域内连续，证明： 在点(0,0)处可微的充要条件是 。（本题8分） 证明：充分性 已知 ，欲证 在点(0,0)处可微，只需证 。 注意到：                      ， 所以                              。 又 ，由夹逼定理知 。 从而 在点(0,0)处可微，并且 。 必要性 已知 在点(0,0)处可微，故 与 都存在。而 ， 其中当 时， ；当 时， 。由于 存在，故 。 十一、计算 ，其中 为一连续函数，Σ是平面 在第四卦限部分的上侧。（本题7分） 解：化为第一类曲面积分求解。设Σ的单位法向量 ，则 其中 。 故 。 十二、设函数 在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且有 ， ，则至少存在一点 ，使得 。（本题6分） 证明：由积分中值定理知，存在 ，使 。 又 ，故若设 ，显然 满足罗尔定理的各个条件，从而至少存在一点 使 。而 ， 从而有                          。 2008年天津市大学数学竞赛试题参考答案 一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。） 1．设f (0)>0， ，则   1  。同工⑴ 2．设 为光滑曲线 上一点，在该点处曲线的一个法向量为｛5,－1｝，则 5  。 3． 。同工⑶ 4．设 ，其中f具有连续的一阶偏导数，则 。 5．设函数 由方程 ，则 。 二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。） 11． 设当 时， 是比 高阶的无穷小，而 是比 高阶的无穷小，则n等于（  D  ）同工⑴ （A）4；              （B）3；              （C）2；                （D）1。 12． 设 ，则函数 在点a处必（  D  ）同工⑶ （A）取极大值；                              （B）取极小值； （C）可导；                                  （D）不可导。 13． 设函数f，g均可微， ，则 （  B  ） （A） ；                                  （B） ； （C）0；                                    （D）1。 14． （  A  ） （A） ；                    （B） （C） ；                      （D） 。 15． 设平面区域 ， ， ， ，则(  C  ) （A）M > N > P；                            （B）M > P > N； （C）N > M > P；                            （D）N > P > M。 三、求常数a，b，使 在所定义的区间上连续。（本题6分） 解：当x ≠ 0,1时， 在定义区间内其它各点处处连续。 ， ， ， 于是有 ，即 。 又 ， ， ， 于是有 。 解方程组 ，得到 。即当 ， 时 在定义区间上连续。 四、对t的不同取值，讨论函数 在区间 上是否有最大值或最小值，若存在最大值或最小值，求出相应的最大值点与最大值或最小值点与最小值。（本题7分）理工三 解：显然 的定义域为： ， ，得驻点： 。 于是有 x －2 1 － 0 ＋ ＋ ＋ 0 － y ↘ 极小值 ↗ 0 ↗ 极大值1 ↘                 又： 。 记： 与 分别表示 在区间 上的最大值与最小值。 又上表不难看出： ① 时， ； ② 时， ； ③ 时，无 ， ； ④ 时，无 ， 。 五、过曲线 上点A作切线，使该切线与曲线 及x轴所围平面图形D的面积 。 ⑴ 求点A的坐标； ⑵ 求平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。（本题7分）理工十一 解：⑴ 设A点坐标为 ，则切线方程为： ，即 。 命：y = 0，得此切线与x轴的交点横坐标为 ，从而图形D的面积为 。 。即A点的坐标为(1,1)。 ⑵ 平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为： 。 六、设函数 ，其中 是连续函数，且 。 ⑴ 求 ； ⑵ 讨论 的连续性。（本题7分）理工五 解： ，由已知得 。 ⑴ 当 时，有 在 点处，由导数定义有 所以 ⑵ 因为 ， 故 在 点处连续；又当 时， 连续，所以 处处连续。 七、设函数 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内具有二阶导数，且 。证明： ，n为正整数。（本题7分）人文十一 证明：设 ，有泰勒展开式： ，其中ξ位于t与x0之间。 命： ，得 。 注意到：当 时， ，所以 ， ， 取 ，得到 。 八、设函数 ， 在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且对任意 都有 ， 证明：如果 在(a,b)内有两个零点，则介于此两个零点之间， 至少有一个零点。（本题7分）人文十 证明：设 使 。若在区间 内 没有零点，又 ，故 。可设 ， 显然，在区间 上 满足罗尔定理的各项条件，所以至少存在一点 使 ，即必有 ，与题设条件矛盾，故可知必存在 使 。 九、设函数 在闭区间 上具有连续的导数， ，且 。 ⑴ 求 ； ⑵ 证明 。（本题7分）理工六 ⑴ 解： 。 ⑵ 证明：令 ， 因对任何实数λ，被积函数≥0，故 ，所以其判别式 ， 即 。 十、设二元函数 具有二阶连续偏导数，证明： 可经过变量替换 化为等式 。（本题6分）理工七 证明：由题意可解得 ，从而 。 ， ， 故 ，即 。 十一、设   求 ，其中 （本题8分） 解：记区域 ，则 。 当 时，曲线 与 的交点A的坐标为： 在极坐标下计算，点A的极坐标为： ， 。 区域 ，所以 十二、求λ的值，使两曲面： 与 在第一卦限内相切，并求出在切点处两曲面的公共切平面方程。（本题8分）理工八 解：曲面 在点 处切平面的法向量为 。 曲面 在点 处切平面的法向量为 。 欲使两曲面在点 处相切，必须 ，即 。 由 ，得 ，即 。 于是有 ，解得 。 公共切平面方程为 ，化简得 。