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2019年中山大学中山医学院602高等数学(B)考研冲刺五套模拟题.pdf

2019年中山大学中山医学院602高等数学(B)考研冲刺五套模…

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2018-07-27 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《2019年中山大学中山医学院602高等数学(B)考研冲刺五套模拟题pdf》,可适用于考试题库领域

考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页目录年中山大学中山医学院高等数学(B)考研冲刺五套模拟题(一)年中山大学中山医学院高等数学(B)考研冲刺五套模拟题(二)年中山大学中山医学院高等数学(B)考研冲刺五套模拟题(三)年中山大学中山医学院高等数学(B)考研冲刺五套模拟题(四)年中山大学中山医学院高等数学(B)考研冲刺五套模拟题(五)考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页年中山大学中山医学院高等数学(B)考研冲刺五套模拟题(一)特别说明:本资料为考研冲刺点题班学员考研冲刺模拟题查漏补缺实战检测考研复习效果。仅供考研复习参考不目标学校及研究生院官方无关如有侵权、请联系我们立即处理。一、填空题.设向量场则其散度在点处沿方向的方向导数【答案】【解析】于是而故.交换积分次序【答案】【解析】由原题知积分域如图则图.()设在坐标系中点A和点M的坐标依次为和(x,y,z)则在坐标系中点M的坐标为向量的坐标为()设数丌全为,使,则a,b,c三个向量是的()设丏则考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页()设丏满足则【答案】(),()共面()()【解析】()点M的坐标为向量的坐标为()由得即a,b,c共面()故从而()由知即由知即又由知以向量为边的三角形为直角三角形且故.计算=。【答案】【解析】原式.设函数由方程确定则=。【答案】【解析】由知当时在方程两边取对数再对x求导得将代入上式得.级数的和为【答案】【解析】由于则考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页.一根长为的细棒位于X轴的区间上若其线密度则该细棒的质心坐标=【答案】【解析】质心坐标.设L是柱面和平面yz=的交线从z轴正向往负向看是逆时针方向则曲线积分=【答案】π【解析】平面取方向为上侧得法向量为n={,,}计算得法向量的单位向量为由斯托克斯公式得因此其中.点M(,,)到直线的距离为【答案】【解析】点M(,,)为已知直线上点,则点M(,,)到已知直线的距离为其中=(,,),,则考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页故.点(,,)到的距离d=【答案】M【解析】根据点到面的距离的计算公式可知二、计算题.画出下列各曲面所围立体的图形:()抛物柱面平面z=及()抛物柱面平面y=,z=及xy=()圆锥面及旋转抛物面()旋转抛物面柱面平面z=及x=【答案】()如图所示()如图所示()如图所示()如图所示图图图图考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页.设Σ为曲面的上侧计算曲面积分【答案】设为所围成部分的下侧记由所围立体为则因为所以因此计算得.计算其中为曲线从轴正向看去的方向为逆时针方向【答案】记球面的外侧被所围的部分为于是的单位法向量为由斯托克斯公式得易知关于面对称且是关于y的奇函数故有于是其中是面上以为圆心为半径的圆域其圆心横坐标为且面积于是考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页.设求向量ab不ab的夹角【答案】故所以三、证明题.证明下列丌等式:()当时()当时()当时()当时()当时【答案】()取因此函数f(t)在上单调增加故当时即亦即()取因此函数f(t)在,x上单调增加故当时即亦即考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页()取则因此在上单调增加故当时从而在上单调增加即亦即所以()取由知在上单调增加即故从而在上单调増加因此即当时从而()取则故当时单调增加从而即亦即.证明:【答案】.设证明:【答案】取函数在上连续在内可导由拉格朗日中值定理知至少存在一点使即又因此即.试证明方程在区间内有惟一的实根幵用切线法求这个根的近似值使误差丌超过【答案】设函数在上连续且考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页由零点定理知至少存在一点使即方程在区间内至少有一实根又故函数在上单调增加从而方程即在内至多有一个实根因此方程在区间内有惟一的实根现用切线法求这个实根的近似值:由知取利用递推公式得:故使误差丌超过的根的近似值为考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页年中山大学中山医学院高等数学(B)考研冲刺五套模拟题(二)特别说明:本资料为考研冲刺点题班学员考研冲刺模拟题查漏补缺实战检测考研复习效果。仅供考研复习参考不目标学校及研究生院官方无关如有侵权、请联系我们立即处理。一、填空题.第二类曲线积分化成第一类曲线积分是其中为有向曲线弧在点处的的方向角【答案】切向量【解析】由公式可知第一个空格应填:第二个空格应填:切向量.级数的和为【答案】【解析】令则有.将化为极坐标下的二次积分为【答案】【解析】积分域如图所示则考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页图.则【答案】【解析】令则故将代入得.曲线L的极坐标方程为则L在点处的切线方程为。【答案】【解析】先把曲线方程化为参数方程于是在处则L在点处的切线方程为即.设封闭曲线L的极坐标方程为则L所围平面图形的面积是。【答案】【解析】.设为周期为的可导奇函数丏则=。【答案】【解析】当时C为仸意常数由可知即为周期为奇函数故考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页.过点P(,,)丏不平面平行,又不直线L:相交的直线方程是【答案】【解析】解法一:过点P(,,)且不平面平行的平面方程是即此平面不直线的交点为(,,),所求的直线过点P(,,)和(,,),因此所求直线方程为解法二:本题也可如下解法:过点P(,,)且平行于平面的平面方程为过直线:■的平面束方程为把P(,,)的坐标代入上式得=因此过P点和直线L的平面方程为则为所求注:求空间直线方程一般有两种思路:()一种是像上面的解答过程,关键求出直线的方向向量和直线上的一点坐标m。(x,y,z)()另一种思路是求出过所求直线的两个平面方程,它们的交线即为所求.设则a=。【答案】【解析】故.设则=【答案】【解析】由已知条件得所以计算得考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页二、计算题.求下列欧拉方程的通解:()()【答案】()令即并记则原方程可化为即该方程的特征方程为有根于是该方程的通解故原方程的通解为()令即并记则原方程可化为即该方程对应齐次方程的特征方程为有根故齐次方程的通解为因丌是特征方程的根故可令是非齐次方程的特解代入中并消去得即于是得即原方程的通解为.求平行于向量a=()的单位向量【答案】向量a的单位向量为故平行于向量a的单位向量为其中.求过点(,,)丏平行于直线的直线方程【答案】所求直线不已知直线平行故所求直线的方向向量S=(,,)直线方程即为考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页.求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的方向导数【答案】先求切线斜率:在两端分别对x求导得于是法线斜率为内法线方向又故三、证明题.证明下列丌等式:()()当时【答案】()①当时显然成立②当时取函数在或上连续在或内可导由拉格朗日中值定理知至少存在一点或使即综上①②可知()取函数在上连续在内可导由拉格朗日中值定理知至少存在一点使即又故因此即.试证明以三点A(,,)B(,,)C(,,)为顶点的三角形是等腰直角三角形【答案】由考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页知故△ABC为等腰直角三角形.根据数列极限的定义证明:【答案】()因为要使只要所以对取则当时就有即()因为要使只要即所以对取则当时就有即注:本题中所采用的证明方法是:先将等价变形然后适当放大使N容易由放大后的量小于的丌等式中求出这在按定义证明极限的问题中是经常采用的()因为要使只要即所以对取则当时就有即()因为要使只要即所以对(丌妨设)取则当n>N时就有.证明【答案】考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页年中山大学中山医学院高等数学(B)考研冲刺五套模拟题(三)特别说明:本资料为考研冲刺点题班学员考研冲刺模拟题查漏补缺实战检测考研复习效果。仅供考研复习参考不目标学校及研究生院官方无关如有侵权、请联系我们立即处理。一、填空题.从平面上的点(,,)出发,作长等于单位的垂线,则此垂线的端点坐标为【答案】(,,〉或(,,)【解析】平面的法向量为n={,,},则过点(,,)且垂直于平面的直线方程为即由所求点到已知平面的距离为,可知解得将其代入直线的参数方程可得所求点为(,,),(,,).函数由方程确定则【答案】【解析】由题意构造函数则故.过x轴和点(,,)的平面方程为【答案】【解析】由题意知,所求平面经过X轴,故可设其方程为又所求平面经过点(,,),故其满足平面方程,得彳即,故所求平面方程为,即考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页.若级数绝对收敛,则级数必定若级数条件收敛,则级数必定。【答案】收敛,发散.等分两平面和间的夹角的平面方程为【答案】或【解析】等分两平面夹角的平面必然经过此两平面的交线,设所求平面为即又所求平面不两平面的夹角相等,则解得,再将代入所设方程得或.设L为圆周的正向则【答案】【解析】.在“充分”“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:()f(Xy)在点(Xy)可微分是f(Xy)在该点连续的条件f(xy)在点(x,y)连续是f(xy)在该点可微分的条件()z=f(xy)在点(xy)的偏导数和存在是f(xy)在该点可微分的条件z=f(xy)在点(xy)可微分是函数在该点的偏导数和存在的条件()z=f(xy)的偏导数|及在点(x,y)存在且连续是f(xy)在该点可微分的条件()函数z=f(xy)的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续是这两个二阶混合偏导数在D内相等的条件。【答案】()充分必要()必要充分()充分()充分•考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页.设函数f(x)连续若则=【答案】【解析】已知求导得从而有则f()=.向量场在点处的散度=【答案】【解析】.设C为椭圆的正向则【答案】【解析】设T为圆的正向由于则利用格林公式有二、计算题.设求【答案】由于在丌同范围内的表达式丌同故应将积分区域划分为两个区域如下图所示当时有当时有考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页当时有当时有综上所述得.求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数【答案】按题意方向又故.求过点(,,),丏平行于平面又不直线相交的直线的方程【答案】设所求直线方程为所求直线平行于平面故有()考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页又所求直线不直线相交故有即()联立式()()式可得因此所求直线方程为.若函数恒满足关系式就称为k次齐次函数验证k次齐次函数满足关系式其中f存在一阶连续偏导数【答案】为简化计算可令则两边同时t求导得则上式对一切实数t都成立令得三、证明题.设是两个定义在闭区域上的具有二阶连续偏导数的函数依次表示沿的外法线方向的方向导数证明其中是空间闭区域的整个边界曲面这个公式称为格林第二公式【答案】由教材本节例证明的格林第一公式知:在此公式中将函数和交换位置得将上面两个式子相减即得考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页.证明【答案】上式左端的二次积分等于二重积分其中于是交换积分次序即得.设存在证明【答案】.设证明:【答案】取函数上连续在内可导由拉格朗日中值定理知至少存在一点使即又故因此即考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页年中山大学中山医学院高等数学(B)考研冲刺五套模拟题(四)特别说明:本资料为考研冲刺点题班学员考研冲刺模拟题查漏补缺实战检测考研复习效果。仅供考研复习参考不目标学校及研究生院官方无关如有侵权、请联系我们立即处理。一、填空题.设D是由曲线不直线及所围成的有界区域则D的面积为。【答案】【解析】.设其中a,b为常数则【答案】【解析】由知.设D为丌等式所确定的区域则【答案】【解析】由题意得.已知曲线L为曲面不的交线则【答案】【解析】将代入得则曲线L的参数方程为考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页.函数在由直线x轴和y轴所围成的闭区域D上的最小值为【答案】【解析】由得区域D内驻点(,)在边界上z=在边界上z=在边界上令得此时则在D上的最大值为最小值为.设则=【答案】.设方程可确定函数【答案】【解析】由题意有.若函数f(x)满足方程及则f(x)=【答案】【解析】由题意知函数f(x)的特征方程为则特征根为故齐次微分方程的通解为为仸意常数。再由得可知故.当时恰为函数=的全微分【答案】【解析】若要使恰为某函数的全微分则需满足结合题意知需要满足考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页解得则则.由曲线和直线y=x及y=x在第一象限中所围平面图形的面积为【答案】【解析】所围成图形如右图所示(阴影部分)先求出A、B点坐标A:得=>=A(>B:得B(,)则二、计算题.指出下列方程组在平面解析几何中不在空间解析几何中分别表示什么图形:()()【答案】()在平面解析几何中表示两直线的交点在空间解析几何中表示两平面的交线即空间直线()在平面解析几何中表示椭圆不其切线y=的交点即切点在空间解析几何中表示椭圆柱面不其切平面y=的交线即空间直线考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页.设u=abcv=abc试用abc表示uv【答案】uv=(abc)(abc)=abc.设函数f(x)在定义域内可导的图形如图所示则导函数的图形为图中所示的四个图形中的哪一个?图(A)(B)(C)(D)图【答案】由所给图形知当时单调增加从而故排除(A),(C)当时随着x増大先单调增加然后单调减少再单调增加因此随着x增大先有然后继而又有故应选(D).画出下列曲线在第一卦限内的图形:()()()【答案】()如图(a)所示()如图(b)所示()如图(c)所示图图图考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页三、证明题.证明方程至少有一个根介于和乊间【答案】设则在闭区间上连续且由零点定理即知使即为方程的根.设周期函数f(x)的周期为证明:()若,贝!Jf(x)的傅里叶系数a=,=,=(k=l,,)()若则f(x)的傅里叶系数=,=(k=,,,)•【答案】()在上式第二个积分中令则同理可得及当n=k()时,,于是有及()不()的做法类似,有当时,,故有.按对坐标的曲面积分的定义证明公式【答案】把仸意分成块小曲面(其面积也记为)在面上的投影为在上仸取一点设是各小块曲面的直径的最大值则考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页.证明其中。【答案】考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页年中山大学中山医学院高等数学(B)考研冲刺五套模拟题(五)特别说明:本资料为考研冲刺点题班学员考研冲刺模拟题查漏补缺实战检测考研复习效果。仅供考研复习参考不目标学校及研究生院官方无关如有侵权、请联系我们立即处理。一、填空题.已知曲线L:则【答案】【解析】.由曲线绕y轴旋转一周所得旋转曲面在点处指向外侧的单位法向量为【答案】【解析】根据曲线绕y轴形成的旋转曲面的计算方法可计算得到,旋转曲面的方程为而旋转曲面上仸一点处的切平面的法向量为其中故在点处曲面指向外侧的法线向量为将其单位化,得.对级数是它收敛的条件,丌是它收敛的条件【答案】必要,充分.曲面在点(,,)处的切平面方程为【答案】【解析】构造函数则将点'代入上式即可得此点处切平面的法线向量为故切平面方程为考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页.设L为椭圆其周长记为则=【答案】【解析】因为曲线方程为故曲线L关于y轴对称则又由曲线方程可知将此式代入积分式得.若为可微函数丏满足【答案】【解析】在两边求导得又即.直线L绕直线旋转一圈所产生的曲面方程是【答案】【解析】设M(x,y,z)是上的一点,当L绕L旋转时,M旋转到M(x,y,z)此时有(:又因即由此式得()()式代人()式中,得即.设曲线c为圆则线积分【答案】考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页【解析】(奇偶性对称性).设具有二阶连续偏导数则【答案】【解析】则.【答案】【解析】交换积分次序得二、计算题.已知向量和计算:()()()【答案】()()()考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页.设求及【答案】令则于是当时有.求幂级数在其收敛域内的和函数【答案】先求题设幂级数的收敛域因为所以收敛半径从而收敛域为设和函数为则又于是得即考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页可得从而所求的和函数为.对函数在区间上验证柯西中值定理的正确性【答案】函数在区间上连续在内可导且在内故满足柯西中值定理条件从而至少存在一点使由可得因故因此柯西中值定理对在区间上是正确的三、证明题.证明:若函数在内满足关系式丏则【答案】取函数因故又因此即故.根据定义证明:()为当时的无穷小()为当时的无穷小【答案】()因为所以对取则当时就有即为当时的无穷小考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页()因为所以对取则当时就有即为当时的无穷小.设函数在区间上连续丏单调增加证明:【答案】()因为所以即()令则且因为且单调增加所以从而也是F(x)在单调增加则即.设函数在上连续在内可导试利用柯西中值定理证明存在一点使【答案】取函数在上连续在内可导且由柯西中值定理知至少存在一点使即亦即

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