福州市2011年中考数学第21
题
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质量
分析
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福州市2011年中考数学第21题的
设计
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,结合福州学生实际,立足主干知识,追求有价值的试题难度,体现出“综合性强、难度设置有梯度、赋予动态的背景、解法灵活”等特点。学生在答题过程中体现出:“思维活跃,解法多样;不拘泥于形式,善于利用所学的知识;抓牢基础题型,讲究答题策略”等优点,但是也存在:“思路不够清晰、思维不够严密,计算不够娴熟”等不足,折射出我们教学中亟待解决的一些问题。
作为几何综合题解题思路多样,解题方法灵活,渗透了一定的数学思想和方法,很好地考查了不同水平学生的数学能力,试题虽然有一定的难度,但这是很有价值的难度,也符合“试题设计要有利于考生展示在数学学习中所取得的成就”的评价理念,是值得追求的。下面结合考试的实际情况,分析如下:
【原题】(满分12分)
已知,矩形
中,
,
,
的垂直平分线
分别交
、
于点
、
,垂足为
.
(1)如图10-1,连接
、
.求证四边形
为菱形,并求
的长;
(2)如图10-2,动点
、
分别从
、
两点同时出发,沿
和
各边匀速运动一周.即点
自
→
→
→
停止,点
自
→
→
→
停止.在运动过程中,
①已知点
的速度为每秒5
,点
的速度为每秒4
,运动时间为
秒,当
、
、
、
四点为顶点的四边形是平行四边形时,求
的值.
②若点
、
的运动路程分别为
、
(单位:
,
),已知
、
、
、
四点为顶点的四边形是平行四边形,求
与
满足的数量关系式.
一、试题特点分析:
(一)试题综合性强
本题以矩形为载体,综合了平行四边形、菱形、三角形、对称与方程等初中数学主干知识,考查了学生对数学知识的灵活运用能力,考查了学生的分析、观察与计算能力,融汇了“数学建模思想、转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想”等数学思想,是一道综合性较强的题目。
(二)试题难度设置具有梯度
试题总共设置了两个小题三个问,第一小题为基础题,考查了三角形全等、平行四边形的判定、菱形的判定等基础知识;第二小题第一问为中上难度问题,属于能力考查范围,重点考查学生对数学知识的灵活运用能力;第二小题第二问是第二小题第一问的升华,用字母来
表
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示数,从特殊到一般,充分发挥学生总结归纳解决问题的能力,是本张试卷的亮点。
(三)试题赋予动态的背景
压轴题一般都赋予运动变化的背景,本题也一样——“点
自
→
→
→
停止,点
自
→
→
→
停止”运动变化使题目的各种关系变得复杂,学生要用运动的观点来分析图形在运动过程中的相互关系,从而很好地考查了学生的思维能力。
二、学生的答题情况分析:
(一)学生答题中凸现的优点
1、 证明菱形的解法灵活:
第一小题的解题入口宽、方法有多种,多数学生采用评分
标准
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所设定的方法,即通过证
△AOE≌△COF,得到一个条件后,证明四边形AFCE是平行四边形,最后由EF⊥AC,得到
是菱形。其他特殊的解题思路有:
①设AF长为xcm,
∵EF垂直平分AC
∴FC=AF=xcm
∴BF=BC=FC=(8-x)cm
在Rt△ABF中,由勾股定理得:
解得:x=5
∴AF=FC=5cm
同理 AE=EC=5cm
∴AF=FC= EC = AE
∴四边形AFCE是菱形
②∵EF垂直平分AC
∴OA=OC
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴△AOE∽△COF
∴
∴OE=OF
∴四边形AFCE是平行四边形
∵EF⊥AC
∴
是菱形
(备注:利用
也可以得到相同的给论)
③∵EF垂直平分AC
∴OA=OC
∴O为矩形ABCD的对称中心
∴OE=OF
∴四边形AFCE是平行四边形
∵EF⊥AC
∴
是菱形
④∵EF垂直平分AC
∴AF=FC,AE=EC
∴∠1=∠2,∠3=∠4
∵AD∥BC
∴∠3=∠2
∴∠1=∠4
∴AF∥CE
∴四边形AFCE是平行四边形
∵EF⊥AC
∴
是菱形
2、求AF长的其他方法
∵AB=4,BC=8
∴
∴
∵∠1=∠2,∠AOF=∠B=90°
∴△AOF∽△CBA
∴
即
∴AF=5
3、求
与
满足的数量关系式的优秀解法:
连接AC,取AC的中点O
∵矩形、菱形皆关于O点成中心对称
∴原图形关于O点成中心对称
1) 若以A、C、P、Q为顶点的平行四边形为
时,
P、Q应位于AC边的同侧,由图可知:P、Q必位于AC的异侧
∴这种情况不成立
2) 若以A、C、P、Q为顶点的平行四边形为
时,
则P、Q也关于O点对称
又∵△CDE与△ABF关于O点成中心对称
∴△CDE≌△ABF
又P、Q两点的运动方向相反
∴a+b为点
沿
→
→
→
运动的路程与点
沿
→
→
→
运动的路程之和恰好为△ABF的周长
∴a+b=12
(二)学生答题中凸现的不足
1、概念不清,用直观代替推证。
如:很多学生由EF垂直平分AC得到OE=OF和AE=AF,从
而造成证明菱形错误。也是本题中容易得分点造成严重失分的
主要原因。还比如:由矩形直接得到∠AFE=∠CEF。
2、解题过程不规范。
如:不从条件入手,直接等到AE∥CF,还有直接由EF垂直平分AC得到∠EAC=∠ECA或∠AEF=∠CEF。
3、基本数学素养低,定理理解不到位。
在证明菱形的过程中,判定定理应用不得当,许多学生利用一组对角线平分对角来证明菱形。
4、审题不到位,分类不完整。
如第二小题的第二问,许多学生用本小题的第一问作为第二问的前提条件,导致分类不完整。还有学生以偏概全,以特殊位置来讨论a+b的值,导致分类不完整。
三、教学思考与启示
本题满分为12分,平均分为2.56分,难度系数为0.21,有近一半的学生得分几乎是零分。试题所设置的三个问题,难度呈“易、中、难”三个层次分布,有很好的梯度,应该是比较成功扮演了几何综合题的角色,但是学生得分却不呈正态分布。综合分析可发现主要原因在于多数学生学习态度差、解题思路不够清晰、思维不够严密、计算能力不扎实、答题不规范等,从中也折射出了“教”与“学”之间存在的严重问题,也给我们带来深深的思考与启示:1、教学应注意端正学生的学习态度;2、教学过程中要重视基础知识;3、教学过程中应规范学生解题格式;4、教学应重视学生数学能力的培养,如分类讨论;5、教学要按照学生的水平进行,做好分层教学;6、教学时要注意培养学生的发散思维,寻求最佳解题方法。
思考几个问题:
1、在课堂教学上我们是主导,那么主导地位怎样体现,什么内容需要我们引导,什么内容学生自己能够通过讨论解决。比如:要讲评这道题目我们要怎么做。
2、目前大多数老师不是课堂的主导而是课堂的主宰。怕学生这个没听懂,那个容易错,所以事无巨细,尽可能做到面面俱到,可结果有一半以上的学生连最基本的都不懂。(本题菱形的证明不会做和做错的达到50%以上。)
3、改变课堂教学模式,真正把课堂还给学生,体现学生的主体地位。建议大家能看一下杜郎口的课堂改革,借鉴他们的模式,完善自己的教学体系。例如:在讲评本题时,既然这道题目有这么多的解法,我们能否采用小组讨论的模式,将任务分配给每个同学、每个小组来完成,充分调动每个学生的主体性,发挥每个小组的集体智慧,展示模块就会有不同层次、不同角度的思考与交流。这样会比单一的从我们的角度分析,让学生跟着我们的思路走,是不是会好很多。
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图10-1
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图10-2
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备用图
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