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第四章电磁波的传播.doc

第四章电磁波的传播

艾尔小茜茜
2019-02-11 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《第四章电磁波的传播doc》,可适用于自然科学领域

授课内容教学方法与说明第四章电磁波的传播上两章讨论了孤立存在的静电场和静磁场(不随时间变化的情况)。在电荷、电流分布随时间变化的情况(迅变)下将产生变化着的电场、磁场。变化着的电场、磁场还互相激发形成在空间中传播的电磁波(电磁场以波动形式存在)。由于在广播通讯、光学和其他科学技术中的广泛应用电磁波的传播、辐射和激发问题已发展为独立的学科具有十分丰富的内容。本章讨论电磁波传播的最基本理论。平面电磁波是交变电磁场存在的一种最基本的形式。第一节讨论无界空间(真空或充满介质)中平面单色波的传播。第二节讨论平面单色波在介质分界面上的反射和折射。第三节讨论平面单色波在导体中的传播。第四、五节讨论有界空间中的电磁波以谐振腔和波导管为例说明电磁波边值问题的解法。第六节讨论等离子体的电磁性质及电磁波在等离子体中的传播。第一节平面电磁波预习提纲一、关于波动方程、静止电荷产生的电场、恒定电流产生的磁场在空间中能否以波的形式传播?为什么?、对自由空间如何导出波动方程?、对均匀各向同性介质在无自由电荷、电流分布情况下能否导出类似于真空中的波动方程那样的方程?为什么?二、关于时谐电磁波、时谐电磁波的定义。、对时谐波由麦氏方程组可以得出几个独立方程?形式如何?、亥姆霍兹方程与波动方程形式上有何不同?、亥姆霍兹方程的基本解是为什么称其为平面波?三、关于平面电磁波特点、平面电磁波有何特点?、由证明、都是横波、、三者互相垂直沿方向。、证明讲授内容一、波动方程电磁波的基本方程是麦氏方程组()()对没有电荷电流分布()的自由空间(真空或充满介质)麦氏方程变成齐次的即,在真空中(当然无电荷电流分布)满足、关于电场的波动方程又由矢量分析可得上两式相等可得、关于电场的波动方程同理=又由矢量分析可得上两式相等可得如果令则有(条件:无电荷、电流分布真空)这是真空中电磁场的变化规律称波动方程。可以求出磁场强度与电位移矢量的波动方程。是电磁波在真空中的传播速度一切电磁波、包括各种频率范围的电磁波如无线电波光波射线等都以速度传播。麦克斯韦提出光的电磁说说明光是一种电磁波。问题:那么对均匀、各向同性的介质无电荷电流分布时是否可导出答:导不出。因、是电磁波频率的函数当频率随时间变化时并不成立、也是时间的函数。、随而变化这种现象称为介质的色散。比如SKIPIF<因此在介质内不能导出的一般波动方程千万不要把即由真空情况就转在介质情形这是不正确的。当然对频率一定的电磁波在均匀、各向同性的介质中是成立的下面我们讨论这种情况。二、时谐电磁波时谐电磁波很多情况下电磁波的波源往往以大致确定的频率做正弦振荡因而辐射出的电磁波也以相同的频率做正弦振荡例如无线电广播就是这样。以一定频率做正弦振荡(或余弦振荡)的电磁波称时谐电磁波亦称单色波。如果某个电磁波不是单色波可用傅立叶分析的方法分解为不同频率的正弦波(或余弦波)的叠加。因而可以只讨论一定频率的余弦波或(为计算方便引入理解为只取实部)再加上介质电磁性质方程代入齐次方程组并消去共同因子后有(上面四个式子中的都是而不是)先注意一点时即为静电场静磁场。当时上面的三、四两式可由一、二两式导出因为。亥姆霍兹方程()电场强度矢量的亥姆霍兹方程其中称为亥姆霍兹方程。其解不一定满足因此只有附加上条件后亥姆霍兹方程的解才代表电磁波。解出后可由得总之在一定频率下(即对时谐电磁波或单色波)在均匀各向同性介质中线性情况下无电荷、电流分布时麦氏方程组可化为这些方程的每一个解代表一种可能的波模。一定频率下电磁波的基本方程其解为()。代表电磁波电场强度(磁感应强度)在空间中的分布情况。每一种可能的解称为一种波模。()磁感应强度矢量的亥姆霍兹方程类似地也可象下面这样化麦氏方程组两式相等可得上式即为磁感应强度矢量的亥姆霍兹方程在一定频率下(即对时谐电磁波或单色波)在均匀各向同性介质中线性情况下无电荷、电流分布时麦氏方程组可化为三、平面单色波由亥姆霍兹方程可解出可能有各种不同形式的解天线发出的球面波沿波导传播的导波。最基本形式的解是存在于全空间的平面波解。这种电磁波其波阵面(等相位点组成的面)为与传播方向正交的平面。由于亥姆霍兹方程导出的前提是频率一定因而这里所说的平面波实质是平面单色波。最简单的情况是场强与无关只与有关=在这种情况下亥姆霍兹方程化为它的一个解是(场强的空间部分)()但必须满足即即或说明电场是在垂直于x轴的平面上振动。场强的全表示式为只要上式即代表一种可能的波模。()为什么说这是平面波呢?空间中坐标分量相同的点(处于同一个平面)具有相同的场强(相位相等)可见其等相面垂直于轴。()传播方向至于传播方向、波速可由位相因子看出。前面说过理解为取实部。当时波峰满足=波峰是的平面时刻波峰=SKIPIF<平面。由此看出传播方向沿方向。()波速色散传播速度或写成、为相对电容率、相对磁导率它们是的函数对不同频率电磁波在介质中有不同的波速色散现象。()特征量波长周期当固定相差的位相面。当固定相差的位相面。上面讨论的只是特殊情况下亥姆霍兹方程的解。满足一般形式的亥姆霍兹方程的平面单色波是其中大小(波数为距离内的波数)为方向为沿波传播方向称为波矢。容易验证上述满足亥姆霍兹方程。()()当然此必须满足才是电磁波解。。因此此式说明电场的波动是横波(在垂直于传播方向的平面内振动)可选与垂直的两个互相垂直的方向为独立的偏振方向。()又为什么说它是平面波?()因在垂直于的平面上无论场点位置如何=常数(平面的点法式方程)。()由位相因子看出同一时刻垂直于的平面上位相相等此垂面是等相面。因此此解为沿方向传播的平面电磁波。注意到在平面单色波的求解过程中满足对应关系从电场的表达式可求出磁场=为波传播方向单位向量。由以上看出平面单色波的、方向,,,其中也可由得出:由上面看出、、是三个互相垂直的矢量由相位因子还可看出、同位相振幅比真空中可概括平面单色电磁波特征如下:()由可得这表明电场磁场不独立而且与互相垂直振动方向与传播方向三者互相垂直并满足右手螺旋法则。横波、沿方向(由也可看出)()、同位相振幅比为相速。(由)平面波的理论价值是三维空间波动的函数系。数学上称之为傅立叶分析空间的波都可以写成平面波的叠加。实际生活中多为平面波。多种不同频率的电磁波在介质中传播。由于波速不同出现不同的分布称之为色散。四、平面电磁波的能量和能流由第一章第六节电磁场能量密度为对平面电磁波即平面电磁波的能量密度为而能流密度SKIPIF<==还可计算、的瞬时值、平均值由于能量密度和能流密度是场强的二次式不能把场强的复数表示直接代入这是因为这就要求计算、的瞬时值时应把场强的实部代入即为实际上、都是随时间迅速脉动的量只需用到它们的时间平均值即因为故得同理可得从而得到这里给出复二次式求平均值的一般公式:若第二节电磁波在介质界面上的反射和折射本节所要研讨的问题是:用Maxwell电磁理论来分析在介质的分界面上电磁波将发生的反射和折射规律。电磁波通过介质分界面时发生反射和折射我们要研究反射和折射规律内容包括()运动学规律入射面、反射角、折射角的关系()动力学规律入射波、反射波、折射波的振幅比和相位关系。运动学规律是直接从光在两种介质的分界面上的反射和折射现象的波动性质及其所满足的边界条件得出的但不依赖于波的性质或边界条件。而动力学规律完全依赖于电磁场的特定性质以及边界条件。研究电磁波反射折射问题的基础是电磁场在两个不同的介质界面上的边值关系。下面我们利用电磁场的边值关系来分析反射和折射的规律。一、反射和折射定律(入射角、反射角、折射角的关系)LawofReflectionandRefraction(iePhaseRelation)任何波动在两个不同界面上的反射和折射现象属于边值问题它是由波动的基本物理量在边界上的行为确定的。对电磁波而言、是由的边值关系确定的。因此研究电磁波反射和折射问题的基础是电磁场在两个不同介质界面上的边值关系。第一章第五节,我们由麦克斯韦方程组的积分形式导出了电磁场的边值关系(面自由电流密度)(面自由电荷密度)在两种绝缘介质的分界面上是不可能有面自由电荷、面自由电流的,,,正如上节证明的对频率一定的电磁波(时谐电磁波或单色波)四个方程不独立后二个方程可由前二个方程导出上面四个边值关系也是不能独立的(对单色波)后二个可由前二个导出。下面证明边值关系式不是完全独立的这个问题。a)由法拉第(Faraday)电磁感应定律出发:因为对于单色平面电磁波上式可改写为设在介质Ⅰ、Ⅱ的分界面两侧分别取两个和分界面平行且完全相同的闭合回路如图所示:对于两个回路有考虑到则即两式相减得如果即故上式左边为则得到即也就是说,与只有一个独立b)同理由出发对于单色平面电磁波有对于两个完全相同的回路两式相减有如果,即故上式左边为则得到即也就是说,与只有一个独立因而讨论单色波的边值关系时只须保留,。虽然是比更基本的量但由于只与自由电流有关而与磁化电流、极化电流有关。使用比较方便。当面的曲率半径界面可看作平面。电场传到界面界面上出现极化电荷磁化电流此时场由自由电荷、传导电流极化电荷、磁化电流共同激发。假设:①界面为的平面、无穷大平面空间为介质空间为介质即界面法向为轴正向。②由Fourier频谱分析可知反射波和折射波与入射波一样也是平面单色波。否则不满足边值关系。或者说由于要满足麦克斯韦方程组所以是解。(麦克斯韦方程组完备性定理)在这里要满足亥姆霍兹方程和边值关系即可。③由介质射向介质介质中总场强为入射波与反射波的叠加介质中只有折射波。入射波反射波折射波电场强度波矢电场表达式在的平面上有一些边界条件该平面上的一切点必须永远满足这些边界条件()。这个事实意味着:在处所有场的空间和时间变化必须相同。因此所有的相因子在处必须相等即在边界面上将平面电磁波代入上式有要使该式成立只要以及(指数因子相等)成立因为,,都是独立变量若相等必有它们的系数应各自相等即有()()()()式说明反射波、折射波的频率与入射波的频率相同。取入射波矢所在的平面为平面即选择坐标系使得由此可得即得出入射波矢、反射波矢、折射波矢在同一平面内()设入射角为反射角为折射角为则有由()式可得其中。因此有()。()这是我们熟知的反射和折射定律。对一般介质除铁磁质外都有。因而介质相对于介质的折射率但应注意单色波的频率不同就不同这是色散在折射问题中的表现。二、振幅关系菲涅耳公式(入射波、反射波和折射波的振幅比和相对相位)Fresnel’sFormula(ieAmplitudeRelation)所谓菲涅耳公式就是在边值关系条件下求得的入射波、反射波和折射波的振幅关系。由于对每一个波矢有两个独立的偏振波所以我们只需要分别讨论垂直于入射面和平行于入射面两种情形、垂直入射面由,()()由第一节中得因此()由下面三个式子联立①②③可解出:①代入②两边同除。()()平行入射角由,①②③联立可解将代入②即SKIPIF<代入上式得两边除==SKIPIF<()=()、()两式称菲涅耳公式表示反射波、折射波与入射波场强之比也是振幅比()。因振幅满足同样边值关系,由两个式子可看出垂直入射面偏振的波与平行入射面偏振的波的反射、折射行为不同。因而如果入射波为自然光(两种偏振光的等量混合)则经过反射、折射后反射波、折射波都变为部分偏振光。由()()可得到光学中的布儒斯特定律和半波损失。()布儒斯特定律由()平行入射角当时在即平行于入射面的分量没有反射波或反射波中没有平行于入射面的分量反射光变为垂直于入射面偏振的完全偏振光此即布儒斯特定律满足此条件的入射角称布儒斯特角。()半波损失由()垂直入射面当时对垂直入射面的情况为负值即反射波与入射波电场反相这种现象称反射过程中的半波损失。光疏介质入射光密介质。这些结果与光学实验完全符合。三、全反射由可知若(光密介质入射光疏介质)电磁波由介质入射则折射角是固定的而可变化当时折射波沿界面掠过如果入射角继续增大使此时不能定义实数的折射角将出现不同于一般反射、折射的物理现象称全反射。在这种情况下(由入射)其电磁波解为主要结果是折射波电场强度沿方向(界面法线方向)指数衰减即场强只在于界面附近的薄层内。透入第二种介质中的平均能流密度为零而反射波平均能流密度等于入射波平均能流密度但透射波的瞬时能流密度不为零:在半个周期内电磁能量透入介质。在界面附近薄层内储存起来在另半个周期内储存的能量释放出来变为反射波能量。第三节有导体存在时电磁波的传播在§中讨论了电磁波在真空和绝缘介质中的传播对真空及理想的绝缘介质(不漏电)电磁波没有损耗无衰减地传播。电磁波在导体中的传播主要特点是:导体中有自由电子在电场作用下会形成传导电流引起焦耳热使电磁能量不断损耗(变为热量)。因此导体中的电磁波是衰减的。一、导体中的自由电荷、导体内的电荷分布对静电导体内无自由电荷(否则电荷流动即未达到稳定)自由电荷只能分布在导体表面。交变情况下如何?设导体内有自由电荷分布由麦克斯韦方程电磁性质方程欧姆定律电荷守恒定律得其中表明当导体内某处有电荷密度出现时就有电流从该处向外流出。从物理上看这是很明显的。因为假如某区域内有电荷积聚的话电荷之间相互排斥必然引起向外的电流。由于电荷外流每一体元内的电荷密度减小。的变化率由电荷守恒定律确定。积分后得出其中为时的电荷密度、衰减的特征时间上式说明电荷密度随时间指数衰减衰减的特征时间定义为:由衰减到所需要的时间间隔以表示。显然导体的导电性越好(即电导越大)则越小衰减越快。导体中的电荷衰减没了起不了什么作用。、良导体的条件如果电磁波的周期即亦即未达到一个周期时电荷已完全衰减掉。这就是导体内没有自由电荷的条件也就是良导体的条件。在良导体内部没有自由电荷分布电荷只能分布于导体表面上。静电时()所有导体都是良导体。二、导体内的电磁波导体中的麦克斯韦方程组由导体内得麦氏方程组为、单色波解复介电常数()单色波解单色波解若传播的是频率一定的电磁波即时谐电磁波或单色波仿照§介质中的情况可令再考虑到电磁性质方程可得这与§中对自由空间(无电荷电流分布)均匀介质频率一定条件下的结果相比差别仅在于导体中第二式多了项如果引入“复介电常数”则与介质中的方程完全一致原来对介质得到的解的结果都可拿到这里来只需把换成即可得到导体中的电磁波的解。()复介电常数的物理意义:由看出中的两项分别表示位移电流密度和传导电流密度而传导电流与电场位相相同其平均耗散功率密度而位移电流与电场有位相差,其平均耗散功率密度因而,的实部代表位移电流的贡献,不引起电磁波功率的耗散。的虚部代表传导电流的贡献引起能量的耗散。()亥姆霍兹方程的解相位常数衰减常数在绝缘介质中,电场的空间部分满足亥姆霍兹方程,因而,在导体内也满足亥姆霍兹方程。这里的为。方程的解在满足的条件下代表导体中的电场。解出后,可由求出。导体中也有平面波解。由于的大小为复数,因而为复矢量,设则可见波矢的实部描写波传播的相位关系,称为相位常数。虚部描写振幅的衰减称为衰减常数。只要求出即可得到电磁波解由又得再加上边值关系可解出矢量、。二、趋肤效应和穿透深度()穿透深度趋肤效应由于的作用使电磁波在导体内衰减对良导体电磁波只能透入导体内表面附近的薄层内。对其它导体透入的深度不同。下面我们具体讨论一下电磁波透入导体内的深度及导体内的电磁场。为简单计只考虑垂直入射。设入射波波矢为透入导体内的电磁波波矢为界面法线为轴因垂直入射沿方向由边值关系只有分量SKIPIF<导体内电场当出现振幅无穷大只有时才是解。即沿轴方向振幅快速衰减。在这种情况下()而又有()由()式得带入()式得解得因>舍掉负根后得。对良导体因的虚部与实部之比实部可略去不计故(对良导体)使波幅降到导体表面处的深度称穿透深度以表示(衰减因子)穿透深度与电导率及频率的平方根成反比。例如对于铜当频率为兆赫时。可见对高频电磁波电磁场及电流仅集中于表面很薄一层内这种现象称趋肤效应。()良导体内磁场与电场关系下面看一看良导体内磁场与电场关系由=由此看出磁场位相比电场落后而且(在金属导体中)而对真空或绝缘介质由得因此相对于真空或绝缘介质来说金属中磁场比电场更重要。金属导体内的能量主要是磁场的能量因四、导体表面的反射与绝缘介质的情况类似可用边值关系分析导体表面上电磁波的反射和折射。为简单计只讨论垂直入射的情况设平面单色波由真空入射到导体表面在界面处得到反射波和透入导体内的折射波。由§的图(a)当垂直入射(垂直入射面)且垂直入射面时()()因为而可得因此由()式得即而由()式得故同除得反射系数定义为反射能流与入射能流之比(由§)可得=因(良导体)此式表明电导率越高反射系数越接近于实验证实了这一点。对波长较长的微波或无线电波(小)更接近于。因而对微波或无线电波常把金属看成理想导体。良导体内无电荷电流能量全部反射出去。例题:证明在良导体内非垂直入射情形有解:设入射波波矢为透入导体内的电磁波波矢为界面法线为轴入射面为。由边值关系。由于空间中波矢为实数可得由波矢与矢量的关系式可得又由良导体条件的虚部与实部之比实部可略去不计因此有得(与同级)由和上式得。略去即可得故(对良导体)第四节谐振腔一、有界空间中的电磁波前面第一节讨论的是无界空间中的电磁波在无界空间中电磁波存在的最基本形式是平面电磁波其电场、磁场都与传播方向垂直沿横向振荡这种类型的波称为横电磁(TEM)波。由上一节看出对导体电磁波只能透入表面很薄的一层内。而对理想导体()穿透深度为零因而导体表面构成电磁波存在的边界这一点有广泛的应用例如可用金属制成波导管中空金属管用来传输电磁能量以及中空的金属腔用来产生一定频率的电磁振荡。二、理想导体的边界条件银或铜等金属导体对无线电波来说透入其内而损耗的能量一般很小接近于理想导体。(良导体的很大导电性好为理想导体电荷电流分布在导体表面内部没有电磁场)()两个介质界面的边界条件在§中我们曾阐明对一定频率的电磁波(定态能量不随时间变化)在两种不同介质(包括一方是导体的情况)的分界面上的边值关系可归结为(由指向)这两个边值关系满足后其它两个关系自然满足。()一侧为导体另一侧为介质的边界条件由于在导体一侧因而在介质(或真空)一侧有这两个条件满足后另两个条件自然能满足。(这是为什么?)()以导体为边界的电磁波问题的解对一定频率的电磁波满足实际求解时往往先看对边界电场的限制。若取界面为xoy平面(沿轴方向)因因此即一般地不论界面坐标如何选取都表现为(法向)即腔内电场满足方程边条件理想导体的边界条件可以形象地表述为在导体表面上电场线与界面正交()磁感应线与界面相切()。在理想导体情形下我们先求后求原因是因为的边界条件是齐次式。而的边界条件是非齐次式。数学上我们知道求二阶微分方程要知道其在某一点的值还要知道其一阶导数在该点的值。当然求阶的时候要知道阶及其以下导数的值即个条件。在求解空间内部要求满足满足亥姆霍兹方程与边界条件。只有这样的电磁波才能存在。()电磁波的模式(i)TEM模式电磁波的电场磁场均垂直于传播方向。(ii)TE模式电磁波的电场垂直于传播方向但磁场不垂直。(iii)TM模式电磁波的磁场垂直于传播方向但电场不垂直。()例题(教材页)证明两平行无穷大导体平面之间可以传播一种偏振TEM电磁波。证:设直角坐标系中的坐标轴y与两导体板垂直边界条件为在两导体平面上设电磁波沿方向传输。由边界条件可得(在两导体板间)另一方面由=(或边界条件)若沿轴传播的平面电磁波的电场沿轴偏振则此平面波满足导体板上的边界条件因此可以在导体板之间传播。另一种偏振的平面电磁波(电场与导体面相切)不满足边界条件因而不能在导体面间存在所以在两导体板之间只能传播一种偏振的TEM平面波。三、谐振腔谐振腔的用途是激发一定频率的电磁振荡LC振荡电路只能产生低频的振荡因其激发的频率为要产生高频振荡L、C要很小但L、C太小时电感、电容不能使电场集中分布于它们内部向外辐射损耗随频率提高而增大另一方面由于趋肤效应焦耳损耗将增大。因而LC回路不能有效地产生高频振荡。在微波范围常用有金属壁面的谐振腔来产生高频振荡。在光学中也采用由反射镜组成的光学谐振腔来产生近单色的激光束。下面讨论谐振腔内的电磁振荡取金属壁面分别为腔内电磁场的每一直角分量都满足亥姆霍兹方程。若以表任一直角分量有分离变量法令=X(x)Y(y)Z(z)则亥姆霍兹方程可分解为个方程得驻波解:六个为任意常数由确定()界面对的面即即中含x的项是即即中含的项是。同理对的面使用可得出中含的项是中含的项是。对的面使用可得出中含的项是中含的项是故()()界面再考虑面同理对面、z=面可得,最多只能有一个为零若两个为零则导致整个电场为零)(面上面上面上已自动满足)()本征频率另外由腔内得即、、中只有两个是独立的(即只有两个场模)当满足此式及时()代表腔内电磁场的一种可能模式称为一种本征振荡。只有满足一定的条件时相应的函数形式即为本征态(固定频率)也称为谐振频率。相应的器件称为谐振腔。对每一组值有两个独立的偏振波型谐振频率其中称为谐振腔的本征频率。若中有两个为零则中有两个为零。故腔内若则最低频率的谐振波型为(,,)其谐振频率为由得到与频率相应的波长它与谐振腔线度、同数量级。微波技术中通常用最低频率的波型来产生电磁振荡更高频情况下也用到谐振腔的一些较高波模。由于谐振腔有损耗又要维持一定的输出功率必须从外界供给能量来维持腔内的电磁振荡。一般用腔内电子束与电磁场相互作用把直流电源的能量转变为腔内高频电磁波的能量。第五节波导一、高频电磁能量的传输近代无线电技术如雷达、电视和定向通讯等都广泛地应用到高频电磁波因此需要研究高频电磁能量的传输问题。我们知道能量是在场中传播。在低频时由于场与线路中电荷和电流的关系比较简单因而场在线路中的作用往往可以用线路的一些参数(电压、电流、电阻、电容和电感等)表示出来。在这情况下我们可以用电路方程解决实际问题而不必直接研究场的分布。在高频情况下场的波动性显著集中的电容、电感概念已不再适用而且整个线路上的电流不再是一个与位置无关的量而是和电磁场相应地具有波动性质此外电压的概念亦失去确切的意义。因此在高频情况下电路方程逐渐失效我们必须直接研究场和线路上的电荷电流的相互作用解出电磁场然后才能解决电磁能量传输的问题。低频电力系统常用双线传输频率变高时为避免因电磁波向外辐射引起的损耗(正比于频率的四次方)及周围环境的干扰可改用同轴线(电缆)传输(限制场的能量在圆筒层内)。频率更高时趋肤效应明显(同轴线解决不了)、支持轴心导线的介质损耗也随频率的增大而加剧同轴线传输的损耗也太大要用波导。波导是一根空心的金属管截面通常为矩形或圆形。波导适合于传输微波。我们只讨论矩形波导。二、矩形波导中的电磁波取管内壁为和和取传播方向为轴。与谐振腔相同的是管内电场(一定频率下)也满足与谐振腔不同的是电场、磁场要沿z轴传播因而都应有传播因子为传输项沿z轴传播。因此取电场的空间部分为为依赖于的参量。代入得同理也满足设的六个直角分量中任一个为它满足分离变量令u,则,方程两边同除XY得:可分离变量令其中即原方程分解为两个方程:SKIPIF<特解:,对、的某特定分量由,可得到对常数的限制条件这两个条件具体化为:时,时SKIPIF<面,由得中含的项是由得,中含的项是面,由得中含的项是由得,中含的项是因此面,由得面,由得多一个为零否则电场为零。由得,说明(,,)中只有两个是独立的只有两个场模。对每一组值有两种独立波形(偏振)解出后可由得到磁场。注意在矩形波导管内传播的电磁波电场和磁场不能同时为横波(证明)例如如果电场是横波即()即是则由,看出,或者,(二者不能同时取那样的话管内无电场),例如则则由=即磁场不是横波通常选一种波模为横电波(TE)另一种波模为横磁波(TM)。三、截止频率由上面讨论知:满足它们由管截面的几何尺寸及波模决定。由于如果电磁波的频率使则变为虚数传播因子将变为衰减因子电磁波在方向不断衰减对确定的,在波导中传播的最低频率(使即==的)称为该波模的截止频率。波导一定因而与有关若则TE波有最低的截止频率如波导管内为真空则截止波长(能传播的最长波长)由于波导尺寸不能做得过大因而不能传播波长太长的无线电波在厘米波段波导用的最广泛最常用的是波模是TE波。它具有最低的截止频率而其它高次波模的截止频率都比较高。因此在某一频率范围我们总可以选择适当尺寸的波导使其中只通过TE波。关于管壁上的电流问题我们不讨论。第六节等离子体当物质的温度升高或受到电离时电子和正离子分离形成由电子和正离子组成的物质状态这种电离物质在宏观上保持电中性称为等离子体。等离子体物质在天体物理及受控核聚变等领域有着重要应用。本节主要讨论等离子体的电磁性质讨论的依据是麦克斯韦方程组。因为麦克斯韦方程组是电磁现象普遍适用的正如我们在讨论介质中的电磁场和导体中的电磁场时除了麦克斯韦方程组还要考虑介质和导体的电磁性质方程一样现在我们也要考虑等离子体的电磁性质的方程。所不同的是等离子体的电磁性质方程比介质和导体的复杂。我们不做一般讨论而是在某些特殊条件下做简化处理。一、等离子体的准电中性和屏蔽库仑场。等离子体处于热平衡在原点处放置一个静止的正点电荷其电荷密度为。设放置点电荷前热平衡条件下等离子体中正离子密度分布为负离子(电子)密度分布为。置入点电荷后正负离子密度分布将改变因负离子受到的吸引而正离子受到q的排斥这三部分点电荷共同作用产生电场和电势。进一步假设正离子分布不受影响仍为热平衡下的分布负离子的分布将是玻尔兹曼分布因为电子在电势下的能量为于是电势为满足泊松方程其中为正离子的电荷数。假设有因此由于在外加点电荷前等离子体宏观上是电中性的因此。故若令则有这个方程的得出是电场和等离子体相互作用的结果电场改变热平衡下电子密度的分布而电子密度分布的变化又反过来激发电场。等离子体内泊松方程比真空中的方程多了一项其解为这个电势称为屏蔽库仑势因而当时很快趋于它表示短程相互作用作用力程称为屏蔽长度外加电荷在的范围内被吸引来的电子所屏蔽。等离子体内任意外电荷分布产生的电势为不加外电荷而由于等离子体内电荷密度的涨落而产生的净电荷分布也应该服从同样的规律即局域净电荷的影响在屏蔽长度之外被消除。因此在线度的范围内可把等离子体看成电中性的称为准电中性。二、等离子体震荡等离子体在热平衡时是准电中性的。若等离子体内部受到某种扰动而使其中一些区域内电荷密度不为零就会产生强的静电恢复力使等离子体内电荷分布发生震荡电荷密度随时间周期性变化。这种振荡是由于电场和等离子体内的流体运动相互制约形成的。忽略正离子的运动只考虑电子流体的运动。设电子密度为n速度为电子流体的运动满足连续性方程及运动方程其中是电子速度的运流导数既随电子一起运动的观察者观察到的电子速度的时间变化率。上式中忽略了电子流体的粘滞性和因热运动引起的压强。设平衡时电子的密度为。由于平衡时电子的电荷密度被正离子的电荷密度所抵消因而产生电场的电荷密度是偏离平衡的值上面三个方程是等离子体的流体运动与电场相互制约的方程。只考虑平衡态附近的微小振动即是一级小量也是一级小量第一式化为其中而是二级小量故有第二式中是二级小量故而下面由这三个式子求解。对第二式两边求散度两边分别用第一式、第三式代入得令有解称为等离子体频率大气中的电离层是稀薄的等离子体约为SKIPIF<它的等离子体频率约为MHz以上是忽略热运动产生的压强而近似导出的。如果考虑压强的作用等离子体振荡可在空间中传播形成等离子体波。三、电磁波在等离子体中的传播下面研究电磁波在等离子体内的传播。决定其传播规律的仍是等离子体的流体运动与电场的互相制约。只不过这种情形下的电场包括两部分自身产生的电场和外电场。电磁波的磁场对电子的作用可以忽略。决定流体运动的方程为在与上面的讨论同样的近似下决定电场的方程为而电磁波的电场故电场的方程为取第二式的散度将第一式第三式代入后仍得即仍有电子密度的振荡。把等离子体振荡部分单独考虑之后电子受电磁波的作用的运动方程为而电流密度为故这是在电磁波作用下稀薄等离子体的电磁性质方程对时谐电磁波代入上面的方程有如果把上式写成欧姆定律的形式的形式则纯虚数的电导率表示电流与电场有度的位相差因而没有焦耳损耗。回顾导体内电磁波的传播复电容率把代入得有效电容率等离子体内电磁波波数(波矢的大小)取上式告诉我们电磁波在等离子体中的传播情况取决于两个因素一是电磁波本身的频率另一个是等离子体的频率。当时为实数电磁波可以在等离子体中传播且传播的相速度大于真空中的光速(因等离子体折射率)。当时为纯虚数电磁波无法穿过等离子体而在进入其表面后很快被反射回来。地球上的短波广播能传到很远的地方就是通过大气中电离层的反射实现的。unknownunknownunknownunknown

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