高中数学不等式课时复习教案12第十二教时不等式
教材:不等式证明综合练习
目的:系统小结不等式证明的几种常用方法,渗透“化归”“类比”“换元”等数学思想。
过程:
1、 简述不等式证明的几种常用方法
比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造
2、 例一、已知0 1, ∴
∴
∴
解三:∵0 0且a 1,其余条件不变。
例二、已知x2 = a2 + b2,y2 = c2 + d2,且所有字母均为正,求证:xy≥ac + bd
证一:(分析法)∵a, b, c, d, x, y都是正数
...
第十二教时不等式
教材:不等式证明综合练习
目的:系统小结不等式证明的几种常用方法,渗透“化归”“类比”“换元”等数学思想。
过程:
1、 简述不等式证明的几种常用方法
比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造
2、 例一、已知0 < x < 1, 0 < a < 1,试比较
的大小。
解一:
∵0 < 1 x2 < 1,
∴
∴
解二:
∵0 < 1 - x2 < 1, 1 + x > 1, ∴
∴
∴
解三:∵0 < x < 1, ∴0 < 1 - x < 1, 1 < 1 + x < 2,
∴
∴左 右 =
∵0 < 1 - x2 < 1, 且0 < a < 1 ∴
∴
变题:若将a的取值范围改为a > 0且a 1,其余条件不变。
例二、已知x2 = a2 + b2,y2 = c2 + d2,且所有字母均为正,求证:xy≥ac + bd
证一:(分析法)∵a, b, c, d, x, y都是正数
∴要证:xy≥ac + bd
只需证:(xy)2≥(ac + bd)2
即:(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
展开得:a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd
即:a2d2 + b2c2≥2abcd 由基本不等式,显然成立
∴xy≥ac + bd
证二:(综合法)xy =
≥
证三:(三角代换法)
∵x2 = a2 + b2,∴不妨设a = xsin, b = xcos
y2 = c2 + d2 c = ysin, d = ycos
∴ac + bd = xysinsin + xycoscos = xycos( )≤xy
例三、已知x1, x2均为正数,求证:
证一:(分析法)由于不等式两边均为正数,平方后只须证:
即:
再平方:
化简整理得:
(显然成立)
∴原式成立
证二:(反证法)假设
化简可得:
(不可能)
∴原式成立
证三:(构造法)构造矩形ABCD,
使AB = CD = 1, BP = x1, PC = x2
当APB = DPC时,AP + PD为最短。
取BC中点M,有AMB = DMC, BM = MC =
∴ AP + PD ≥ AM + MD
即:
∴
A
B
C
D
P
M
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