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首页 2013届高考数学一轮复习课件(理)人教A版-第16讲-导数的综合应用

2013届高考数学一轮复习课件(理)人教A版-第16讲-导数的综合应用.ppt

2013届高考数学一轮复习课件(理)人教A版-第16讲-导数的…

教育文库
2018-11-07 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《2013届高考数学一轮复习课件(理)人教A版-第16讲-导数的综合应用ppt》,可适用于高中教育领域

已知函数f(x)=x-x+若方程f(x)=a有三个不同的实数根则a的范围是 (-,) 【解析】因为f′(x)=x-=(x+)(x-)所以当x∈(-∞-)∪(+∞)时f′(x)>当x∈(-,)时f′(x)<当x=-时f(x)有极大值为f(-)=当x=时f(x)有极小值为f()=-所以f(x)=a有三个不同实根则-<a<故a的取值范围是(-,).已知a=xb=lnxc=ex其中x>则abc的大小关系是(从小到大) b<a<c 【解析】令f(x)=x-lnx则f′(x)=-eqf(,x)=eqf(x-,x)=得x=当x∈(,)时f′(x)<当x∈(+∞)时f′(x)>所以当x=时f(x)取最小值f()=所以x∈(+∞)时f(x)=x-lnx≥f()=>所以x>lnx又令g(x)=ex-x则g′(x)=ex->(x>)所以x∈(+∞)时g(x)>g()=>所以ex>x故ex>x>lnx即b<a<c 某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)=x·eqf(-x,)(<x<)则当箱子的容积最大时箱子底面边长是()A.B.C.D.其他【解析】V(x)=-eqf(,)x+xV′(x)=-eqf(,)x+x=-eqf(,)(x-x)=-eqf(,)x(x-)(<x<).由V′(x)=得x=而当<x<时V′(x)>当<x<时V′(x)<所以V(x)max=V()=所以当x=时V(x)取最大值.故选B某工厂生产某种产品已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格P(吨元)之间的函数关系为P=-eqf(,)x且生产x吨的成本为R=+x元则该厂每月生产  吨产品才能使利润达到最大最大利润是  万元.【解析】设生产x吨产品利润为y元则y=Px-R=(-eqf(,)x)·x-(+x)=-eqf(,)x+x-令y′=-eqf(,)x+=得x=所以当每月生产吨产品时利润达到最大最大利润是万元.设矩形ABCD的A、B两点在y=sinx(<x<π)的图象上C、D两点在x轴上且D(x,)(<x<eqf(π,))欲使矩形面积最大则x的取值范围是()A.(eqf(π,))B.(eqf(π,)eqf(π,))C.(eqf(π,)eqf(π,))D.(eqf(π,)eqf(π,))【解析】因为D(x,)又ABCD为矩形由对称性可知C(π-x,)A(xsinx)所以|CD|=π-x|AD|=sinx所以矩形的面积S(x)=(π-x)sinx(<x<eqf(π,))则S′(x)=πcosx-sinx-xcosx=-sinx+(π-x)cosx由S′(eqf(π,))=-sineqf(π,)+eqf(π,)·coseqf(π,)=-+eqf(r()π,)>S′(eqf(π,))=-sineqf(π,)+eqf(π,)·coseqf(π,)=-eqr()+eqf(πr(),)<可知S′(x)=在(eqf(π,)eqf(π,))有根即为其最大值点故选B一利用导数解决不等式问题【例】证明:当x>时ln(+x)>eqf(x,x+)【点评】有关“超越型不等式”的证明构造函数应用导数是常用证明方法.【证明】设f(x)=ln(x+)-eqf(x,x+)(x>)所以f′(x)=eqf(,x+)-eqf(,x+)=eqf(x,x+x+)又x>所以f′(x)>所以f(x)在(+∞)上为增函数所以f(x)>f()=即ln(x+)>eqf(x,x+)(x>).素材()方程xlnx-=的根的个数是  ()当x>时不等式xlnx-a>恒成立则a的取值范围是 (-∞-eqf(,e)) 【解析】()令f(x)=xlnx(x>)则f′(x)=lnx+由f′(x)=得x=eqf(,e)当x∈(eqf(,e))时f′(x)<当x∈(eqf(,e)+∞)时f′(x)>所以f(x)在(eqf(,e))上递减在(eqf(,e)+∞)上递增.所以当x=eqf(,e)时f(x)有最小值f(eqf(,e))=-eqf(,e)又当<x<时f(x)<当x足够大时f(x)的值也足够大.故xlnx-=有且只有一个根.()由()a<xlnx恒成立则a<xlnxmin所以a<-eqf(,e)二 利润最大问题【例】受金融危机的影响三峡某旅游公司经济效益出现了一定程度的滑坡.现需要对某一景点进行改造升级提高旅游增加值.经过市场调查旅游增加值y万元与投入x万元之间满足:y=eqf(,)x-ax-lneqf(x,)eqf(x,x-)∈t+∞)其中t为大于eqf(,)的常数.当x=时y=()求y=f(x)的解析式和投入x的取值范围()求旅游增加值y取得最大值时对应的x的值.【解析】()因为当x=时y=即eqf(,)×-a×-ln=解得a=eqf(,)所以f(x)=eqf(,)x-eqf(x,)-lneqf(x,)因为eqf(x,x-)≥t且t>eqf(,)所以<x≤eqf(t,t-)即投入x的取值范围是(eqf(t,t-).()对f(x)求导得f′(x)=eqf(,)-eqf(x,)-eqf(,x)=-eqf(x-x+,x)=-eqf(x-x-,x)令f′(x)=得x=或x=(舍去).当x∈(,)时f′(x)>且f(x)在(,上连续因此f(x)在(,上是增函数当x∈(+∞)时f′(x)<且f(x)在+∞)上连续.因此f(x)在+∞)上是减函数.所以x=为极大值点.当eqf(t,t-)≥即t∈(eqf(,)eqf(,)时投入万元改造时取得最大增加值当<eqf(t,t-)<即t∈(eqf(,)+∞)时投入eqf(t,t-)万元改造时取得最大增加值.【点评】收益问题备受人们的关注它与数学密不可分.本例注重知识迁移通过问题的解决培养运用导数的意识和能力.素材()已知某生产厂家年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-eqf(,)x+x-则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A.万件B.万件C.万件D.万件()已知一家公司一年内共生产某品牌服装x千件全部销售完每千件的销售收入为R(x)万元且R(x)=eqblc{rc(avsalco(-f(,)x <x≤,f(,x)-f(,x)x>))而生产总成本为Q(x)万元且Q(x)=+x则该公司年生产这一品牌服装  千件时获得的最大利润为  万元.【解析】()因为y′=-x+由y′=得x=(-舍去).当x∈(,)时y′>当x∈(+∞)y′<所以当x=时y有最大值故选C()设年利润为W(x)则W(x)=x·R(x)-Q(x)=eqblc{rc(avsalco(x-f(,)x--x <x≤,-f(,x)--xx>))当<x≤时W′(x)=-eqf(,)x-=-eqf(,)x+由W′(x)=得x=且<x<时W′(x)>当<x≤时W′(x)<所以当x=时W(x)有最大值为W()=(万元)当x>时W(x)=-(eqf(,x)+eqf(x,))≤-×=当且仅当eqf(,x)=eqf(x,)即x=eqf(,)时w(x)取最大值又因为<综上可知当x=时W(x)max=答:当年产量为千件时年利润最大为万元.三 成本最低问题【例】某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度长度单位:米)其中容器的中间为圆柱形左右两端均为半球形按照设计要求容器的体积为eqf(π,)立方米且l≥r假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为千元半球形部分每平方米建造费用为c(c>)千元.设该容器的建造费用为y千元.()写出y关于r的函数表达式并求该函数的定义域()求该容器的建造费用最小时的r【解析】()设容器的容积为V由题意知V=πrl+eqf(,)πr又V=eqf(π,)故l=eqf(V-f(,)πr,πr)=eqf(,r)-eqf(,)r=eqf(,)(eqf(,r)-r).由于l≥r因此<r≤所以建造费用y=πrl×+πrc=πr×eqf(,)(eqf(,r)-r)×+πrc因此y=π(c-)r+eqf(π,r)<r≤()由()得y′=π(c-)r-eqf(π,r)=eqf(πc-,r)(r-eqf(,c-))<r<由于c>所以c->当r-eqf(,c-)=时r=eqr(,f(,c-))令eqr(,f(,c-))=m则m>所以y′=eqf(πc-,r)(r-m)(r+rm+m).①当<m<即c>eqf(,)时当r=m时y′=当r∈(m)时y′<当r∈(m,)时y′>所以r=m是函数y的极小值点也是最小值点.②当m≥即<c≤eqf(,)时当r∈(,)时y′<函数单调递减所以r=是函数y的最小值点.综上所述当<c≤eqf(,)时建造费用最小时r=当c>eqf(,)时建造费用最小时r=eqr(,f(,c-))【点评】利用导数解决生活中的优化问题时既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示还要注意根据实际意义确定其定义域求得的结果一定要检验是否与实际相符.素材统计表明某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米小时)的函数解析式可以表示为:y=eqf(,)x-eqf(,)x+(<x≤).已知甲、乙两地相距千米.()当汽车以千米小时的速度匀速行驶时从甲地到乙地要耗油多少升?()当汽车以多大的速度匀速行驶时从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?【解析】()当x=时汽车从甲地到乙地行驶了eqf(,)=小时要耗油(eqf(,)×-eqf(,)×+)×=升.故当汽车以千米小时的速度匀速行驶时从甲地到乙地耗油为升.()当速度为x千米小时时汽车从甲地到乙地行驶了eqf(,x)小时设耗油量为h(x)升依题意得:h(x)=(eqf(,)x-eqf(,)x+)·eqf(,x)=eqf(,)x+eqf(,x)-eqf(,)(<x≤)则h′(x)=eqf(x,)-eqf(,x)=eqf(x-,x)(<x≤).令h′(x)=得x=当x∈(,)时h′(x)<h(x)是减函数当x∈(,)时h′(x)>h(x)是增函数.令h′(x)=得x=当x∈(,)时h′(x)<h(x)是减函数当x∈(,)时h′(x)>h(x)是增函数.所以当x=时h(x)取到极小值h()=因为h(x)在(,上只有一个极小值所以它是最小值.故当汽车以千米小时的速度匀速行驶时从甲地到乙地耗油最少为升.备选例题某水渠的横截面如图所示它的曲边是抛物线形口宽AB=m渠深OC=m水面EF距AB为m()求截面图中水面的宽度()如果把水渠改造为横截面是等腰梯形并要求渠深不变不准往回填土只能挖土试求当截面梯形的下底边长为多少时才能使挖出的土最少?【解析】建立坐标系设抛物线方程为x=p(y+eqf(,))以B点坐标(,)代入抛物线方程得p=eqf(,)所以抛物线的方程为x=eqf(,)(y+eqf(,)).()把F点的坐标(a-eqf(,))代入抛物线的方程得a=eqf(r(),)所以水面宽EF=eqf(r(),)m()设抛物线上的一点M(teqf(,)t-eqf(,))(t>)因改造水渠不能填土只能挖土还要求挖的土最少所以只能沿过M点与抛物线相切的切线挖土由y=eqf(,)x-eqf(,)得y′=x所以过点M的切线的斜率为t所以切线的方程为y=t(x-t)+(eqf(,)t-eqf(,))当y=时x=eqf(,)(t+eqf(,t))当y=-eqf(,)时x=eqf(t,)所以截面的面积S=eqf(,)(t+eqf(,t))≥eqf(r(),)当且仅当t=eqf(,t)且t>即t=eqf(r(),)时截面的面积最小此时下底的边长为eqf(r(),)m【点评】导数作为一个工具在解应用题时具有非常重要的作用复习中应将导数的应用提升一个高度.本例将实际问题与抛物线、导数的几何意义结合考查有助于训练学生思维和创新意识.

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