第三章 一维扩散方程
本章讨论一维扩散方程。首先，从随机过程中的一维扩散方程的讨论可直接得到扩散方程的解。然后对非齐次和各类边值问题相应的扩散方程作了讨论。讨论的方程类型
（1）直线上的齐次和非齐次扩散方程：
；（利用随机过程的理论得到结论，再直接验证）
；（算子方法，与常微分方程类比）
（2）半直线上的扩散方程
；（其它非齐次边界等）
对扩散方程理论方面的探讨：最大（最小）值原理。由此证明方程解的唯一性和稳定性。
§3.1全直线上的扩散方程
首先讨论随机过程中的扩散过程。设想粒子在一维直线上作连续随机游动（Brown运动），满足性质：在
时间内位移转移概率为均值为0，方差为
的正态分布。在时刻
处于
的概率密度记为
。则
，
或
因此，
。
可见：一维Brown运动的状态概率密度满足扩散方程。
从随机过程的角度，可直接写出状态概率密度：
。
所以，有如下定理。
定理 扩散方程
的解为
。
证 由
，
易知初始条件成立：
。
且对函数
，直接计算，有
，
，
，
所以，
。
即但
与
只差常数倍，故
。
【end】
对具有源的扩散方程
，
可用常微分方程的结果类比得到。
常微分方程
的解为
。可以把
理解为一个算子：把初始函数
变换为一个新的函数。
而齐次方程的解也可这样理解：
，
定义了算子
。只不过常微分方程中
，直接可用一个函数给出该算子。
非齐次常微分方程
的解为
，
这里，为类比得到偏微分方程的结果，用算子形式
表
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示了结论。由此得到结论
定理 直线上的非齐次扩散方程的解为
。
证 直接验证结论。前一项显然满足齐次方程，即
，
而后一项，
即
所以，
满足方程。
初始条件显然也满足：
。
因此，定理成立。
【end】
该方法是处理非齐次方程的一般方法。这里，来说明如何用于非齐次波动方程
的求解。由于波动方程关于时间是两次的，所以不能直接用。但是注意到
是下面波动方程
，
的解，故定义算子
，
那么原来齐次波动方程的解为
，
则非齐次的波动方程的解为
。
注意到
，
即得结论。
§3.3半直线上的扩散方程
类似于波动方程，利用延拓方法可讨论边值问题的解。对特殊的Dirichlet问题（边界是齐次的）
，
可用奇延拓方法来求解。奇延拓后的系统，
其中，
。该方程的解
，
因此，原方程的解，
【end】
对Neumann问题（边界是齐次的）
，
为保证函数在原点导数为零，必须使函数为偶函数，所以，采用偶延拓。延拓后的系统
，
其中，
。该方程的解，
，
因此，原方程的解为
【end】
对半直线上的非齐次方程（齐次边界）的Dirichlet问题和Neumann问题，
，
仍可用奇延拓和偶延拓方法分别解决。
对非齐次方程，非齐次边界的Dirichlet问题，
，
则可利用叠加原理和函数变换方法，把问题分解齐次边界的相应问题求解。
作函数变换：
，则
问题成为其次边界问题。
对非齐次方程（非齐次边界）的Neumann问题
，
则可作变换：
，变为齐次边界的Neumann问题，
，
然后再用偶延拓方法求解。
§3.2 一维扩散方程最大（最小值）原理和解的唯一性和稳定性
若函数
满足齐次扩散方程，那么有下面结论。
定理（最大值原理） 如果
，则在矩形时空区域（
）内，函数
的最大值只能在
，在边界
或
上取得。
（最小值原理也类似成立）
证 这是闭区域上的二元函数的极值问题，极值点可能是区域内点，也可能在边界上。定理结论是说，极值点在特定的边界上取到。极值在区域内部取到是有必要条件的，即该点的一阶导数为零，而二阶导数必须是半正定的。
用反证法证明在矩形内部不能取到极值。若
在矩形内取到极值，则
，
。
此时，如果
，则产生矛盾：
。故只要证
时，仍会产生矛盾。
记边界上函数的最大值是
。构造
。
下证：
（如果证得此结论，则令
即得定理的结果）。
由于在边界上，
，所以只要证
不能在
（1）矩形内部；（2）矩形顶部：
取得最大值。
（1）若在内部有最大值，则
。但
，
矛盾。
（2）在矩形顶部，则
，仍矛盾。所以定理结论成立。
【end】
利用上述极值原理，可得到Dirichlet 问题的唯一性和稳定性。
定理 如果扩散方程
解存在，则解必定唯一。
证 如果
和
都是解，则
是方程
的解。由最大值原理，在矩形内
，即
。
【end】
利用该原理还可得到方程解的稳定性。
定理 如果扩散方程
和
的解分别为
和
，则
。
证 对
直接利用极值原理。
【end】
第三章 习题
1. 对满足扩散方程
的函数
，在矩形区域
找出取到最大值和最小值的点和相应的值。
解 在
上，显然
，
处有最大值
；而
，
处有最小值
。
在
上，显然
，
处有最大值
；而
，
处有最小值
。
所以，最大值为
，在
处；最小值为
，在
处。
2. 求扩散方程的解
的解，其中
。（用积分形式表示）
3. 求扩散方程的解
的解，其中
。
4. 求具有耗散的扩散方程
的解，
。（提示：作函数变换
）。
5. 求具有耗散的扩散方程
的解，
。
6. 求方程
的解，
。（提示：作变量代换
）。
7. 求扩散方程
的解。
8. 求扩散方程
的解。
9. 求扩散方程的Neumann问题
的解。
10. 利用延拓方法求非齐次扩散方程
的解。
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