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2018版高考数学复习解析几何9.7抛物线理.docx

2018版高考数学复习解析几何9.7抛物线理

Sky
2019-03-29 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《2018版高考数学复习解析几何9.7抛物线理docx》,可适用于高中教育领域

第九章解析几何抛物线理                  .抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点直线l叫做抛物线的准线..抛物线的标准方程与几何性质标准方程y=px(p>)y=-px(p>)x=py(p>)x=-py(p>)p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形顶点O(,)对称轴y=x=焦点FFFF离心率e=准线方程x=-x=y=-y=范围x≥y∈Rx≤y∈Ry≥x∈Ry≤x∈R开口方向向右向左向上向下【知识拓展】.抛物线y=px(p>)上一点P(xy)到焦点F的距离|PF|=x+也称为抛物线的焦半径..y=ax的焦点坐标为准线方程为x=-.设AB是过抛物线y=px(p>)焦点F的弦若A(xy)B(xy)则()xx=yy=-p()弦长|AB|=x+x+p=(α为弦AB的倾斜角).()以弦AB为直径的圆与准线相切.()通径:过焦点垂直于对称轴的弦长等于p通径是过焦点最短的弦.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( × )()方程y=ax(a≠)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线且其焦点坐标是()准线方程是x=-( × )()抛物线既是中心对称图形又是轴对称图形.( × )()AB为抛物线y=px(p>)的过焦点F()的弦若A(xy)B(xy)则xx=yy=-p弦长|AB|=x+x+p( √ ).(·四川)抛物线y=x的焦点坐标是(  )A.(,)B.(,)C.(,)D.(,)答案 D解析 ∵对于抛物线y=ax其焦点坐标为∴对于y=x焦点坐标为(,)..(·甘肃张掖一诊)过抛物线y=x的焦点的直线l交抛物线于P(xy)Q(xy)两点如果x+x=则|PQ|等于(  )A.B.C.D.答案 B解析 抛物线y=x的焦点为F(,)准线方程为x=-根据题意可得|PQ|=|PF|+|QF|=x++x+=x+x+=.设抛物线y=x的准线与x轴交于点Q若过点Q的直线l与抛物线有公共点则直线l的斜率的取值范围是(  )AB.-,C.-,D.-,答案 C解析 Q(-,)设直线l的方程为y=k(x+)代入抛物线方程消去y整理得kx+(k-)x+k=由Δ=(k-)-k·k=(-k)≥解得-≤k≤.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点对称轴为坐标轴并且经过点P(--)则该抛物线的标准方程为.答案 y=-x或x=-y解析 设抛物线方程为y=px(p≠)或x=py(p≠).将P(--)代入分别得方程为y=-x或x=-y.(·合肥调研)已知抛物线y=px(p>)的准线与圆x+y-x-=相切则p的值为.答案 解析 抛物线y=px(p>)的准线为x=-圆x+y-x-=即(x-)+y=则圆心为(,)半径为又因为抛物线y=px(p>)的准线与圆x+y-x-=相切所以+=解得p=题型一 抛物线的定义及应用例 设P是抛物线y=x上的一个动点若B(,)则|PB|+|PF|的最小值为.答案 解析 如图过点B作BQ垂直准线于点Q交抛物线于点P则|PQ|=|PF|则有|PB|+|PF|≥|PB|+|PQ|=|BQ|=即|PB|+|PF|的最小值为引申探究.若将本例中的B点坐标改为(,)试求|PB|+|PF|的最小值.解 由题意可知点(,)在抛物线的外部.∵|PB|+|PF|的最小值即为BF两点间的距离∴|PB|+|PF|≥|BF|===即|PB|+|PF|的最小值为.若将本例中的条件改为:已知抛物线方程为y=x直线l的方程为x-y+=在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d到直线l的距离为d求d+d的最小值.解 由题意知抛物线的焦点为F(,).点P到y轴的距离d=|PF|-所以d+d=d+|PF|-易知d+|PF|的最小值为点F到直线l的距离故d+|PF|的最小值为=所以d+d的最小值为-思维升华 与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点看到焦点想准线”这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径. 设P是抛物线y=x上的一个动点则点P到点A(-,)的距离与点P到直线x=-的距离之和的最小值为.答案 解析 如图易知抛物线的焦点为F(,)准线是x=-由抛物线的定义知:点P到直线x=-的距离等于点P到F的距离.于是问题转化为在抛物线上求一点P使点P到点A(-,)的距离与点P到F(,)的距离之和最小显然连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点此时最小值为=题型二 抛物线的标准方程和几何性质命题点 求抛物线的标准方程例 已知双曲线C:-=(a>b>)的离心率为若抛物线C:x=py(p>)的焦点到双曲线C的渐近线的距离为则抛物线C的方程为(  )A.x=yB.x=yC.x=yD.x=y答案 D解析 ∵-=的离心率为∴=即==∴==x=py(p>)的焦点坐标为-=的渐近线方程为y=±x即y=±x由题意得=∴p=故C的方程为x=y命题点 抛物线的几何性质例 已知抛物线y=px(p>)的焦点为FA(xy)B(xy)是过F的直线与抛物线的两个交点求证:()yy=-pxx=()+为定值()以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.证明 ()由已知得抛物线焦点坐标为().由题意可设直线方程为x=my+代入y=px得y=p即y-pmy-p=(*)则yy是方程(*)的两个实数根所以yy=-p因为y=pxy=px所以yy=pxx所以xx===()+=+=因为xx=x+x=|AB|-p代入上式得+==(定值).()设AB的中点为M(xy)分别过AB作准线的垂线垂足为CD过M作准线的垂线垂足为N则|MN|=(|AC|+|BD|)=(|AF|+|BF|)=|AB|所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.思维升华 ()求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法其关键是判断焦点位置、开口方向在方程的类型已经确定的前提下由于标准方程只有一个参数p只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.()在解决与抛物线的性质有关的问题时要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此. ()(·全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于AB两点交C的准线于DE两点.已知|AB|=|DE|=则C的焦点到准线的距离为(  )A.B.C.D.()(·昆明三中、玉溪一中统考)抛物线y=px(p>)的焦点为F已知点A、B为抛物线上的两个动点且满足∠AFB=°过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN垂足为N则的最大值为(  )AB.CD.答案 ()B ()A解析 ()不妨设抛物线C:y=px(p>)则圆的方程可设为x+y=r(r>)如图又可设A(x,)D点A(x,)在抛物线y=px上∴=px①点A(x,)在圆x+y=r上∴x+=r②点D在圆x+y=r上∴+=r③联立①②③解得p=即C的焦点到准线的距离为p=故选B()设|AF|=a|BF|=b分别过A、B作准线的垂线垂足分别为Q、P由抛物线的定义知|AF|=|AQ||BF|=|BP|在梯形ABPQ中|MN|=|AQ|+|BP|=a+b|AB|=a+b-abcos°=a+b+ab=(a+b)-ab又ab≤()所以(a+b)-ab≥(a+b)-(a+b)=(a+b)得到|AB|≥(a+b)所以≤=即的最大值为题型三 直线与抛物线的综合问题命题点 直线与抛物线的交点问题例 已知抛物线C:y=x与点M(-,)过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点.若·=则k=答案 解析 抛物线C的焦点为F(,)则直线方程为y=k(x-)与抛物线方程联立消去y化简得kx-(k+)x+k=设点A(xy)B(xy).则x+x=+xx=所以y+y=k(x+x)-k=yy=kxx-(x+x)+=-因为·=(x+y-)·(x+y-)=(x+)(x+)+(y-)(y-)=xx+(x+x)+yy-(y+y)+=将上面各个量代入化简得k-k+=所以k=命题点 与抛物线弦的中点有关的问题例 (·全国丙卷)已知抛物线C:y=x的焦点为F平行于x轴的两条直线ll分别交C于AB两点交C的准线于PQ两点.()若F在线段AB上R是PQ的中点证明:AR∥FQ()若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍求AB中点的轨迹方程.()证明 由题意知F设l:y=al:y=b则ab≠且ABPQR记过AB两点的直线为l则l的方程为x-(a+b)y+ab=由于F在线段AB上故+ab=记AR的斜率为kFQ的斜率为k则k====-=-b==k所以AR∥FQ()解 设过AB的直线为l设l与x轴的交点为D(x,)则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|S△PQF=由题意可得|b-a|=所以x=x=(舍去).设满足条件的AB的中点为E(xy).当AB与x轴不垂直时由kAB=kDE可得=(x≠).而=y所以y=x-(x≠).当AB与x轴垂直时E与D重合此时E点坐标为(,)所以所求轨迹方程为y=x-(x≠).思维升华 ()直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似一般要用到根与系数的关系.()有关直线与抛物线的弦长问题要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点可直接使用公式|AB|=x+x+p若不过焦点则必须用一般弦长公式.()涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒:涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解. (·北京东城区质检)已知抛物线C:y=px(p>)的焦点为F直线y=与y轴的交点为P与C的交点为Q且|QF|=|PQ|()求C的方程()过F的直线l与C相交于A、B两点若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点且A、M、B、N四点在同一圆上求l的方程.解 ()设Q(x,)代入y=px得x=所以|PQ|=|QF|=+x=+由题设得+=×解得p=-(舍去)或p=所以C的方程为y=x()依题意知l与坐标轴不垂直故可设l的方程为x=my+(m≠).代入y=x得y-my-=设A(xy)B(xy)则y+y=myy=-故AB的中点为D(m+,m)|AB|=|y-y|=(m+).又l′的斜率为-m所以l′的方程为x=-y+m+将上式代入y=x并整理得y+y-(m+)=设M(xy)N(xy)则y+y=-yy=-(m+).故MN的中点为E(+m+-)|MN|=|y-y|=由于MN垂直平分AB故AMBN四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|从而|AB|+|DE|=|MN|即(m+)+(m+)+(+)=化简得m-=解得m=或m=-所求直线l的方程为x-y-=或x+y-=.直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (分)已知抛物线C:y=mx(m>)焦点为F直线x-y+=交抛物线C于AB两点P是线段AB的中点过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q()求抛物线C的焦点坐标()若抛物线C上有一点R(xR,)到焦点F的距离为求此时m的值()是否存在实数m使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形?若存在求出m的值若不存在请说明理由.思维点拨 ()中证明·=解 ()∵抛物线C:x=y∴它的焦点F().分()∵|RF|=yR+∴+=得m=分()存在联立方程消去y得mx-x-=依题意有Δ=(-)-×m×(-)>⇒m>-分设A(xmx)B(xmx)则(*)∵P是线段AB的中点∴P()即P(yP)∴Q().分得=(x-mx-)=(x-mx-)若存在实数m使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形则·=即(x-)·(x-)+(mx-)(mx-)=分结合(*)化简得--+=即m-m-=∴m=或m=-而∈(-+∞)-∉(-+∞).∴存在实数m=使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形.分解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤:第一步:联立方程得关于x或y的一元二次方程第二步:写出根与系数的关系并求出Δ>时参数范围(或指出直线过曲线内一点)第三步:根据题目要求列出关于xxx+x(或yyy+y)的关系式求得结果第四步:反思回顾查看有无忽略特殊情况.                   .(·昆明调研)已知抛物线C的顶点是原点O焦点F在x轴的正半轴上经过F的直线与抛物线C交于A、B两点如果·=-那么抛物线C的方程为(  )A.x=yB.x=yC.y=xD.y=x答案 C解析 由题意设抛物线方程为y=px(p>)直线方程为x=my+联立消去x得y-pmy-p=设A(xy)B(xy)则y+y=pmyy=-p得·=xx+yy=(my+)(my+)+yy=myy+(y+y)++yy=-p=-⇒p=即抛物线C的方程为y=x.已知抛物线y=px(p>)过其焦点且斜率为的直线交抛物线于A、B两点若线段AB的中点的纵坐标为则该抛物线的准线方程为(  )A.x=B.x=-C.x=D.x=-答案 B解析 ∵y=px(p>)的焦点坐标为()∴过焦点且斜率为的直线方程为y=x-即x=y+将其代入y=px得y=py+p即y-py-p=设A(xy)B(xy)则y+y=p∴=p=∴抛物线的方程为y=x其准线方程为x=-.(·上饶四校联考)设抛物线C:y=px(p>)的焦点为F点M在C上|MF|=若以MF为直径的圆过点(,)则抛物线C的方程为(  )A.y=x或y=xB.y=x或y=xC.y=x或y=xD.y=x或y=x答案 C解析 ∵抛物线C:y=px(p>)的焦点为F()∴|OF|=∵以MF为直径的圆过点(,)设A(,)连接AFAM可得AF⊥AM在Rt△AOF中|AF|=∴sin∠OAF==根据抛物线的定义得直线AO切以MF为直径的圆于点A∴∠OAF=∠AMF可得在Rt△AMF中sin∠AMF==∵|MF|=|AF|=∴=整理得+=解得p=或p=∴C的方程为y=x或y=x.已知抛物线y=px(p>)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(xy)B(xy)则的值一定等于(  )A.-B.C.pD.-p答案 A解析 ①若焦点弦AB⊥x轴则x=x=∴xx=∴y=py=-p∴yy=-p∴=-②若焦点弦AB不垂直于x轴可设AB的直线方程为y=k(x-)联立y=px得kx-(kp+p)x+=则xx=∴yy=-p故=-如图过抛物线y=px(p>)的焦点F的直线交抛物线于点A、B交其准线l于点C若|BC|=|BF|且|AF|=则此抛物线的方程为(  )A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x答案 C解析 如图分别过A、B作AA⊥l于ABB⊥l于B由抛物线的定义知:|AF|=|AA||BF|=|BB|∵|BC|=|BF|∴|BC|=|BB|∴∠BCB=°∴∠AFx=°连接AF则△AAF为等边三角形过F作FF⊥AA于F则F为AA的中点设l交x轴于K则|KF|=|AF|=|AA|=|AF|即p=∴抛物线方程为y=x故选C.抛物线y=x的焦点为F点P(xy)为该抛物线上的动点若点A(-,)则的最小值是(  )ABCD答案 B解析 抛物线y=x的准线方程为x=-如图过P作PN垂直直线x=-于N由抛物线的定义可知|PF|=|PN|连接PA在Rt△PAN中sin∠PAN=当=最小时sin∠PAN最小即∠PAN最小即∠PAF最大此时PA为抛物线的切线设PA的方程为y=k(x+)联立得kx+(k-)x+k=所以Δ=(k-)-k=解得k=±所以∠PAF=∠NPA=°==cos∠NPA=故选B.设F为抛物线C:y=x的焦点过F且倾斜角为°的直线交C于AB两点则|AB|=答案 解析 焦点F的坐标为方法一 直线AB的斜率为所以直线AB的方程为y=即y=x-代入y=x得x-x+=设A(xy)B(xy)则x+x=所以|AB|=x+x+p=+=方法二 由抛物线焦点弦的性质可得|AB|===.已知抛物线C:y=px(p>)的准线为l过M(,)且斜率为的直线与l相交于点A与C的一个交点为B若=则p=答案 解析 如图由AB的斜率为知∠α=°又=∴M为AB的中点.过点B作BP垂直准线l于点P则∠ABP=°∴∠BAP=°∴|BP|=|AB|=|BM|∴M为焦点即=∴p=.已知椭圆E的中心在坐标原点离心率为E的右焦点与抛物线C:y=x的焦点重合AB是C的准线与E的两个交点则|AB|=答案 解析 抛物线y=x的焦点为(,)准线方程为x=-设椭圆方程为+=(a>b>)由题意c==可得a=b=-=故椭圆方程为+=把x=-代入椭圆方程解得y=±从而|AB|=*设直线l与抛物线y=x相交于AB两点与圆(x-)+y=r(r>)相切于点M且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有条则r的取值范围是.答案 (,)解析 如图设A(xy)B(xy)M(xy)则两式相减得(y+y)(y-y)=(x-x).当l的斜率k不存在时符合条件的直线l必有两条.当k存在时x≠x则有·=又y+y=y所以yk=由CM⊥AB得k·=-即yk=-x因此=-xx=即M必在直线x=上.将x=代入y=x得y=则有-<y<因为点M在圆上所以(x-)+y=r故r=y+<+=又y+>(为保证有条在k存在时y≠)所以<r<即<r<.(·沈阳模拟)已知过抛物线y=px(p>)的焦点斜率为的直线交抛物线于A(xy)B(xy)(x<x)两点且|AB|=()求该抛物线的方程()O为坐标原点C为抛物线上一点若=+λ求λ的值.解 ()直线AB的方程是y=(x-)与y=px联立从而有x-px+p=所以x+x=由抛物线定义得|AB|=x+x+p=+p=所以p=从而抛物线方程为y=x()由于p=则x-px+p=即x-x+=从而x=x=于是y=-y=从而B(,).设C(xy)则=(xy)=(-)+λ(,)=(λ+,λ-).又y=x即(λ-)=(λ+)整理得(λ-)=λ+解得λ=或λ=.设PQ是抛物线y=px(p>)上相异两点PQ到y轴的距离的积为且·=()求该抛物线的标准方程()过点Q的直线与抛物线的另一交点为R与x轴的交点为T且Q为线段RT的中点试求弦PR长度的最小值.解 ()设P(xy)Q(xy)∵·=则xx+yy=又点PQ在抛物线上∴y=pxy=px代入得·+yy=yy=-p∴|xx|==p又|xx|=∴p=p=∴抛物线的标准方程为y=x()设直线PQ过点E(a,)且方程为x=my+a联立方程组消去x得y-my-a=∴①设直线PR与x轴交于点M(b,)则可设直线PR的方程为x=ny+b并设R(xy)同理可知②由①②可得=由题意得Q为线段RT的中点∴y=y∴b=a又由()知yy=-代入①可得-a=-∴a=∴b=yy=-∴|PR|=|y-y|=·=·≥当n=即直线PR垂直于x轴时|PR|取最小值*如图由部分抛物线:y=mx+(m>x≥)和半圆x+y=r(x≤)所组成的曲线称为“黄金抛物线C”若“黄金抛物线C”经过点(,)和(-).()求“黄金抛物线C”的方程()设P(,)和Q(-)过点P作直线l与“黄金抛物线C”相交于APB三点问是否存在这样的直线l使得QP平分∠AQB?若存在求出直线l的方程若不存在说明理由.解 ()∵“黄金抛物线C”过点(,)和(-)∴r=(-)+()=,=m+∴m=∴“黄金抛物线C”的方程为y=x+(x≥)和x+y=(x≤).()假设存在这样的直线l使得QP平分∠AQB显然直线l的斜率存在且不为设直线l:y=kx+联立消去y得kx+(k-)x=∴xB=yB=即B()∴kBQ=联立消去y得(k+)x+kx=∴xA=-yA=即A(-)∴kAQ=-∵QP平分∠AQB∴kAQ+kBQ=∴-=解得k=-±由图形可得k=--应舍去∴k=-∴存在直线l:y=(-)x+使得QP平分∠AQB

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