代数与几何讨论课（二）（几何空间中的向量）
一、
1．设O是点
和点
连线外的一点，
证明
住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问
：三点
，
，
共线的充分必要条件是
。
2．下列命题是否成立？
（1）如果
且
，则
； （2）如果
且
，则
。
3．已知
满足下列条件，讨论
之间的关系：
（1）
； （2）
与
共线 ； （3）
，
，
共面。
二、1．给定仿射坐标系
满足：
（1） 求 数量积在
坐标系下的度量矩阵;
（2） 设向量
在
坐标系下的坐标分别为
和
，
试写出
的数量积与坐标和度量矩阵的关系式。
2．在仿射坐标系
下，对任意向量
=
，
，定义
，
（1） 试验证它满足数量积的4条性质； （2）写出它的度量矩阵；
（3） 证明
对任意向量
，
成立。
3．在仿射坐标系
下，对任意向量
=
，
，
定义
， （其中
）
试讨论
满足什么条件时，
满足数量积的4条性质。
4. 已知向量
不共线，证明
当且仅当
三、1．已给平面
（1） 求
，使
且不重合，并问答案是否唯一？
（2） 求
，使
，且它们之间的距离为1；
（3） 求
，使原点到
的距离为1；
（4） 求
，使点
到平面
的距离为1。
2．设有两条直线
（1） 求
，使
；
（2） 当
时，求
之间的最短距离；
（3） 当
时，求
与
的公垂线
的方程（
与
垂直且相交）；
（4） 求
，使
，并问
是否唯一？
（5） 求
，使
与
共面，并问这样的
是否唯一？
（6） 当
时，求
与
的夹角。
3．已知平面
：
， 直线
：
（1） 求
，使
；
（2） 求
，使
；
（3） 当
时，求
与
之间的夹角；
（4） 当
时，求
与
之间的交点，并求
在
上的投影线方程；
（5） 求
在各坐标平面上的投影线方程；
（6） 当
时，求直线
，使
与
关于平面
对称；
（7） 求原点关于平面
的对称点的坐标。
附加题
1. 讨论利用矩阵的初等变换判断矩阵是否可逆；求
求
等的方法；
2. 设
是
阶可逆矩阵，将
的第1列的2倍加到第3列得到
，证明
可逆，求
。
浙公网安备 33021202002483