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首页 苏科版八级上勾股定理的逆定理同步练习含答案

苏科版八级上勾股定理的逆定理同步练习含答案.doc

苏科版八级上勾股定理的逆定理同步练习含答案

艾尔小茜茜
2019-02-11 0人阅读 0 0 0 暂无简介 举报

简介:本文档为《苏科版八级上勾股定理的逆定理同步练习含答案doc》,可适用于自然科学领域

勾股定理的逆定理一.选择题(共小题).下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是(  )A.B.C.D..△ABC中∠A∠B∠C的对边分别记为abc由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是(  )A.∠A∠B=∠CB.∠A:∠B:∠C=::C.a=c﹣bD.a:b:c=::.在△ABC中∠A∠B∠C的对边分别为abc且(ab)(a﹣b)=c则(  )A.∠A为直角B.∠C为直角C.∠B为直角D.不是直角三角形.三角形的三边长abc满足ab=(ab)﹣c则此三角形是(  )A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形.用a、b、c作三角形的三边其中不能构成的直角三角形的是(  )A.b=(ac)(a﹣c)B.a:b:c=::C.a=b=c=D.a=b=c=.在△ABC中∠A∠B∠C的对边分别记为abc下列结论中不正确的是(  )A.如果∠A﹣∠B=∠C那么△ABC是直角三角形B.如果a=b﹣c那么△ABC是直角三角形且∠C=°C.如果∠A:∠B:∠C=::那么△ABC是直角三角形D.如果a:b:c=::那么△ABC是直角三角形.由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是(  )A.∠A∠C=∠BB.a=b=c=C.(ba)(b﹣a)=cD.∠A:∠B:∠C=:: 二.填空题(共小题).若三角形的边长分别为、、则它的最长边上的高为..一个三角形的三边长之比为::它的周长为则它的面积是..如图三个正方形的面积分别为S=S=S=则分别以它们的一边为边围成的三角形中∠∠=度..观察下列勾股数第一组:=×=××()=××()第二组:=×=××()=××()第三组:=×=××()=××()第四组:=×=××()=××()…观察以上各组勾股数组成特点第组勾股数是(只填数不填等式).如图所示在△ABC中AB:BC:CA=::且周长为cm点P从点A开始沿AB边向B点以每秒cm的速度移动点Q从点B沿BC边向点C以每秒cm的速度移动如果同时出发则过秒时△BPQ的面积为cm..三角形的三边分别为abc且(a﹣b)(ab﹣c)=则三角形的形状为..所谓的勾股数就是指使等式ab=c成立的任何三个正整数.我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法对于任意正整数m、n(m>n)取a=m﹣nb=mnc=mn则a、b、c就是一组勾股数.请你结合这种方法写出(三个数中最大)、和组成一组勾股数. 三.解答题(共小题).一个零件的形状如图所示工人师傅按规定做得AB=BC=AC=CD=AD=假如这是一块钢板你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗?.如图在四边形ABCD中AB=AD=∠A=°BC=CD=.()求∠ADC的度数()求四边形ABCD的面积..已知如图在△ABC中D是BC的中点DE⊥BC垂足为D交AB于点E且BE﹣EA=AC①求证:∠A=°.②若DE=BD=求AE的长..能够成为直角三角形边长的三个正整数我们称之为一组勾股数观察表格所给出的三个数abca<b<c.()试找出它们的共同点并证明你的结论()写出当a=时bc的值.====……bcb=c.在△ABC中c为最长边.当ab=c时△ABC是直角三角形当ab<c时△ABC是钝角三角形当ab>c时△ABC是锐角三角形.若a=b=试判断△ABC的形状(按角分)并求出对应的c的取值范围..在△ABC中BC=aAC=bAB=c设c为最长边当ab=c时△ABC是直角三角形当ab≠c时利用代数式ab和c的大小关系探究△ABC的形状(按角分类).()当△ABC三边分别为、、时△ABC为三角形当△ABC三边分别为、、时△ABC为三角形.()猜想当abc时△ABC为锐角三角形当abc时△ABC为钝角三角形.()判断当a=b=时△ABC的形状并求出对应的c的取值范围..在寻找马航MH航班过程中两艘搜救舰艇接到消息在海面上有疑似漂浮目标A、B.接到消息后一艘舰艇以海里时的速度离开港口O(如图所示)向北偏东°方向航行另一艘舰艇在同时以海里时的速度向北偏西一定角度的航向行驶已知它们离港口一个半小时后相距海里问另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度?.张老师在一次“探究性学习”课中设计了如下数表:n…a﹣﹣﹣﹣…b…c…()请你分别观察abc与n之间的关系并用含自然数n(n>)的代数式表示:a=b=c=()猜想:以abc为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想. 参考答案一.选择题(共小题).下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是(  )A.B.C.D.【分析】在能够组成三角形的条件下如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形依此求解即可.【解答】解:A、因为>所以三条线段能组锐角三角形不符合题意B、因为=所以三条线段能组成直角三角形不符合题意C、因为>且<所以三条线段能组成钝角三角形符合题意D、因为=所以三条线段不能组成三角形不符合题意.故选:C.【点评】本题考查了勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长abc满足ab=c那么这个三角形就是直角三角形.掌握组成钝角三角形的条件是解题的关键. .△ABC中∠A∠B∠C的对边分别记为abc由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是(  )A.∠A∠B=∠CB.∠A:∠B:∠C=::C.a=c﹣bD.a:b:c=::【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可.【解答】解:A、∠A∠B=∠C又∠A∠B∠C=°则∠C=°是直角三角形B、∠A:∠B:∠C=::又∠A∠B∠C=°则∠C=°是直角三角形C、由a=c﹣b得ab=c符合勾股定理的逆定理是直角三角形D、≠不符合勾股定理的逆定理不是直角三角形.故选D.【点评】本题考查了直角三角形的判定注意在应用勾股定理的逆定理时应先认真分析所给边的大小关系确定最大边后再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系进而作出判断. .在△ABC中∠A∠B∠C的对边分别为abc且(ab)(a﹣b)=c则(  )A.∠A为直角B.∠C为直角C.∠B为直角D.不是直角三角形【分析】先把等式化为a﹣b=c的形式再根据勾股定理的逆定理判断出此三角形的形状进而可得出结论.【解答】解:∵(ab)(a﹣b)=c∴a﹣b=c即cb=a故此三角形是直角三角形a为直角三角形的斜边∴∠A为直角.故选A.【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理即如果三角形的三边长abc满足ab=c那么这个三角形就是直角三角形. .三角形的三边长abc满足ab=(ab)﹣c则此三角形是(  )A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形【分析】对原式进行化简发现三边的关系符合勾股定理的逆定理从而可判定其形状.【解答】解:∵原式可化为ab=c∴此三角形是直角三角形.故选:C.【点评】解答此题要用到勾股定理的逆定理:已知三角形ABC的三边满足ab=c则三角形ABC是直角三角形. .用a、b、c作三角形的三边其中不能构成的直角三角形的是(  )A.b=(ac)(a﹣c)B.a:b:c=::C.a=b=c=D.a=b=c=【分析】根据选项中的数据由勾股定理的逆定理可以判断a、b、c三边组成的三角形是否为直角三角形.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长abc满足ab=c那么这个三角形就是直角三角形.【解答】解:A、∵b=(ac)(a﹣c)∴b=a﹣c∴bc=a∴能构成直角三角形故选项A错误B、∵a:b:c=::∴设a=x则b=xc=x∵x(x)=(x)∴能构成直角三角形故选项B错误C、∵a=b=c=∴ab=()()==≠()∴不能构成直角三角形故选项C正确D、∵a=b=c====∴能构成直角三角形故选项D错误故选C.【点评】本题考查勾股定理的逆定理利用勾股定理的逆定理时可用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较如果相等则三角形为直角三角形否则不是. .在△ABC中∠A∠B∠C的对边分别记为abc下列结论中不正确的是(  )A.如果∠A﹣∠B=∠C那么△ABC是直角三角形B.如果a=b﹣c那么△ABC是直角三角形且∠C=°C.如果∠A:∠B:∠C=::那么△ABC是直角三角形D.如果a:b:c=::那么△ABC是直角三角形【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形的判定定理解得即可.【解答】解:如果∠A﹣∠B=∠C那么△ABC是直角三角形A正确如果a=b﹣c那么△ABC是直角三角形且∠B=°B错误如果∠A:∠B:∠C=::设∠A=x则∠B=x∠C=x则xxx=°解得x=°则x=°那么△ABC是直角三角形C正确如果a:b:c=::则如果ab=c那么△ABC是直角三角形D正确故选:B.【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用如果三角形的三边长abc满足ab=c那么这个三角形就是直角三角形. .由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是(  )A.∠A∠C=∠BB.a=b=c=C.(ba)(b﹣a)=cD.∠A:∠B:∠C=::【分析】由三角形内角和定理得出条件A和B是直角三角形由勾股定理的逆定理只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可得出条件C是直角三角形B不是即可得出结果.【解答】A、∵∠A∠C=∠B∴∠B=°故是直角三角形正确B、设a=k则b=kc=k∵(k)(k)≠(k)故不能判定是直角三角形C、∵(ba)(b﹣a)=c∴b﹣a=c即ac=b故是直角三角形正确D、∵∠A:∠B:∠C=::∴∠A=×°=°故是直角三角形正确.故选:B.【点评】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理熟练掌握三角形内角和定理和勾股定理的逆定理是证明直角三角形的关键注意计算方法. 二.填空题(共小题).若三角形的边长分别为、、则它的最长边上的高为  .【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状再根据三角形的面积公式解答即可.【解答】解:∵三角形三边的长分别为、和==∴此三角形是直角三角形边长为的边是最大边设它的最大边上的高是h∴×=h解得h=.【点评】本题考查的是直角三角形的判定定理及三角形的面积公式比较简单. .一个三角形的三边长之比为::它的周长为则它的面积是  .【分析】设三边的长是xxx根据周长即可求得x的长则三角形的三边的长即可求得然后利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形然后利用面积公式求解.【解答】解:设三边的长是xxx则xxx=解得:x=则三边长是.∵=∴三角形是直角三角形∴三角形的面积是××=.故答案是:.【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形的面积公式正确判断三角形是直角三角形是关键. .如图三个正方形的面积分别为S=S=S=则分别以它们的一边为边围成的三角形中∠∠=  度.【分析】根据面积得出ACBC=AB根据勾股定理的逆定理得出∠ACB=°根据三角形内角和定理求出即可.【解答】解:∵S=S=S=∴ACBC=AB∴∠ACB=°∴∠∠=°﹣°=°故答案为:.【点评】本题考查了勾股定理的逆定理三角形内角和定理的应用能根据勾股定理的逆定理得出∠ACB=°是解此题的关键. .观察下列勾股数第一组:=×=××()=××()第二组:=×=××()=××()第三组:=×=××()=××()第四组:=×=××()=××()…观察以上各组勾股数组成特点第组勾股数是  (只填数不填等式)【分析】通过观察得出规律:这类勾股数分别为nn(n)n(n)由此可写出第组勾股数.【解答】解:∵第组:=×=××()=××()第组:=×=××()=××()第组:=×=××()=××()第组:=×=××()=××()∴第组勾股数是×=××()=××()=即.故答案为:.【点评】此题考查的知识点是勾股数属于规律性题目关键是通过观察找出规律求解. .如图所示在△ABC中AB:BC:CA=::且周长为cm点P从点A开始沿AB边向B点以每秒cm的速度移动点Q从点B沿BC边向点C以每秒cm的速度移动如果同时出发则过秒时△BPQ的面积为  cm.【分析】首先设AB为xcmBC为xcmAC为xcm利用方程求出三角形的三边由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形.再求出秒后的BPBQ的长利用三角形的面积公式计算求解.【解答】解:设AB为xcmBC为xcmAC为xcm∵周长为cmABBCAC=cm∴xxx=解得x=∴AB=cmBC=cmAC=cm∵ABBC=AC∴△ABC是直角三角形过秒时BP=﹣×=(cm)BQ=×=(cm)∴S△PBQ=BP•BQ=×(﹣)×=(cm).故答案为:.【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理、三角形的面积.由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形是解题的关键. .三角形的三边分别为abc且(a﹣b)(ab﹣c)=则三角形的形状为 等腰直角三角形 .【分析】由于(a﹣b)(ab﹣c)=利用非负数的性质可得a=b且ab=c根据等腰三角形的定义以及勾股定理的逆定理可得以abc为边的三角形是等腰直角三角形.【解答】解:∵(a﹣b)(ab﹣c)=∴a﹣b=且ab﹣c=∴a=b且ab=c∴以abc为边的三角形是等腰直角三角形.故答案为等腰直角三角形.【点评】本题考查了勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长abc满足ab=c那么这个三角形就是直角三角形.也考查了等腰三角形的定义以及非负数的性质. .所谓的勾股数就是指使等式ab=c成立的任何三个正整数.我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法对于任意正整数m、n(m>n)取a=m﹣nb=mnc=mn则a、b、c就是一组勾股数.请你结合这种方法写出(三个数中最大)、和  组成一组勾股数.【分析】根据勾股数的定义可得要求的数是﹣再进行计算即可.【解答】解:∵﹣=∴(三个数中最大)、和组成一组勾股数.故答案为:.【点评】此题主要考查了勾股数解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理:已知△ABC的三边满足ab=c则△ABC是直角三角形. 三.解答题(共小题).一个零件的形状如图所示工人师傅按规定做得AB=BC=AC=CD=AD=假如这是一块钢板你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗?【分析】由勾股定理逆定理可得△ACD与△ABC均为直角三角形进而可求解其面积.【解答】解:∵==即ABBC=AC故∠B=°同理∠ACD=°∴S四边形ABCD=S△ABCS△ACD=××××==.【点评】熟练掌握勾股定理逆定理的运用会求解三角形的面积问题. .如图在四边形ABCD中AB=AD=∠A=°BC=CD=.()求∠ADC的度数()求四边形ABCD的面积.【分析】()连接BD首先证明△ABD是等边三角形可得∠ADB=°DB=再利用勾股定理逆定理证明△BDC是直角三角形进而可得答案()过B作BE⊥AD利用三角形函数计算出BE长再利用△ABD的面积加上△BDC的面积可得四边形ABCD的面积.【解答】解:()连接BD∵AB=AD∠A=°∴△ABD是等边三角形∴∠ADB=°DB=∵=()∴DBCD=BC∴∠BDC=°∴∠ADC=°°=°()过B作BE⊥AD∵∠A=°AB=∴BE=AB•sin°=×=∴四边形ABCD的面积为:AD•EBDB•CD=××××=.【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理以及等边三角形的判定和性质关键是掌握有一个角是°的等腰三角形是等边三角形如果三角形的三边长abc满足ab=c那么这个三角形就是直角三角形. .已知如图在△ABC中D是BC的中点DE⊥BC垂足为D交AB于点E且BE﹣EA=AC①求证:∠A=°.②若DE=BD=求AE的长.【分析】()连接CE由线段垂直平分线的性质可求得BE=CE再结合条件可求得EAAC=CE可证得结论()在Rt△BDE中可求得BE则可求得CE在Rt△ABC中利用勾股定理结合已知条件可得到关于AE的方程可求得AE.【解答】()证明:连接CE如图∵D是BC的中点DE⊥BC∴CE=BE…(分)∵BE﹣EA=AC∴CE﹣EA=AC∴EAAC=CE∴△ACE是直角三角形即∠A=°()解:∵DE=BD=∴BE===CE∴AC=EC﹣AE=﹣EA∵BC=BD=∴在Rt△BAC中由勾股定理可得:BC﹣BA=﹣(EA)=AC∴﹣(AE)=﹣EA解得AE=.【点评】本题主要考查勾股定理及其逆定理的应用掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键注意方程思想在这类问题中的应用. .能够成为直角三角形边长的三个正整数我们称之为一组勾股数观察表格所给出的三个数abca<b<c.()试找出它们的共同点并证明你的结论()写出当a=时bc的值.  =  =  =  =…… bc b=c【分析】()根据表格找出规律再证明其成立()把已知数据代入经过证明成立的规律即可.【解答】解:()以上各组数的共同点可以从以下方面分析:①以上各组数均满足ab=c②最小的数(a)是奇数其余的两个数是连续的正整数③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和如========…由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论:设m为大于的奇数将m拆分为两个连续的整数之和即m=n(n)则mnn就构成一组简单的勾股数证明:∵m=n(n)(m为大于的奇数)∴mn=nn=(n)∴mn(n)是一组勾股数()运用以上结论当a=时∵==∴b=c=.【点评】本题考查了勾股数、勾股定理的逆定理解答此题要用到勾股定理的逆定理:已知三角形ABC的三边满足ab=c则三角形ABC是直角三角形. .在△ABC中c为最长边.当ab=c时△ABC是直角三角形当ab<c时△ABC是钝角三角形当ab>c时△ABC是锐角三角形.若a=b=试判断△ABC的形状(按角分)并求出对应的c的取值范围.【分析】分三种情况:①△ABC是直角三角形②△ABC是钝角三角形③△ABC是锐角三角形.【解答】解:∵a=b=∴ab==.分三种情况:①△ABC是直角三角形时ab=cc=c=②△ABC是钝角三角形时ab<c且ab>c即<c且>c解得<c<③△ABC是锐角三角形时ab>c且b﹣a<c即>c解得﹣<c<∵c为最长边∴c≥.故≤c<.【点评】本题考查了勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长abc满足ab=c那么这个三角形就是直角三角形.也考查了三角形形状的判断及学生的阅读理解能力. .在△ABC中BC=aAC=bAB=c设c为最长边当ab=c时△ABC是直角三角形当ab≠c时利用代数式ab和c的大小关系探究△ABC的形状(按角分类).()当△ABC三边分别为、、时△ABC为 锐角 三角形当△ABC三边分别为、、时△ABC为 钝角 三角形.()猜想当ab > c时△ABC为锐角三角形当ab < c时△ABC为钝角三角形.()判断当a=b=时△ABC的形状并求出对应的c的取值范围.【分析】()利用勾股定理列式求出两直角边为、时的斜边的值然后作出判断即可()根据()中的计算作出判断即可()根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c点的最大值然后得到c的取值范围然后分情况讨论即可得解.【解答】解:()两直角边分别为、时斜边==∴△ABC三边分别为、、时△ABC为锐角三角形当△ABC三边分别为、、时△ABC为钝角三角形故答案为:锐角钝角()当ab>c时△ABC为锐角三角形当ab<c时△ABC为钝角三角形故答案为:><()∵c为最长边=∴≤c<ab==①ab>c即c<<c<∴当≤c<时这个三角形是锐角三角形②ab=c即c=c=∴当c=时这个三角形是直角三角形③ab<c即c>c>∴当<c<时这个三角形是钝角三角形.【点评】本题考查了勾股定理勾股定理逆定理读懂题目信息理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键. .在寻找马航MH航班过程中两艘搜救舰艇接到消息在海面上有疑似漂浮目标A、B.接到消息后一艘舰艇以海里时的速度离开港口O(如图所示)向北偏东°方向航行另一艘舰艇在同时以海里时的速度向北偏西一定角度的航向行驶已知它们离港口一个半小时后相距海里问另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度?【分析】根据勾股定理的逆定理判断△AOB是直角三角形求出∠BOD的度数即可.【解答】解:由题意得OB=×=海里OA=×=海里又∵AB=海里∵=即OBOA=AB∴∠AOB=°∵∠DOA=°∴∠BOD=°则另一艘舰艇的航行方向是北偏西°.【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用和方位角的知识掌握勾股定理的逆定理是解题的关键..张老师在一次“探究性学习”课中设计了如下数表:n…a﹣﹣﹣﹣…b…c…()请你分别观察abc与n之间的关系并用含自然数n(n>)的代数式表示:a= n﹣ b= n c= n ()猜想:以abc为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想.【分析】()结合表中的数据观察abc与n之间的关系可直接写出答案()分别求出abc比较即可.【解答】解:()由题意有:n﹣nn()猜想为:以abc为边的三角形是直角三角形.证明:∵a=n﹣b=nc=n∴ab=(n﹣)(n)=n﹣nn=nn=(n)而c=(n)∴根据勾股定理的逆定理可知以abc为边的三角形是直角三角形.【点评】本题需仔细观察表中的数据找出规律利用勾股定理的逆定理即可解决问题.

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