二次函数的图像与性质知识点及练习

第二节  二次 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 的图像与性质 1．能够利用描点法做出 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数y＝ax2，y=a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k和 图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质； 2．理解二次函数 中a、b、c对函数图象的影响。 一、二次函数 图象的画法 五点绘图法：利用配 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y＝x2 ，y＝-x2 ，y＝2x2 ，y＝-2x2 ，y＝2（x-1）2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y＝ax2的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质（增减性） 向上 （0，0） 轴 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ． 向下 （0，0） 轴 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ．           2. y＝ax2＋k的性质：    （k上加下减） 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质（增减性） 向上 （0，k） y轴 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值k． 向下 （0，k） 轴 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值k．           3. y＝a（x-h）2的性质： （h左加右减） 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质（增减性） 向上 （h，0） 直线x=h 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ． 向下 （h，0） 直线x=h 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ．           4. y＝a (x－h)2＋k的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质（增减性） 向上 （h，k） 直线x=h 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ． 向下 （h，k） 直线x=h 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ．           5. y＝ax2+bx+c的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质（增减性） 向上 直线 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ． 向下 直线 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ．           二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ； ⑵ 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴ 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成 （或 ） ⑵ 沿x轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成 （或 ） 四、二次函数 与 的比较 从解析式上看， 与 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 ，其中 ． 六、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 轴对称 关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2. 关于 轴对称 关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 3. 关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是 ； 关于原点对称后，得到的解析式是 ； 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 永远不变． 例1、 抛物线 y=－2x2＋6x－1 y=2x2＋6x－1 对称轴     顶点坐标     开口方向     位置     增减性     最值           例2、已知直线y=－2x＋3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为（－3，m）． （1）求a、m的值； （2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标； （3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小； （4）求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积． 例3、求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式： （1）y=ax2经过（1，2）； （2）y=ax2与y= x2的开口大小相等，开口方向相反； （3）y=ax2与直线y= x＋3交于点（2，m）． 例4、试写出抛物线y=3x2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。 （1）右移2个单位；（2）左移 个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。 例5、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x2－3x+5，试求b、c的值。 _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 训练题: 1．抛物线y=－4x2－4的开口向      ，当x=      时，y有最      值，y=      ． 2．当m=      时，y=（m－1）x －3m是关于x的二次函数． 3．抛物线y=－3x2上两点A（x，－27），B（2，y），则x=      ，y=      ． 4．当m=      时，抛物线y=（m＋1）x ＋9开口向下，对称轴是      ．在对称轴左侧，y随x的增大而      ；在对称轴右侧，y随x的增大而      ． 5．抛物线y=3x2与直线y=kx＋3的交点为（2，b），则k=      ，b=      ． 6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为                                    ． 7．在同一坐标系中，图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（      ） A．y= x2            B．y=－ x2            C．y=－2x2            D．y=－x2 8．抛物线，y=4x2，y=－2x2的图象，开口最大的是（      ） A．y= x2            B．y=4x2            C．y=－2x2            D．无法确定 9．对于抛物线y= x2和y=－ x2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（      ） A．两条抛物线关于x轴对称                B．两条抛物线关于原点对称 C．两条抛物线关于y轴对称                D．两条抛物线的交点为原点 10．二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象大致为（      ） 11．已知函数y=ax2的图象与直线y=－x＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同，则a的值为（      ） A．4                B．2                C．                 D． 12.已知二次函数y= x2－ x＋6，当x=        时，y最小=        ；当x      时，y随x的增大而减小． 13．抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为                    ． 14．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝        。 15．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)xn＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 16．已知二次函数y=x2－2ax+2a+3，当a=    时，该函数y的最小值为0. 17.二次函数y=3x2－6x+5，当x>1时，y随x的增大而          ；当x<1时，y随x的增大而          ；当x=1时，函数有最      值是        。 18.如果将抛物线y=2x2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为                。 19.将抛物线y=ax2+bx+c向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x2－4x－1则a＝        ，b＝        ，c＝        . 20.将抛物线y＝ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为                      _. 21、右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______． 22、函数y=ax2  (a≠0)的图像与直线y=-2x-3交于点（1,b） （1)求a和b的值 （2）求抛物线y=ax2 的解析式，并求出顶点坐标和对称轴； （3）x取何值时，二次函数y=ax2  中的y随x的增大而增大？ 1.根据公式法指出下列抛物线的开口方向、顶点坐标，对称轴、最值和增减性。 ①                             ② ③                           ④ 2．函数y= x2的图象向    平移    个单位得到y=x2+3的图象；再向    平移    个单位得到y＝(x-1)2+3的图象。