北师大版2018高考数学一轮复习单元评估检测4第4章平面向量数系的扩充与复数的引入

2018年高考数学一轮复习单元评估检测试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 单元评估检测(四)　第4章　平面向量、数系的扩充与复数的引入 (120分钟　150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 的) 1．已知复数z＝eq \f(1＋2i,2－i)(i为虚数单位)，则z的虚部为(　　) A．－1　　 　B．0　　 　C．1　 　　D．i [ 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ]　C 2．若z＝4＋3i，则eq \f(\x\to(z),|z|)＝(　　) A．1 B．－1 C.eq \f(4,5)＋eq \f(3,5)I D．eq \f(4,5)－eq \f(3,5)i [答案]　D 3．若复数z满足(1＋i)z＝2，则z的虚部为(　　) A．－1 B．－i C．I D．1 [答案]　A 4．复数z＝eq \f(－3＋i,2＋i)的共扼复数是(　　) 【导学号：79140414】 A．2＋I B．2－i C．－1＋I D．－1－i [答案]　D 5．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a＋b＝(　　) A．(5,7) B．(5,9) C．(3,7) D．(3,9) [答案]　D 6．复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内的对应点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案]　D 7．设向量a，b满足|a＋b|＝eq \r(10)，|a－b|＝eq \r(6)，则a·b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．5 [答案]　A 8．设复数z1＝2sin θ＋icos θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＜θ＜\f(π,2)))在复平面上对应向量eq \o(OZ1,\s\up7(→))，将eq \o(OZ1,\s\up7(→))按顺时针方向旋转eq \f(3,4)π后得到向量eq \o(OZ2,\s\up7(→))，eq \o(OZ2,\s\up7(→))对应的复数为z2＝x＋yi(x，y∈R)，则eq \f(y,x)＝(　　) A.eq \f(2tan θ＋1,2tan θ－1) B．eq \f(2tan θ－1,2tan θ＋1) C.eq \f(1,2tan θ＋1) D．eq \f(1,2tan θ－1) [答案]　A 9．与向量a＝(3,4)同方向的单位向量为b，又向量c＝(－5,5)，则b·c＝(　　) A．(－3,4) B．(3，－4) C．1 D．－1 [答案]　C 10．如图4­1，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是(　　) 图4­1 A.eq \o(AC,\s\up7(→))＝eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(AD,\s\up7(→)) B.eq \o(BD,\s\up7(→))＝eq \o(AD,\s\up7(→))－eq \o(AB,\s\up7(→)) C.eq \o(AO,\s\up7(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up7(→)) D.eq \o(AE,\s\up7(→))＝eq \f(5,3) eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(AD,\s\up7(→)) [答案]　D 11．复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z1＝3＋2i，则z2＝(　　) A．3－2i B．2－3i C．－3－2i D．2＋3i [答案]　D 12．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　　) A．－8 B．－6 C．6 D．8 [答案]　D 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则eq \o(AE,\s\up7(→))·eq \o(BD,\s\up7(→))＝________. [答案]　2 14．平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________. [答案]　2 15．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________. [答案]　2 16．对于复数z1，z2，若(z1－i)z2＝1，则称z1是z2的“错位共轭”复数，则复数eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2)i的“错位共轭”复数为________. 【导学号：79140415】 [答案]　eq \f(\r(3),2)＋eq \f(3,2)i 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知A(－1,0)，B(0,2)，C(－3,1)，eq \o(AB,\s\up7(→))·eq \o(AD,\s\up7(→))＝5，|eq \o(AD,\s\up7(→))|＝eq \r(10). (1)求D点坐标； (2)若D点在第二象限，用eq \o(AB,\s\up7(→))，eq \o(AD,\s\up7(→)) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示eq \o(AC,\s\up7(→))； (3)eq \o(AE,\s\up7(→))＝(m,2)，若3eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(AC,\s\up7(→))与eq \o(AE,\s\up7(→))垂直，求eq \o(AE,\s\up7(→))的坐标． [解]　(1)D(2,1)或D(－2,3)． (2)eq \o(AC,\s\up7(→))＝－eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(AD,\s\up7(→)). (3)eq \o(AE,\s\up7(→))＝(－14,2)． 18．(本小题满分12分)如图4­2，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上两个三等分点，eq \o(BA,\s\up7(→))·eq \o(CA,\s\up7(→))＝4，eq \o(BF,\s\up7(→))·eq \o(CF,\s\up7(→))＝－1，求eq \o(BE,\s\up7(→))·eq \o(CE,\s\up7(→))的值. 【导学号：79140416】 图4­2 [解]　eq \f(7,8). 19．(本小题满分12分)已知复数z＝1＋i，ω＝eq \f(z2－3z＋6,z＋1). (1)求复数ω； (2)设复数ω在复平面内对应的向量为eq \o(OA,\s\up7(→))，把向量(0,1)按照逆时针方向旋转θ到向量eq \o(OA,\s\up7(→))的位置，求θ的最小值． [解]　(1)1－i.　(2)eq \f(5,4)π. 20．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知向量m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos\f(A,2)，sin\f(A,2)))，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(A,2)，－2sin\f(A,2)))，m·n＝－1. (1)求cos A的值； (2)若a＝2eq \r(3)，b＝2，求c的值． [解]　(1)－eq \f(1,2).　(2)2. 21．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cos A，cos B)，n＝(a,2c－b)，且m∥n. 【导学号：79140417】 (1)求角A的大小； (2)若a＝4，求△ABC面积的最大值． [解]　(1)因为m∥n， 所以acos B－(2c－b)cos A＝0， 由正弦定理得 sin Acos B－(2sin C－sin B)cos A＝0， 所以sin Acos B＋sin Bcos A ＝2sin Ccos A， 所以sin(A＋B)＝2sin Ccos A， 因为A＋B＋C＝π， 所以sin C＝2sin Ccos A， 因为0＜C＜π，所以sin C＞0， 所以cos A＝eq \f(1,2)， 因为0＜A＜π，所以A＝eq \f(π,3). (2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 所以16＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc， 因此bc≤16， 当且仅当b＝c＝4时，等号成立； 因此△ABC的面积S＝eq \f(1,2)bcsin A≤4eq \r(3)， 因此△ABC面积的最大值为4eq \r(3). 22．(本小题满分12分)已知平面上的两个向量eq \o(OA,\s\up7(→))，eq \o(OB,\s\up7(→))满足|eq \o(OA,\s\up7(→))|＝a，|eq \o(OB,\s\up7(→))|＝b，且eq \o(OA,\s\up7(→))⊥eq \o(OB,\s\up7(→))，a2＋b2＝4.向量eq \o(OP,\s\up7(→))＝xeq \o(OA,\s\up7(→))＋yeq \o(OB,\s\up7(→))(x，y∈R)，且a2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝1. (1)如果点M为线段AB的中点，求证：eq \o(MP,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2))) eq \o(OB,\s\up7(→))； (2)求|eq \o(OP,\s\up7(→))|的最大值，并求出此时四边形OAPB面积的最大值． [解]　(1)因为点M为线段AB的中点， 所以eq \o(OM,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(OB,\s\up7(→)))． 所以eq \o(MP,\s\up7(→))＝eq \o(OP,\s\up7(→))－eq \o(OM,\s\up7(→))＝(xeq \o(OA,\s\up7(→))＋yeq \o(OB,\s\up7(→)))－eq \f(1,2)(eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(OB,\s\up7(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2))) eq \o(OB,\s\up7(→)). (2)设点M为线段AB的中点，则由eq \o(OA,\s\up7(→))⊥eq \o(OB,\s\up7(→))，知|eq \o(MA,\s\up7(→))|＝|eq \o(MB,\s\up7(→))|＝|eq \o(MO,\s\up7(→))| ＝eq \f(1,2)|eq \o(AB,\s\up7(→))|＝1. 又由(1)及a2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up7(2)＋b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2))) eq \s\up7(2)＝1， 得|eq \o(MP,\s\up7(→))|2＝|eq \o(OP,\s\up7(→))－eq \o(OM,\s\up7(→))|2 ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up7(2) eq \o(OA,\s\up7(→))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2))) eq \s\up7(2) eq \o(OB,\s\up7(→))2 ＝a2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up7(2)＋b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2))) eq \s\up7(2)＝1. 所以|eq \o(MP,\s\up7(→))|＝|eq \o(MA,\s\up7(→))|＝|eq \o(MB,\s\up7(→))|＝|eq \o(MO,\s\up7(→))|＝eq \f(1,2)|eq \o(AB,\s\up7(→))|＝1，所以P，O，A，B四点都在以M为圆心，1为半径的圆上．所以当且仅当OP是直径时，|eq \o(OP,\s\up7(→))|max＝2，这时四边形OAPB为矩形，则S四边形OAPB＝|eq \o(OA,\s\up7(→))|·|eq \o(OB,\s\up7(→))|＝ab≤eq \f(a2＋b2,2)＝2，当且仅当a＝b＝eq \r(2)时，四边形OAPB的面积最大，最大值为2. PAGE 1