第22界IMO
1. P是三角形ABC内部一点,D、E、F分别是从P点向边BC、CA、AB所引垂线的垂足。试找出 BC/PD + CA/PE + AB/PF 式达到最小值的所有P点。
2. 取r满足1 <= r <= n,并考虑集合{1, 2, ... , n}的所有r元子集,每个子集都有一个最小元素。设F(n,r)是所有这些最小元素的算术平均值。求证:F(n,r) = (n+1)/(r+1)。
3. 设m、n是属于{1, 2, ... , 1981}的整数并且满足(n2 - mn - m2)2 = 1。试计算m2 + n2的最大值。
4. 设 n>2,问
a. n为何值时,存在一个由n个连续的正整数构成的集合使得其中的最大元是其它 n-1个元素最小公倍数的因子?
b. n为何值时,恰好值存在一个满足条件的集合?
5. 三个都通过点O的等半径的圆位于一个给定三角形的内部,并且每个圆都相切于这个三角形的两条边。求证:这个三角形的内心、外心、O点三点共线。
6. 函数f(x,y),对于任何非负整数x,y都满足f(0,y) = y + 1, f(x+1,0) = f(x,1), f(x+1,y+1) = f(x,f(x+1,y))。试计算f(4, 1981)的值。
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