成贤高数B上§1.4 函数的极限

§1.4 函数的极限 1.4.1 函数在无穷远处的极限 是指 无限增大。 1． 时函数 的极限定义 观察函数 当 时的变化趋势，当 时， 无限趋向于零。 定义：设 在 内有定义， 一定数。 将函数极限定义 与数列极限定义 列表对比如下： 函数 定义域 自变量的变化趋势 函数值的变化趋势 。 的几何意义是： 对任意以二直线 为边界的带形区域， ， 在 轴上总存在一点 ， 时， 当点 位于点 的右侧时， 有 。 相应的函数 的图象位于带形区域之内。 2． 时函数 的极限定义 定义：设 在 内有定义， 一定数。 EMBED Equation.3， ， 。 3． 时函数 的极限定义 定义：设 当 时有定义， 一定数。 可以证明， 。 例1．证明 。 证明：不妨设 ， ，要使 EMBED Equation.3， 只要 ，故取 ， ∵ ， ， 时，恒有 ，∴ 。 例2．讨论下列函数 当 时的极限。 解： ， ∵ ∴ 不存在。 1.4.2 函数在一点的极限 例3．观察当 无限接近于1时， 的变化趋势。 当 无限接近于1时， 无限接近于4。 下面讨论如何用精确的定量化的语言来描述这种变化趋势。 接近于1及 接近于4的程度可以分别有 、 的大小来表达。 当 时， ， 任给 存在 使 当 恒 有 … … … … 一般地，当 无限接近于 时， 无限接近于常数 ，可以精确地描述如下： 1．当 时函数 的“ — ”极限定义 定义：若 ， ， 时，恒有 ，则称常数 为函数 当 时的极限，记作 或 。 2．极限定义剖析 （1）定义中的 表明，当 时 有无极限与 在点 有无定义无关。 （2） 表示点 落在 的去心 邻域 内， 表示 落在点 的 邻域 内。 （3）定义中的 定量地刻划了 与 的接近程度， 定量地刻划了 与 的接近程度。 是正数， 依赖于 。但即使对于同一个 ， 也不是唯一的。“ ”定义中两个不等式的关系是： 3． 的几何意义 任意以直线 与 为边界的带形区域 总存在（以点 为心的）半径 当 时 当点x落在点 的去心 邻域 之中 恒有 相应的函数 的图形落在这个带形区域内。 例4．证明：（1） ； （2） 。 证明：（1） ，要使 ，只要 ，故取 ， ∵ ， ， 时，恒有 ，∴ . （2） ，要使 ， 即要使 ， 只要 ，故取 ， ∵ ， , 时，恒有 ， ∴ . 特别地有 . 可以证明： ， （C为常数）。（学生自证） 例5．证明： 。 分析： ，（ ） 由于 ，不妨设 ，即 ， 此时 ， ， ，要使 ，只要使 ，即 ，故取 ， 证明： ， EMBED Equation.3 当 时， 就恒有 ， ∴ . 1.4.3左极限与右极限（单侧极限） 1．左极限 定义：若 ， ， 时，恒有 ， 则称常数 为函数 当 时的左极限，记作 或 。 2．右极限 定义：若 ， ， 时，恒有 ， 则称常数 为函数 当 时的右极限，记作 或 。 左极限和右极限统称为单侧极限。 3．极限存在的充分必要条件 定理：设 在某一 有定义，则 。 注意： EMBED Equation.3 不存在。 例6．求符号函数 ，当 时的左极限和右极限。 解： ， 。∵ EMBED Equation.3，∴ 不存在。 例7．讨论函数 ，在 和 处的极限。 解：∵ ， ， ∴ 不存在。 ∵， ， ∴ ， 。 1.4.4 函数极限的性质 函数极限具有与数列相类似的性质,且证明方法相同。下面仅就 的情形加以叙述。 性质1（唯一性）若 存在，则极限值是唯一的。 性质2（局部有界性）若 存在，则在点 附近，函数 有界。 即 和 ， 时，有 。 性质3（局部保序性）若 ， ，且 ， 则 ， 时， 。 推论1（局部保号性） 若 （或 ），则 ， 时， （或 ）。 推论2若 ， ，且 ， 时，恒有 ，则 。 定理2（海涅定理）它给出了函数极限与数列极限的关系。 对任意数列 ， ，且 ，有 。 注意：①若存在 ， ，而 不存在，则 不存在。 ②若存在某两个数列 与 ， ， ，与 ， ，但 ，则 不存在。 例8．证明： 当 时极限不存在。 证明：先取 ， 则 ， （ ）， 而 ， ，则 ， （ ）， 而 ，∴ 不存在。 1.4.5 函数极限的运算（仅讲 的情形。） 定理3 设 ， ，则 （1） ； （2） ； （3） ； （4） 。 （5） 。 例9．设 是 ，求 。 解： ， 即 。 若 和 都是多项式，且 ，则 例10．求极限： 。 解： EMBED Equation.3 。 例11．求极限：（1） ；（2） 。 解：（1） 。 （2） EMBED Equation.3 。 例12．求下列极限 （1） （ 型）； （2） （ 型） 解：（1） ； （2） 。 *一般地，当 时，有 例13．已知 ，求常数 和 。 解： EMBED Equation.3 ， ∵上式极限为零的必要条件是 且 ，∴ ， 。 定理4（夹逼定理） 设在 内 且 ，则 。 证明：∵ ，∴ ， ， 当 时，有 ，从而 ， 当 时，有 ，从而 ， 取 ，则当 时，有 ，故 。 例14．求极限: 。 解：∵ ，（ ） ∴当 时， ； 当 时， ，∵ ，∴由夹逼定理可知 。 定理5（复合函数求极限定理）设由 构成的复合函数 在 内有定义，若 ， 且当 时， ，则 EMBED Equation.3。 分析：要证 ， ， 时，有 成立。 证明：∵ ，∴ 时， 有 。又∵ ， ∴对于上面的 ， ， 时，有 。 设在 内， 。 取 ，则当 时， 和 同时成立，即 成立， 从而 成立，故 EMBED Equation.3。 例15．求极限: （ ）. 解：设 ，则 ，当 时， ， 。 注： 可作为公式使用。 1.4.6 两个重要极限 1、证明重要极限 。 证明：作单位圆，取圆心角 ， 由于 ，不妨先设 ， ∵ 的面积 扇形 的面积 面积， ∴ ， ， ， 即当 时， 。 当 时，有 ， ∵ ，即 ， ∴当 时，有 ∵ ， ， ∴ 。 例16．求极限：（1） ；（2） 。 解：（1） ； （2） . 例17．求极限（1） ； （2） 。 解：（1） 。 （2）令 ，则 ，当 时， ， 。 例18．求极限：（1） ；（2） 解： 。 另解： 。 （2）解： EMBED Equation.3 。 （4） 解：令 ，则当 时， ， EMBED Equation.3 . 2、证明重要极限 。 证明：先证 的情形。 ，有 ，或 ， 若记 ，则当 时， ，且 ， ∵ ， ， ∴由夹逼定理得 。 再证 的情形，令 ，则当 时， ， ， 从而 ， 综上所述有 。 极限 的特点: 1 底数趋向于1，它由两项组成，第一项是1，第二项是括号外指数的倒数， 两项是用加号“+”联结。 ②指数趋向于 ，此极限是“ ”型。通俗地说，这个极限的特征是 ，其中无穷小和无穷大必须互为倒数。 ③极限 的另一种形式是 证明：令 ，则当 时， ， 。 例19．求极限：（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。 解：（1）方法1：由复合函数极限计算方法， 设 ， ，当 时， ，于是有 。 方法2：熟练掌握后可不设新变量， 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 以上为求极限而进行的各种变形都是很基本的，也很重要，应熟练掌握。 例20、求极限：（1） ；（2） 解：（1） 。 （2）令 ，则 ， 当 时， ， EMBED Equation.3 。 另解 ： §1.5 无穷小量和无穷大量 1.5.1无穷小量 1．无穷小量的定义 定义1 若 ，则称 为该极限过程中的无穷小量，简称无穷小。 例如：当 时， 和 是无穷小量； 当 时， 是无穷小量； 注意： ① 无穷小量是以0为极限的变量； ② 无穷小量不一定是零，零作为函数来讲是无穷小量； ③ 讲一个函数是无穷小量，必须指出自变量的变化趋向； ④ 任何非零常数，不论其绝对值如何小，都不是无穷小量。因为非零常数的极限是其本身，并不是零。 2．无穷小量的性质 性质1：若 、 都是无穷小量，则 、 也是无穷小量；（可推广到有限项） ※注意：无限个无穷小量的和与积不一定是无穷小量。如： 。 性质2：有界变量与无穷小量的积是无穷小量。 3．函数的极限与无穷小量的关系 定理1 EMBED Equation.3 ，其中 ， 常数。 证明：仅以 为例来证明。 必要性 若 ，则 ，令 ， 则 ，且 。 充分性 若 ， ，则 。 例1．求下列极限（1） （2） 解： ∵ ，而 ，∴ 。 解： ∵ ，而 ，∴ 。 1.5.2无穷大量 1．无穷大量的定义 （ 以 为例） 定义1 设 在 内有定义，若 ， ， EMBED Equation.3 时，恒有 ，则称 EMBED Equation.3 为无穷大量，记为 ，或 （ ）。 若将上述定义中的不等式 改为 或 ，则称当 时， 为正无穷大量或负无穷大量，记作 或 （ ）； 或 （ ）。 无穷大量、正无穷大量和负无穷大量列表对比如下： 对于自变量的其他几种变化趋势（ ， ， ， ， ， ）， 同样可以定义无穷大量。 例如，当 时， 是无穷大，记作 ； 当 时， 是负无穷大，记作 。 注意：①说一个函数 是无穷大，必须指明自变量 的变化趋势。 如 是当 时的无穷大，但当 ， 就不是无穷大，而是无穷小了。 ②无穷大是指绝对值可以无限变大的变量，一个绝对值很大常数不是无穷大。 2．无穷大量的性质 性质1 若 ， ，则 ； 性质2 若 ， ，则 ； 性质3 若 ， ，则 ； 性质4 若 ， ，则 ； 性质5 若 ，则 。 3．无穷小量与无穷大量的关系 性质6 若 ，则 ；反之，若 ，则 。 例如， ， ， ， 。 例2．求下列极限（1） （2） 。 解（1）：∵ ， ∴ 。 解（2）： EMBED Equation.3 例3．求下列极限 （1） （2） 解：（1） 。 （2） 。 若 ， ，则 §1.5.3无穷小量的比较 两个无穷小的和或积仍然是无穷小，但是两个无穷小的商却有多种可能性。 例如，当 时， 都是无穷小，而 ， ， ， 。 这种多样性反映了不同的无穷小量趋于零的速度是不同的。为了定量地描述无穷小量趋于零的速度的快慢程度，我们引入以下的术语与记号。 定义3：设 ， ，且 ， （1） 若 ，则称 是 的高阶无穷小量，记为 ；而称 是 的低阶无穷小量。 （2）若 ，则称 与 是同阶无穷小量，记为 ； （3）若 ，则称 与 是等价无穷小量，记为 ～ ； （2） 若 ，则称 时， 是 的 阶无穷小量。 例如：∵ ，∴当 时， ，且是 的二阶无穷小量。 常用等价无穷小：当 时， ～ ～ ～ ～ ～ ～ ； ～ 定理2 （1）若 ～ ，则 ； （2）若 ～ ，且 存在，则 。 证明：（1）∵ ， ∴ （同理可证得 ）。 （2） 。 定理表明，两个等价无穷小量 ， 之差是比 （或 ）高阶的无穷小量；在乘积的极限运算中，等价的无穷小因子可以互相代换。 例4．求极限 （1）求 （2） ；（3） ； 解（1）： EMBED Equation.3 。 解（2）： EMBED Equation.3 。 解（3）： . （4） 解： 。 例5．当 时， 是 的几阶无穷小？ 解：∵当 时， ～ ～ ， ∴ ， ∴当 时， 是 的2阶无穷小。 �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� 1 -1 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� �EMBED Equation.3��� 1 �EMBED Equation.3��� 4 �EMBED Equation.3��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� 。 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� O �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� � EMBED Equation.3 ��� �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� �EMBED Equation.3��� PAGE 28 _1125987072.unknown _1125987144.unknown _1125987319.unknown _1125987852.unknown _1125987988.unknown _1125988213.unknown _1125988218.unknown _1125988241.unknown _1219993045.unknown _1219993077.unknown _1219993586.unknown _1125993277.unknown _1125988220.unknown _1125988221.unknown _1125988219.unknown _1125988216.unknown _1125988217.unknown _1125988214.unknown _1125988018.unknown _1125988047.unknown _1125988211.unknown _1125988212.unknown _1125988079.unknown _1125988210.unknown _1125988022.unknown _1125988005.unknown _1125988008.unknown _1125987998.unknown _1125987904.unknown _1125987966.unknown _1125987979.unknown _1125987985.unknown _1125987970.unknown _1125987973.unknown _1125987916.unknown _1125987919.unknown _1125987911.unknown _1125987864.unknown _1125987898.unknown _1125987901.unknown _1125987895.unknown _1125987860.unknown _1125987862.unknown _1125987855.unknown _1125987620.unknown _1125987821.unknown _1125987839.unknown _1125987846.unknown _1125987849.unknown _1125987843.unknown _1125987831.unknown _1125987835.unknown _1125987825.unknown _1125987734.unknown _1125987777.unknown _1125987817.unknown _1125987774.unknown _1125987631.unknown _1125987635.unknown _1125987624.unknown _1125987586.unknown _1125987600.unknown _1125987610.unknown _1125987612.unknown _1125987603.unknown _1125987593.unknown _1125987597.unknown _1125987590.unknown _1125987398.unknown _1125987472.unknown _1125987494.unknown _1125987506.unknown _1125987582.unknown _1125987509.unknown _1125987501.unknown _1125987483.unknown _1125987490.unknown _1125987487.unknown _1125987478.unknown _1125987405.unknown _1125987443.unknown _1125987447.unknown _1125987420.unknown _1125987401.unknown _1125987348.unknown _1125987393.unknown _1125987324.unknown _1125987179.unknown _1125987196.unknown _1125987205.unknown _1125987209.unknown _1125987212.unknown _1125987213.unknown _1125987210.unknown _1125987207.unknown _1125987208.unknown _1125987206.unknown _1125987201.unknown _1125987203.unknown _1125987204.unknown _1125987202.unknown _1125987199.unknown _1125987200.unknown _1125987197.unknown _1125987187.unknown _1125987192.unknown _1125987194.unknown _1125987195.unknown _1125987193.unknown _1125987189.unknown _1125987191.unknown _1125987188.unknown _1125987183.unknown _1125987185.unknown _1125987186.unknown _1125987184.unknown _1125987181.unknown _1125987182.unknown _1125987180.unknown _1125987161.unknown _1125987170.unknown _1125987174.unknown _1125987176.unknown _1125987178.unknown _1125987175.unknown _1125987172.unknown _1125987173.unknown _1125987171.unknown _1125987166.unknown _1125987168.unknown _1125987169.unknown _1125987167.unknown _1125987163.unknown _1125987164.unknown _1125987162.unknown _1125987152.unknown _1125987157.unknown _1125987159.unknown _1125987160.unknown _1125987158.unknown _1125987155.unknown _1125987156.unknown _1125987154.unknown _1125987148.unknown _1125987150.unknown _1125987151.unknown _1125987149.unknown _1125987146.unknown _1125987147.unknown _1125987145.unknown _1125987107.unknown _1125987124.unknown _1125987135.unknown _1125987139.unknown _1125987142.unknown _1125987143.unknown _1125987140.unknown _1125987137.unknown _1125987138.unknown _1125987136.unknown _1125987129.unknown _1125987131.unknown _1125987134.unknown _1125987130.unknown _1125987126.unknown _1125987127.unknown _1125987125.unknown _1125987116.unknown _1125987120.unknown _1125987122.unknown _1125987123.unknown _1125987121.unknown _1125987118.unknown _1125987119.unknown _1125987117.unknown _1125987111.unknown _1125987113.unknown _1125987114.unknown _1125987112.unknown _1125987109.unknown _1125987110.unknown _1125987108.unknown _1125987090.unknown _1125987098.unknown _1125987103.unknown _1125987105.unknown _1125987106.unknown _1125987104.unknown _1125987100.unknown _1125987102.unknown _1125987099.unknown _1125987094.unknown _1125987096.unknown _1125987097.unknown _1125987095.unknown _1125987092.unknown _1125987093.unknown _1125987091.unknown _1125987081.unknown _1125987085.unknown _1125987087.unknown _1125987088.unknown _1125987086.unknown _1125987083.unknown _1125987084.unknown _1125987082.unknown _1125987077.unknown _1125987079.unknown _1125987080.unknown _1125987078.unknown _1125987075.unknown _1125987076.unknown _1125987074.unknown _1125726263.unknown _1125848506.unknown _1125849303.unknown _1125987055.unknown _1125987064.unknown _1125987068.unknown _1125987070.unknown _1125987071.unknown _1125987069.unknown _1125987066.unknown _1125987067.unknown _1125987065.unknown _1125987060.unknown _1125987062.unknown _1125987063.unknown _1125987061.unknown _1125987057.unknown _1125987059.unknown _1125987056.unknown _1125896442.unknown _1125906629.unknown _1125912452.unknown _1125986829.unknown _1125986899.unknown _1125986959.unknown _1125986961.unknown _1125986964.unknown _1125986901.unknown _1125986890.unknown _1125986894.unknown _1125986897.unknown _1125986892.unknown _1125986836.unknown _1125986885.unknown _1125986888.unknown 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