2017-2018学年高中数学北师大版必修四教学案
第2课时 平面向量基本定理
[核心必知]
平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：我们把不共线的两个向量e1，e2叫作
表
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示这一平面内所有向量的一组基底．
[问题思考]
1．零向量可以作为基底的一个向量吗？
提示：不能．因为零向量与任何向量都是共线向量．
2．平面向量的基底是唯一的吗？
提示：不是．平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，当基底一旦确定后，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示．
3．为什么平面向量基本定理中要求e1，e2不共线？
提示：若e1∥e2，则e2＝λe1，a＝λ1e1＋λ2e2＝(λ1＋λλ2)e1
故a∥e1，即用e1，e2只能表示与之共线的向量．
讲一讲
1．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，λ，μ∈R，那么下列说法中不正确的是( )
①λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③平面α内的任意一个向量a都可以分解为a＝λe1＋μe2的形式，且这种分解是唯一的；
④若λe1＝μe2，则λ＝μ＝0.
A．①② B．②③ C．③④ D．②
[尝试解答] 由平面向量基本定理知，①，③正确；对于④，若λe1＝μe2，则0eq \a\vs4\al(＝)λe1＋(－μ)e2，因为e1，e2不共线，所以必有λ＝μ＝0，④正确；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故②不正确．
[答案] D
1．由平面向量基本定理可知：①基底不唯一，一组基底中的两向量不共线；②平面内的任意向量a都可在给出的基底下进行分解；③基底给定时，分解形式唯一，即λ，μ是被a，e1，e2唯一确定的一对实数．
2．解决这种概念性问题的关键是深刻理解平面向量基本定理的意义和基底的概念．
练一练
1．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2
B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2
D．e1和e1＋e2
解析：选B ∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，
∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为平面的基底．
2．设e1，e2是平面α内的两个不共线的向量，a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)，有下列结论：
①若a与e1共线，则λ＝0；
②若a与e2共线，则λ＝0；
③若a＝0，则λ＝μ＝0.
以上结论正确的是________(填序号)．
解析：若a与e1共线，则a＝λe1＝λe1＋0×e2，
∴μ＝0，故①不正确，②正确；若a＝0，则λe1＋μe2＝0，
∴λ＝μ＝0，故③正确．
答案：②③
讲一讲
2．如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝d，试用c，d表示.
将②代入①得a＝d－eq \f(1,2)(c－eq \f(1,2)a)．
∴a＝eq \f(4,3)d－eq \f(2,3)c＝eq \f(2,3)(2d－c)，代入②
得b＝c－eq \f(1,2)×eq \f(2,3)(2d－c)＝eq \f(2,3)(2c－d)．
利用基底表示未知向量，实质就是利用向量的加、减法以及数乘向量进行线性运算，解决此类问题时，要仔细分析所给图形，借助于平面几何知识和向量共线定理及平面向量基本定理解决．
练一练
3. 如图，▱ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，G为交点，若＝b，试以a，b为基底表示.
＝－eq \f(1,3)(a＋b)．
讲一讲
3．已知D、E、F分别是△ABC的BC、CA、AB边上的中点．试用向量法证明：AD、BE、CF交于一点．
1．利用向量证明几何问题是其工具性的体现．操作时，为明确方向，常常选取问题中不共线的线段对应的向量作为基底．
2．就本题而言，充分利用三点共线和基底表示向量的唯一性来构建方程(组)求解，是解决此类问题的关键所在．
练一练
4．已知O，A，B，P是平面内的四点，且O，A，B三点不共线，若 (λ，μ∈R)，试求当λ，μ满足什么条件时，A，B，P三点共线．
解：由向量共线定理知，若A，B，P三点共线，则存在唯一
由平面向量基本定理可知λ，μ唯一．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝1－t，,μ＝t，))∴λ＋μ＝1.
故当λ＋μ＝1时，A，B，P三点共线.
已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件为( )
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
[错解] 若λ＝0，则a＝e1，又b＝2e1，
∴a＝eq \f(1,2)b，
∴a与b共线，故选A.
[错因] 错解之处在于考虑问题不全面，在应用平面向量基本定理时要注意a＝λ1e1＋λ2e2中，e1，e2不共线这个条件，若没有指明，应对e1，e2共线的情况加以考虑．
[正解] 若e1∥e2时，∵e1≠0，∴e2＝t e1(t∈R)．
∴a＝e1＋λe2＝(1＋λt)e1＝eq \f(1＋λ t,2)b，
∴a与b共线，
若e1与e2不共线，要使a与b共线，则a＝tb(t∈R)，
即e1＋λe2＝2te1，亦即(1－2t)e1＋λe2＝0，∴λ＝0.
[答案] D
1．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：
，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基底的是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
解析：选B ①③中两向量不共线，由基底的定义知，可以作为基底．
2．下列结论中正确的是( )
①a∥b⇔存在唯一的实数λ，使a＝λb
②a∥b⇔存在不全为零的实数λ1和λ2，使λ1a＋λ2b＝0
③a与b不共线，则λ1a＋λ2b＝0⇔λ1＝λ2＝0
④a与b不共线⇔不存在实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0
A．①④ B．②③
C．①③ D．②④
解析：选B 对于①，若b＝0，则a∥b，但当a＝0时，使a＝λb成立的λ有无数个，所以①不正确；根据向量共线的判定及性质定理知②正确；根据平面向量基本定理知③正确，④不正确，因为a，b不共线时，存在λ1＝λ2＝0，使λ1a＋λ2b＝0.
3. 如图，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝( )
A.eq \f(1,2)(5e1＋3e2)
B.eq \f(1,2)(5e1－3e2)
C.eq \f(1,2)(3e2－5e1)
D.eq \f(1,2)(5e2－3e1)
4．已知向量i，j不共线，实数λ，μ满足等式3λi＋(10－μ)j＝2λi＋(4μ＋7)j，则λ的值为________，μ的值为________．
解析：由3λi＋(10－μ)j＝2λi＋(4μ＋7)j得
λi＋(3－5μ)j＝0.
∵i，j不共线，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝0，,3－5μ＝0，))得λ＝0，μ＝eq \f(3,5).
答案： 0 eq \f(3,5)
5．若a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1－12e2，则向量a写为λb＋μc的形式是________．
解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝4e1＋2e2，,c＝－3e1－12e2))得，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)＝2e1＋e2，,－\f(c,3)＝e1＋4e2.))
∴－eq \f(b,2)－eq \f(c,3)＝－e1＋3e2＝a，即a＝－eq \f(1,2)b－eq \f(1,3)c.
答案： －eq \f(1,2)b－eq \f(1,3)c
一、选择题
1．已知e1，e2是不共线向量，a＝2e1＋e2，b＝λe1－e2，当a∥b时，实数λ等于( )
A．－1 B．0
C．－eq \f(1,2) D．－2
解析：选D 当a∥b时，a＝tb(t∈R)，则
2e1＋e2＝t(λe1－e2)，即(2－tλ)e1＋(1＋t)e2＝0.
∵e1，e2不共线，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－tλ＝0，,1＋t＝0，))得λ＝－2.
2．已知a，b是不共线的向量，
＝λa＋b，
＝a＋μb，λ，μ∈R，若A、B、C三点共线，则λ，μ满足的条件为( )
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
3．在△ABC中，点P是AB上一点，且，Q是BC中点，若，则λ＋μ的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,3) C．－eq \f(1,2) D．－eq \f(2,3)
4．设起点相同的三个非零向量a，b，3a－2b的终点分别为A，B，C，则( )
A．A，B，C是一个三角形的三个顶点
B．A，B，C三点共线
二、填空题
5．如图，每个小正方形方格的长度为单位1，以向量e1，e2作为基底，则a－b＝________．
解析：a－b＝＝2e2－e1.
答案：2e2－e1
6．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为表示平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是________．
解析：若a∥b，则λ＝4，故a，b能作为基底的条件为λ≠4.
答案：{λ|λ∈R且λ≠4}
7. 如图，在△ABC中，D为AB上一点，若＋，则λ＝________.
∴λ＝eq \f(2,3).
答案：eq \f(2,3)
8．△ABC中，，DE∥BC，且DE与AC相交于点E，M是BC的中点，AM与DE相交于点N，若＝ (x，y∈R)，则x＋y＝________
解析：
如图，∵DE∥BC，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－λ＝x，,λ＝y，))得x＋y＝eq \f(1,4).
答案：eq \f(1,4)
三、解答题
9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解：(1)证明：设a＝λb(λ∈R)，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝1,3λ＝－2))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,λ＝－\f(2,3)，))
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m、n∈R)，得
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3,－2m＋3n＝－1))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝1，))
∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝4，,－2λ＋3μ＝－3.))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,μ＝1.))
故所求λ、μ的值分别为3和1.
10．在平面上给定一个△ABC，试推断平面上是否存在这样的点P，使线段AP的中点为M，BM的中点为N，CN的中点为P？若存在，这样的点P有几个；若不存在，说明理由．
解：
假设存在符合要求的点P，如图所示，
∵M是AP的中点，
∵N是BM的中点，由平行四边形法则，
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_1234567891.unknown
浙公网安备 33021202002483