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首页 2015届广东高考数学理科步步高二轮专题复习课件5.3立体几何中的向量方法

2015届广东高考数学理科步步高二轮专题复习课件5.3立体几何中的向量方法.ppt

2015届广东高考数学理科步步高二轮专题复习课件5.3立体几何…

教育文库
2018-11-07 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《2015届广东高考数学理科步步高二轮专题复习课件5.3立体几何中的向量方法ppt》,可适用于高中教育领域

专题五立体几何*第讲立体几何中的向量方法主干知识梳理热点分类突破真题与押题**主干知识梳理直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a=(abc)平面α、β的法向量分别为μ=(abc)v=(abc)(以下相同)()线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ=⇔aa+bb+cc=*()线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a=kμ⇔a=kab=kbc=kc()面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ=λv⇔a=λab=λbc=λc()面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v=⇔aa+bb+cc=*直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线lm的方向向量分别为a=(abc)b=(abc)平面α、β的法向量分别为μ=(abc)v=(abc)(以下相同)()线线夹角*()线面夹角()面面夹角设半平面α、β的夹角为θ(≤θ≤π)提醒 求二面角时两法向量的夹角有可能是二面角的补角要注意从图中分析**热点一利用向量证明平行与垂直热点二利用向量求空间角热点三利用空间向量求解探索性问题热点分类突破*例 如图在直三棱柱ADEBCF中面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直M为AB的中点O为DF的中点运用向量方法证明:()OM∥平面BCF热点一利用向量证明平行与垂直思维启迪从A点出发的三条直线AB、ADAE两两垂直,可建立空间直角坐标系*证明 方法一 由题意得ABADAE两两垂直以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系*∵棱柱ADEBCF是直三棱柱且OM⊄平面BCF∴OM∥平面BCF*()平面MDF⊥平面EFCD证明设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n=(xyz)n=(xyz)*同理可得n=(,,)∵n·n=∴平面MDF⊥平面EFCD*又OM⊄平面BCF∴OM∥平面BCF()由题意知BFBCBA两两垂直*∴OM⊥CDOM⊥FC又CD∩FC=C∴OM⊥平面EFCD又OM⊂平面MDF∴平面MDF⊥平面EFCD**变式训练如图在四棱锥P-ABCD中PA⊥平面ABCD底面ABCD是菱形PA=AB=∠BAD=°E是PA的中点()求证:直线PC∥平面BDE证明 设AC∩BD=O因为∠BAD=°AB=底面ABCD为菱形*如图以O为坐标原点以OBOC所在直线分别为x轴y轴过点O且平行于PA的直线为z轴建立空间直角坐标系O-xyz*()设平面BDE的法向量为n=(xyz)所以PC∥平面BDE*故BD⊥PC()求证:BD⊥PC*例 如图五面体中四边形ABCD是矩形AB∥EFAD⊥平面ABEF且AD=AB=EF=AF=BE=P、Q分别为AE、BD的中点()求证:PQ∥平面BCE热点二利用向量求空间角思维启迪易知PQ为△ACE的中位线*证明 连接AC∵四边形ABCD是矩形且Q为BD的中点∴Q为AC的中点又在△AEC中P为AE的中点∴PQ∥EC∵EC⊂面BCEPQ⊄面BCE∴PQ∥平面BCE*()求二面角A-DF-E的余弦值思维启迪根据AD⊥平面ABEF构建空间直角坐标系则A(,,)D(,,)M(,,)F(,,)*令x=则y=z=故n=(,,)是平面DEF的一个法向量*由图可知所求二面角为锐角***变式训练如图已知三棱锥O-ABC的侧棱OAOBOC两两垂直且OA=OB=OC=E是OC的中点()求O点到面ABC的距离*则有A(,,)、B(,,)、C(,,)、E(,,)设平面ABC的法向量为n=(xyz)取n=(,,)*()求二面角E-AB-C的正弦值设平面EAB的法向量为n=(xyz)取n=(,,)由()知平面ABC的一个法向量为n=(,,)**例 如图在直三棱柱ABC-ABC中AB=BC=AA∠ABC=°D是BC的中点()求证:AB∥平面ADC热点三利用空间向量求解探索性问题由ABC-ABC是直三棱柱得四边形ACCA为矩形O为AC的中点*又D为BC的中点所以OD为△ABC的中位线所以AB∥OD因为OD⊂平面ADCAB⊄平面ADC所以AB∥平面ADC*()求二面角C-AD-C的余弦值解 由ABC-ABC是直三棱柱且∠ABC=°得BABCBB两两垂直以BCBABB所在直线分别为xyz轴设BA=则B(,,)C(,,)A(,,)C(,,)D(,,)*易知平面ADC的一个法向量为v=(,,)*因为二面角C-AD-C是锐二面角*()试问线段AB上是否存在点E使AE与DC成°角?若存在确定E点位置若不存在说明理由解 假设存在满足条件的点E因为点E在线段AB上A(,,)B(,,)故可设E(λ)其中≤λ≤因为AE与DC成°角*所以当点E为线段AB的中点时AE与DC成°角**变式训练如图在三棱锥PABC中AC=BC=∠ACB=°AP=BP=ABPC⊥AC点D为BC的中点()求二面角APDB的余弦值解 ∵AC=BCPA=PBPC=PC∴△PCA≌△PCB∴∠PCA=∠PCB*∵PC⊥AC∴PC⊥CB又AC∩CB=C∴PC⊥平面ACB且PCCACB两两垂直则C(,,)A(,,)D(,,)P(,,)*设平面PAD的一个法向量为n=(xyz)设二面角APDB的平面角为θ且θ为钝角*解 方法一 存在M是AB的中点或A是MB的中点解得x=或x=-∴M(,,)或M(-,,)*∴在直线AB上存在点M且当M是AB的中点或A是MB的中点时方法二 存在M是AB的中点或A是MB的中点*∴M是AB的中点或A是MB的中点∴在直线AB上存在点M且当M是AB的中点或A是MB的中点时*空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性能把“非运算”问题“运算”化即通过直线的方向向量和平面的法向量把立体几何中的平行、垂直关系各类角、距离以向量的方式表达出来把立体几何问题转化为空间向量的运算问题应用的核心是充分认识形体特征进而建立空间直角坐标系通过向量的运算解答问题达到几何问题代数化的目的同时注意运算的准确性本讲规律总结*提醒三点:()直线的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的绝对值是线面角的正弦值而不是余弦值()求二面角除利用法向量外还可以按照二面角的平面角的定义和空间任意两个向量都是共面向量的知识我们只要是在二面角的两个半平面内分别作***真题感悟押题精练真题与押题*真题感悟(·北京)如图正方形AMDE的边长为BC分别为AMMD的中点在五棱锥P-ABCDE中F为棱PE的中点平面ABF与棱PDPC分别交于点GH*真题感悟()求证:AB∥FG证明 在正方形AMDE中因为B是AM的中点所以AB∥DE又因为AB⊄平面PDEDE⊂平面PDE所以AB∥平面PDE因为AB⊂平面ABF且平面ABF∩平面PDE=FG所以AB∥FG*真题感悟()若PA⊥底面ABCDE且PA=AE求直线BC与平面ABF所成角的大小并求线段PH的长解 因为PA⊥底面ABCDE所以PA⊥ABPA⊥AE*真题感悟设平面ABF的一个法向量为n=(xyz)令z=则y=-所以n=(-,)设直线BC与平面ABF所成角为α*真题感悟设点H的坐标为(uvw)即(uvw-)=λ(,-)所以u=λv=λw=-λ*真题感悟即(-,)·(λλ-λ)=*押题精练*押题精练因为平面ABCD⊥平面ACEF且平面ABCD∩平面ACEF=AC*押题精练*押题精练**************************************************************

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