函数的三要素
【函数定义域求法】
一、常规型
即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。
分式中的分母不为零;
偶次方根下的数(或式)大于或等于零;
指数式的底数大于零且不等于1;
0的0次幂没有意义;
对数式的底数大于0且不等于1,真数大于0。
正切函数
余切函数
例1 求函数
的定义域。 例2 求函数
的定义域。
二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。
? 类型一:已知
的定义域,求
的定义域。
其解法是:已知
的定义域是[a,b]求
的定义域是解
,即为所求的定义域。
例1 已知
的定义域为[-2,2],求
的定义域。
? 类型二:已知
的定义域,求f(x)的定义域。
其解法是:已知
的定义域是[a,b],求f(x)定义域的方法是:由
,求g(x)的值域,即所求f(x)的定义域。
例1 已知
的定义域为[1,2],求f(x)的定义域。
三、实际问题型
这里函数的定义域除考虑解析式有意义外,还要注意问题的实际意义对自变量的限制
例1 用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架,如图,若矩形底边长为2x,求此框架围成的面积y与x的函数关系式,并求定义域。
四、逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R,求参数范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例1 已知函数
的定义域为R求实数m的取值范围。
针对练习: 已知函数
的定义域是R,求实数k的取值范围。
【函数值域求法】
一、直接法(从自变量
的范围出发,推出
的取值范围)
例1 求函数
的值域。
二 对称轴法(是求二次函数值域的基本方法,如
的函数的值域问题,均可使用对称轴法)
例1 求函数
(
)的值域。
三、判别式法(把函数转化成关于x的二次方程
,通过方程有实根,判别式
,从而求得原函数的值域,形如
)
例1求函数
的值域
四、分离常数法(分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法)
例1求函数
的值域。 例2求函数
的值域。
五、换元法(运用代数代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域,如
(
、
、
、
均为常数,且
)的函数常用此法求解。
例1求函数
的值域。 例2求函数
的值域。
例3函数
的值域 针对练习:
★小结:
(1)若题目中含有
,则可设
(2)若题目中含有
则可设
,其中
(3)若题目中含有
,则可设
,其中
(4)若题目中含有
,则可设
,其中
(5)若题目中含有
,则可设
其中
六、函数的单调性法(确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域,形如求函数
的值域(
时为减函数;
时为增函数))
例1求函数
的值域。
例2 求函数y_=
_(2
x
10)的值域 针对练习:求函数y=_
-
的值域。
七、数型结合法(函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图像求得函数值域,是一种求值域的重要方法)
例1求函数
的值域。
___
例2
求函数y=
_的值域 例3 求函数
的值域
___ _
针对训练:.已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.求(1)
的最大值和最小值;(2)y-x的最小值;(3)x2+y2的最大值和最小值
【函数解析式求法】
★
知识点
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拨: 求解析式常见的方法有:待定系数法、换元法、配凑法、奇偶法、消元法(也叫方程组法)等。
一、待定系数法:
特征:已知函数类型;
对策:设出表达式,由已知列方程,从而解出待定系数。
例1设二次函数
满足
且
=0的两实根平方和为10,图象过点(0,3),求
的解析式
二、 换元法:
特征:当自变量很复杂的时候,换成新元t,并能解出
对策:解出
代入原来的表达式
例2若
,求
.
三、 配凑法:
特征:当
或
充当函数自变量的时候
对策:通常用用一些等价变形
公式
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构造相同的形式,以便换元求出表达式
例3已知
,求
针对练习:已知
, 求
的解析式.
四、 函数性质法:
例4若
,当
时,
,求当
时,
的解析式。
例5已知函数
是定义在
上的奇函数,它在
上是一次函数,在
上是二次函数,且当
时,
,
,求
的解析式。
五、 消元法(也叫方程组法):
特征:已知一个方程两个未知量的时候
对策:再构造出来一个方程包含原来方程的两个变量,解方程组就能求出表达式
例7、已知f(x)满足
,求