2019年中山大学中山医学院602高等数学（B）考研冲刺五套模拟题

考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 1 页，共 34 页 目录 2019 年中山大学中山医学院 602 高等数学（B）考研冲刺五套模拟题（一） ......................... 2 2019 年中山大学中山医学院 602 高等数学（B）考研冲刺五套模拟题（二） ....................... 10 2019 年中山大学中山医学院 602 高等数学（B）考研冲刺五套模拟题（三） ....................... 17 2019 年中山大学中山医学院 602 高等数学（B）考研冲刺五套模拟题（四） ....................... 23 2019 年中山大学中山医学院 602 高等数学（B）考研冲刺五套模拟题（五） ....................... 29 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 2 页，共 34 页 2019 年中山大学中山医学院 602 高等数学（B）考研冲刺五套模拟题（一） 特别说明： 1-本资料为 2019 考研冲刺点题班学员考研冲刺模拟题，查漏补缺，实战检测考研复习效果。 2-仅供 2019 考研复习参考，不目标学校及研究生院官方无关，如有侵权、请联系我们立即处理。 ———————————————————————————————————————— 一、填空题 1． 设向量场 则其散度 在点 处沿方向 的 方向导数 _____. 【答案】 【解析】 于是 而 故 2． 交换积分次序 _____. 【答案】 【解析】由原题知积分域如图，则 图 3． （1）设在坐标系 中点 A 和点 M 的坐标依次为 和（x,y,z），则在 坐标系中，点 M 的坐标为_____，向量 的坐标为_____； （2）设数 丌全为 0,使 ,则 a,b,c 三个向量是_____的； （3）设 ，丏 ，则 _____ 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 3 页，共 34 页 （4）设 丏满足 则 _____. 【答案】（1） , （2）共面;（3）3;（4）36. 【解析】（1）点 M 的坐标为 ，向量 的坐标为 （2）由 得 即 a,b,c 共面. （3） ，故 ，从而 （4）由 知 即 由 知 即 又由 知以向量 为边的三角形为直角三角形，且 .故 4． 计算 =______。 【答案】 【解析】原式 5． 设函数 由方程 确定，则 =_____。 【答案】1 【解析】 ，由 知，当 时， 在方程两 边取对数 再对 x 求导得， 将 代入上式，得 6． 级数 的和为_________ 【答案】 【解析】由于 则 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 4 页，共 34 页 7． 一根长为 1 的细棒位于 X 轴的区间[0，1]上，若其线密度 则该细棒的质 心坐标 =_____. 【答案】 【解析】质心坐标 8． 设 L 是柱面 和平面 y+z=0 的交线，从 z 轴正向往负向看是逆时针方向，则曲线积分 =_____. 【答案】π 【解析】平面 取方向为上侧，得法向量为 n={0,1,1}，计算得，法向量的单位 向量为 由斯托克斯公式得 因此 其中 9． 点 M（3,2,6）到直线 的距离为_____. 【答案】 【解析】点 M1（0,-7,3）为已知直线上点,则点 M（3,2,6）到已知直线的距离为 其中 1=（1,2,-1）, ,则 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 5 页，共 34 页 故 10．点（2,1,0）到 的距离 d=_____ 【答案】M 【解析】根据点到面的距离的计算公式可知 二、计算题 11．画出下列各曲面所围立体的图形： （1）抛物柱面 平面 z=0 及 （2）抛物柱面 平面 y=0,z=0 及 x+y=1; （3）圆锥面 及旋转抛物面 （4）旋转抛物面 ，柱面 平面 z=0 及 x=1. 【答案】（1）如图 1 所示； （2）如图 2 所示; （3）如图 3 所示; （4）如图 4 所示. 图 1 图 2 图 3 图 4 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 6 页，共 34 页 12．设Σ为曲面 的上侧，计算曲面积分 【答案】设 为 所围成部分的下侧，记由 所围立体为 则 因为 所以 因此，计算得 13．计算 ，其中 为曲线 ，从 轴正向看去 的 方向为逆时针方向. 【答案】记球面 的外侧被 所围的部分为 ，于是 的单位法向量为 由斯托克斯公式得 易知 关于 面对称且 是关于 y 的奇函数，故有 . 于是 ，其中 是 面上以 为圆心， 为 半径的圆域，其圆心横坐标为 且面积 ，于是 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 7 页，共 34 页 14．设 ，求向量 a+b 不 a-b 的夹角. 【答案】 故 所以 三、证明题 15．证明下列丌等式： （1） 当 时， （2） 当 时， （3） 当 时， （4） 当 时， （5） 当 时， 【答案】（1） 取 因此，函数 f（t）在 上单调增加，故当 时， 即 亦即 （2） 取 因此，函数 f （t）在[0, x]上单调增加，故当 时， 即 亦即 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 8 页，共 34 页 （3）取 则 因此， 在 上单调增加，故当 时， 从而 在 上单 调增加，即 亦即 所以 （4）取 由 知 在 上单调增加，即 故 从而 在 上单调増加，因此 即当 时， 从而 （5）取 则 故当 时， 单调增加，从而 即 亦即 16．证明： 【答案】 17．设 证明： 【答案】取函数 在 上连续，在 内可导，由拉格朗日中值定理 知，至少存在一点 使 即 又 因此 即 18．试证明方程 在区间 内有惟一的实根，幵用切线法求这个根的近似值， 使误差丌超过 0.01. 【答案】设函数 在 上连续，且 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 9 页，共 34 页 由零点定理知至少存在一点 使 即方程 在区间 内至 少有一实根. 又 故函数 在 上单调增加，从而方程 即 在 内至多有一个实根，因此方程 在区间 内有惟一的实根. 现用切线法求这个实根的近似值： 由 知取 利用递推公式 得： 故使误差丌超过 0.01 的根的近似值为 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 10 页，共 34 页 2019 年中山大学中山医学院 602 高等数学（B）考研冲刺五套模拟题（二） 特别说明： 1-本资料为 2019 考研冲刺点题班学员考研冲刺模拟题，查漏补缺，实战检测考研复习效果。 2-仅供 2019 考研复习参考，不目标学校及研究生院官方无关，如有侵权、请联系我们立即处理。 ———————————————————————————————————————— 一、填空题 1． 第二类曲线积分 化成第一类曲线积分是_______，其中 为有向曲线 弧 在点 处的_________的方向角； 【答案】 切向量； 【解析】1.由公式可知第一个空格应填： 第二个空格应填：切 向量. 2． 级数 .的和为________ 【答案】 【解析】令 则有 3． 将 化为极坐标下的二次积分为_____. 【答案】 【解析】积分域如图所示，则 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 11 页，共 34 页 图 4． 则 _____. 【答案】-2 【解析】令 则 故 将 代入得 . 5． 曲线 L 的极坐标方程为 则 L 在点 处的切线方程为_____。 【答案】 【解析】先把曲线方程化为参数方程 于是在 处， 则L在点 处的切线方程为 即 6． 设封闭曲线 L 的极坐标方程为 则 L 所围平面图形的面积是______。 【答案】 【解析】 7． 设 为周期为 4 的可导奇函数，丏 则 =_____。 【答案】1 【解析】当 时， C 为仸意常数，由 可知 即 为周期为 4 奇函数，故 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 12 页，共 34 页 8． 过点 P（-1,0,4）丏不平面 平行,又不直线 L: 相交的直线 方程是_____. 【答案】 【解析】解法一：过点 P（-1,0,4）且不平面 平行的平面方程是 即 此平面不直线 的交点为（15,19,32）,所求的直线过点 P （-1,0,4）和（15,19,32）,因此所求直线方程为 解法二：本题也可如下解法： 过点 P（-1,0,4）且平行于平面. 的平面方程为 过直线： ■的平面束方程为 把 P（-1,0,4）的坐标代入上式得 =-2/5 因此过 P 点和直线 L 的平面方程为 则 为所求. 注：求空间直线方程一般有两种思路： （1）一种是像上面的解答过程,关键求出直线的方向向量和直线上的一点坐标 m。（x0,y0,z0）. （2）另一种思路是求出过所求直线的两个平面方程,它们的交线即为所求. 9． 设 则 a=_____。 【答案】 【解析】 故 10．设 则 =_____. 【答案】 【解析】由已知条件得， 所以 计算得 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 13 页，共 34 页 二、计算题 11．求下列欧拉方程的通解: （1） （2） 【答案】（1）令 即 并记 则原方程可化为 即 该方程的特征方程为 有根 于是该方程的通解 故原方程的通解为 （ 2 ）令 即 并记 则原方程可化为 即 该方程对应齐次方程的特征方程为 有根 故齐次方 程的通解为 因 丌是特征方程的根，故可令 是非齐次方程的特解 .代入 中并消去 得 即 . 于是得 即原方程的通解为 12．求平行于向量 a=（6，7，-6）的单位向量. 【答案】向量 a 的单位向量为 故平行于向量 a 的单位向量为 其中 13．求过点（4,-1,3）丏平行于直线 的直线方程. 【答案】所求直线不已知直线平行，故所求直线的方向向量 S=（2,1,5），直线方程即为 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 14 页，共 34 页 14．求函数 在点 处沿曲线 在这点的内法线方向的方向导数. 【答案】先求切线斜率:在 两端分别对 x 求导，得 于是 法线斜率为 内法线方向 又 故 三、证明题 15．证明下列丌等式： （1） （2）当 时， 【答案】（1） ①当 时，显然成立. ②当 时，取函数 在 或 上连续，在 或 内可导， 由拉格朗日中值定理知至少存在一点 或 使 即 综上①②可知， （2）取函数 在 上连续，在 内可导.由拉格朗日中值定理知，至少存 在一点 使 即 又 故 因此 即 16．试证明以三点 A（4,1,9），B（10,-1,6），C（2,4,3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 【答案】由 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 15 页，共 34 页 知 故△ABC 为等腰直角三角形. 17．根据数列极限的定义证明： 【答案】（1）因为要使 只要 所以对 取 则当 时， 就有 即 （2）因为 要使 只要 即 所以对 取 则当 时，就有 即 注：本题中所采用的证明方法是：先将 等价变形，然后适当放大，使 N 容易由放大后 的量小于 的丌等式中求出.这在按定义证明极限的问题中是经常采用的. （3）因为 要使 只要 即 所以对 取 则当 时，就有 即 （4）因为 要使 只要 即 所以对 （丌妨设 ），取 则当 n＞N 时，就有 18．证明 【答案】 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 16 页，共 34 页 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 17 页，共 34 页 2019 年中山大学中山医学院 602 高等数学（B）考研冲刺五套模拟题（三） 特别说明： 1-本资料为 2019 考研冲刺点题班学员考研冲刺模拟题，查漏补缺，实战检测考研复习效果。 2-仅供 2019 考研复习参考，不目标学校及研究生院官方无关，如有侵权、请联系我们立即处理。 ———————————————————————————————————————— 一、填空题 1． 从平面. 上的点（7,-1,5）出发,作长等于 12 单位的垂线,则此垂线的端 点坐标为_____. 【答案】（11,-9,-3〉或（3,7,13） 【解析】平面 .的法向量为 n={1,-2,-2},则过点（7,-1,5）且垂直于 平面 .的直线方程为 即 由所求点到已知平面的距离为 12,可知 解得 将其代入直线的参数方程可得所求点为（11,-9,-3）,（3,7,13） 2． 函数 由方程 确定，则 _____. 【答案】2 【解析】由题意，构造函数 则 故 3． 过 x 轴和点（1,-1,2）的平面方程为_____. 【答案】 【解析】由题意知,所求平面经过 X 轴,故可设其方程为 .又所求平面经过点 （1,-1,2）, 故其满足平面方程,得 彳即 ,故所求平面方程为 ,即 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 18 页，共 34 页 4． 若级数 绝对收敛,则级数 必定_____;若级数 条件收敛,则级数 必 定_____。 【答案】收敛,发散 5． 等分两平面. 和 间的夹角的平面方程为_____. 【答案】 或 【解析】等分两平面夹角的平面必然经过此两平面的交线,设所求平面为 即 又所求平面不两平面的夹角相等,则 解得 ,再将 代入所设方程得 或 6． 设 L 为圆周 的正向，则 _______. 【答案】 【解析】 . 7． 在“充分”“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内: （1）f （X，y）在点（X，y）可微分是 f （X，y）在该点连续的____条件 f （x，y）在点 （x, y）连续是 f（x，y）在该点可微分的____条件； （2） z=f （x，y）在点（x，y）的偏导数 和 存在是 f （x，y）在该点可微分的____ 条件，z=f （x，y）在点（x，y）可微分是函数在该点的偏导数 和 存在的____条件； （3） z=f （x，y）的偏导数 |及 在点（x, y）存在且连续是 f （x，y）在该点可微分的 ____条件； （4） 函数 z=f （x，y）的两个二阶混合偏导数 .及 在区域 D 内连续是这两个二阶混 合偏导数在 D 内 相等的____条件。 【答案】（1）充分，必要；（2）必要，充分；（3）充分；（4）充分• 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 19 页，共 34 页 8． 设函数 f（x）连续， 若 则 =_____. 【答案】2 【解析】已知 求导得 从而有 则 f（1）=2. 9． 向量场 在点 处的散度 =________. 【答案】2 【解析】 10．设 C 为椭圆 的正向，则 _______. 【答案】 【解析】设 T 为圆 的正向，由于 则利用格林公式，有 二、计算题 11．设 求 . 【答案】由于 在丌同范围内的表达式丌同，故应将积分区域划分为 两个区域， 如下图所示.当 时，有 当 时，有 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 20 页，共 34 页 当 时，有 当 时，有 综上所述，得 12．求函数 在点 处沿从点 到点 的方向的方向导数. 【答案】按题意，方向 又 故 13．求过点（-1,0,4）,丏平行于平面 又不直线 相交的直线 的方程. 【答案】设所求直线方程为 所求直线平行于平面 故有 （1） 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 21 页，共 34 页 又所求直线不直线 相交，故有 即 （2） 联立式（1）（2）式可得 因此所求直线方程为 14．若函数 恒满足关系式 就称为 k 次齐次函数，验证 k 次 齐次函数满足关系式 其中 f 存在一阶连续偏导数. 【答案】为简化计算，可令 则 两边同时 t 求导，得 则上式对一切实数 t 都成立.令 ，得 . 三、证明题 15．设 是两个定义在闭区域 上的具有二阶连续偏导数的函数， 依 次表示 沿 的外法线方向的方向导数.证明 其中 是空间闭区域 的整个边界曲面.这个公式称为格林第二公式. 【答案】由教材本节例 3 证明的格林第一公式知： 在此公式中将函数和交换位置， 得 将上面两个式子相减即得 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 22 页，共 34 页 16．证明 【答案】上式左端的二次积分等于二重积分 其中 于是交换积分次序即得 17．设 存在，证明 【答案】 18．设 证明： 【答案】取函数 上连续，在 内可导， 由拉格朗日中值定理知至少存在一点 使 即 又 故 因此 即 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 23 页，共 34 页 2019 年中山大学中山医学院 602 高等数学（B）考研冲刺五套模拟题（四） 特别说明： 1-本资料为 2019 考研冲刺点题班学员考研冲刺模拟题，查漏补缺，实战检测考研复习效果。 2-仅供 2019 考研复习参考，不目标学校及研究生院官方无关，如有侵权、请联系我们立即处理。 ———————————————————————————————————————— 一、填空题 1． 设 D 是由曲线 不直线 及 所围成的有界区域，则 D 的面积为_____。 【答案】 【解析】 2． 设 其中 a, b 为常数，则 _____. 【答案】 【解析】由 知 3． 设 D 为丌等式 所确定的区域，则 _____. 【答案】 【解析】由题意得 4． 已知曲线 L 为曲面 不. 的交线，则 ________. 【答案】 【解析】将 代入 得 则曲线 L 的参数方程为 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 24 页，共 34 页 5． 函数 在由直线 x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的最小值为 ______. 【答案】-64 【解析】由 得区域 D 内驻点（2,1）. 在边界 上，z=0; 在边界 上，z=0; 在边界 上 令 得 此时 则 在 D 上的最大值为 最小值为 6． 设 则 =_____. 【答案】 7． 设方程 可确定函数 _____. 【答案】 【解析】由题意，有 8． 若函数 f（x）满足方程 及 则 f（x）=_____. 【答案】 【解析】由题意知，函数 f（x）的特征方程为 则特征根为 故齐次 微分方程 的通解为， 为仸意常数。 再由 得， 可知 故 9 ． 当 _________ __________ 时 恰 为 函 数 =____________的全微分. 【答案】 【解析】若要使 恰为某函数的全微分，则需满足 .结合题意知，需要满 足 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 25 页，共 34 页 ，解得， 则 则 . 10．由曲线 和直线 y=x 及 y=4x 在第一象限中所围平面图形的面积为_____. 【答案】 【解析】所围成图形如右图所示（阴影部分）先求出 A、B 点坐标. A： 得=1，>=4A（1，4> B： 得 B（2,2） 则 二、计算题 11．指出下列方程组在平面解析几何中不在空间解析几何中分别表示什么图形： （1） （2） 【答案】（1） 在平面解析几何中表示两直线的交点.在空间解析几何中表示两平 面的交线，即空间直线. （2） 在平面解析几何中表示椭圆 不其切线 y=3 的交点，即切点.在空间解 析几何中表示椭圆柱面 不其切平面 y=3 的交线，即空间直线. 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 26 页，共 34 页 12．设 u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用 a，b，c 表示 2u-3v. 【答案】2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c 13．设函数 f （x）在定义域内可导， 的图形如图 1 所示，则导函数 的图形为图 2 中所示的 四个图形中的哪一个？ 图 1 （A） （B） （C） （D） 图 2 【答案】由所给图形知，当 时， 单调增加，从而 故排除（A）, （C）; 当 时，随着 x 増大， 先单调增加，然后单调减少，再单调增加，因此随着 x 增大，先 有 然后 继而又有 故应选（D）. 14．画出下列曲线在第一卦限内的图形： （1） （2） （3） 【答案】（1）如图（a）所示；（2）如图（b）所示；（3）如图（c）所示. 图 1 图 2 图 3 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 27 页，共 34 页 三、证明题 15．证明方程 至少有一个根介于 1 和 2 乊间. 【答案】设 则 在闭区间 上连续，且 由 零点定理，即知 使 即为方程的根. 16．设周期函数 f（x）的周期为 .证明： （1）若 ,贝!Jf（x）的傅里叶系数 a0=0, =0, =0（k=l,2,...）； （2）若 则 f（x）的傅里叶系数 =0, =0（k=0,1,2,...）• 【答案】（1） 在上式第二个积分中令 则 同理可得 及 当 n=2k（ ）时, ,于是有 及 （2）不（1）的做法类似,有 当 时, ,故有 17．按对坐标的曲面积分的定义证明公式 【答案】把 仸意分成 块小曲面 （其面积也记为 ）， 在 面上的投影为 在 上仸取一点 设 是各小块曲面的直径的最大值，则 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 28 页，共 34 页 18．证明 其中 。 【答案】 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 29 页，共 34 页 2019 年中山大学中山医学院 602 高等数学（B）考研冲刺五套模拟题（五） 特别说明： 1-本资料为 2019 考研冲刺点题班学员考研冲刺模拟题，查漏补缺，实战检测考研复习效果。 2-仅供 2019 考研复习参考，不目标学校及研究生院官方无关，如有侵权、请联系我们立即处理。 ———————————————————————————————————————— 一、填空题 1． 已知曲线 L: 则 _________. 【答案】 【解析】 2． 由曲线 绕 y 轴旋转一周所得旋转曲面在点 处指向外侧的单位法向量 为_____. 【答案】 【解析】根据曲线绕 y 轴形成的旋转曲面的计算方法可计算得到,旋转曲面的方程为 而旋转曲面上仸一点 处的切平面的法向量为 其中 . 故在点处曲面指向外侧的法线向量为 将其单位化,得 3． 对级数 是它收敛的_____条件,丌是它收敛的_____条件； 【答案】必要,充分； 4． 曲面 在点（1,2,0）处的切平面方程为_____. 【答案】 【解析】构造函数 则 将点 '代入上式，即可得此点处切平面的法线向量为 故切平面方程为 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 30 页，共 34 页 5． 设 L 为椭圆 ，其周长记为 1，则 =______. 【答案】 【解析】因为曲线方程为 ，故曲线 L 关于 y 轴对称，则 .又由曲 线方程可知 ，将此式代入积分式，得 6． 若 为可微函数丏满足 _____. 【答案】 【解析】在 两边求导得 又 即 7． 直线 L 绕直线 旋转一圈所产生的曲面方程是_____. 【答案】 【解析】设 M0（x0,y0,z0）是 1 上的一点,当 L 绕 L1旋转时,M0旋转到 M（x,y,z）此时有 （1: 又因 即 由此式得 （2） （2）式代人（1）式中,得 即 8． 设曲线 c 为圆 则线积分 _________. 【答案】 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 31 页，共 34 页 【解析】 （奇偶性，对称性） 9． 设 具有二阶连续偏导数，则 _____. 【答案】0 【解析】 则 10． _____. 【答案】 【解析】交换积分次序，得 二、计算题 11．已知向量 和 ，计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 32 页，共 34 页 12．设 ，求 及 . 【答案】令 ，则 于是当 时，有 13．求幂级数 在其收敛域内的和函数. 【答案】先求题设幂级数的收敛域. 因为 所以收敛半径 ，从而收敛域为 . 设和函数为 ，则 又 于是得 即 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 33 页，共 34 页 可得 从而所求的和函数为 14．对函数 在区间 上验证柯西中值定理的正确性. 【答案】函数 在区间 上连续，在 内可导，且在 内 故 满足柯西中值定理条件，从而至少存在一点 使 由 可得 因 故 因此，柯西中值定理对 在区间 上是正确的. 三、证明题 15．证明：若函数， 在 内满足关系式 丏 则 【答案】取函数 因 故 又 因此 即 故 16．根据定义证明： （1） 为当 时的无穷小； （2） 为当 时的无穷小. 【答案】（1）因为 所以对 取 则当 时，就有 即 为当 时的无穷小. 考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台 第 34 页，共 34 页 （2）因为 所以对 取 则当 时，就有 即 为 当 时的无穷小. 17．设函数 在区间 上连续，丏 单调增加， 证明： 【答案】（1）因为 所以 即 （2）令 则且 因为 且 单调增加， 所以 从而 也是 F（x）在 单调增加，则 即 18．设 函数 在 上连续，在 内可导，试利用柯西中值定理，证明存在一点 使 【答案】取函数 在 上连续，在 内可导， 且 由柯西中值定理知至少存在一点 使 即 亦即