考研数学历年真题赛尔水木9797数2

1997年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学二试题详解及评析 一、填空题 （1）已知 在 处连续，则 . 【答】 . 【详解】 由题设 即 （2）设 则 . 【答】 . 【详解】 由题意得 于是 EMBED Equation.DSMT4 （3） . 【答】 或 【详解】 方法一： 方法二： （5）已知向量组 得秩为2，则 . 【答】 3. 【详解】 方法一： 由于秩 则矩阵 的任一个三阶子阵的行列式的值为零，即 解得 3. 方法二： 秩 即 3. 二、选择题 （1）设 时， 与 是同阶无穷小，则 为 （A）1. （B）2. （C）3. （D）4 【 】 【答】 应选（C）. 【详解】 方法一： 由于 时， ， 则 又 所以 ＝ 从而 与 为同阶非等价无穷小. 应取 故选（C）. 方法二： (2)设在区间 上 ，令 ，则 （A） (B) (C) (D) 【 】 【答】 应选（B）. 【详解】 由 知，曲线 在 上单调减少且是凹曲线弧，于是有 从而 即 ,故应选（B）. （3）已知函数 对一切 满足 若 ，则 （A） 是 的极大值； （B） 是 的极小值； （C） 是曲线 的拐点； （D） 不是 的极值， 也不是曲线 的拐点. 【 】 【答】 应选（B） 【详解】 由 知， 是 的驻点，将 代入微分方程 得 可见无论 为何值，都有 所以 是 的极小值点. (3)设 则 （A） 为正常数. （B）为负常数. （C）恒为零. （D）不为常数. 【 】 【答】 应选（A）. 【详解】 由于 是以 为周期的，因此 故应选（A）. （5）设 则 为 （A） （B） （C） （D） 【 】 【答】 应选（D）. 【详解】 根据 得定义知，复合函数 而 时， 时， 故 三、求极限 . 【详解】 方法一： 原式＝ ＝ 方法二： 先进行有理化，再计算. 原式＝ ＝ (2)设 由 所确定，求 【详解】 方法一： ， 由 得 因而 方法二： 由 ，得 ，将其代入题目中第二式有 两边对 求导得 解得 （3）计算 【详解】 方法一： 原式 方法二： 由于 而 从而 原式 （4）求微分方程 的通解. 【详解】 易知此方程为齐次方程，令 则 代入原方程有 此为可分离变量方程，解得 即 （5）已知 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程. 【详解】 由题设，并根据二阶线性非齐次微分方程解的结构知， 是齐次方程的解； 而 仍为非齐次方程的特解， 进而得 为齐次方程得解 即有 与 是相应齐次方程的两个线性无关的解，且 是非齐次方程的一个特解. 故 是所求方程的通解. 由 消去 所得的方程为 （6）已知 且 ,其中 是三阶单位矩阵，求矩阵 【详解】 因 ，在 两边左乘 ，得 , 即 又由 得 从而 四、 取何值时，方程组 无解，有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组得通解. 【详解】 方法一： 原方程组的系数行列式 故当 且 时，方程组有唯一解. 当 时，原方程组为 对其增广矩阵施行初等行变换： 因此，当 时，原方程组有无穷多解，其通解为 [或 （ 为任意实数）] 当 时，原方程组的同解方程组为 对其增广矩阵施行初等行变换： 可见当 时，原方程组无解. 方法二： 对原方程组的增广矩阵施行初等行变换： 于是，当 时，原方程组无解. 当 且 时，方程组有唯一解. 当 时，原方程组有无穷多解，其通解为 [或 （ 为任意实数）] 五、设曲线 的极坐标方程为 ， 为 上任一点， 为 上一定点，若极径 与曲线 所围成的曲边扇形面积值等于 上 两点间弧长值的一半，求曲线 的方程. 【详解】 由题设，有 两边对 求导，得 ，即 从而 因为 所以 由条件 ，知 故所求曲线 的方程为 即 即直线方程为 六、设函数 在闭区间 上连续，在开区间 内大于零，并满足 （ 为常数），又曲线 与 所围的图形 的面积值围2，求函数 ，并问 为何值时，图形 绕 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小. 【详解】 由题设值，当 时， 即 根据此并由 在点 处的连续性，得 又由已知条件得 即 因此 . 旋转体得体积为 由 得 . 又因 故 时，旋转体体积最小. 七、已知函数 连续，且 设 求 的连续性. 【详解】 由题设，知 令 得 即 从而 由导数定义有 由于 从而知 在 处连续. 八、就 的不同取值情况，确定方程 在开区间 内根的个数，并证明你的结论. 【详解】 设 则 在 上连续. 由 得 在 内的唯一的驻点 由于当 时， ， 当 时， . 所以 在 上单调减少，在 上单调增加. 因此 是 在 内的唯一的最小值点， 最小值为 . 又因 ， 故在 内 的取值范围为 . 故当 ，即 或 时，原方程在 内没有根； 当 时，原方程在 内有唯一根 当 时，原方程在 和 内各恰有一根， 即原方程在 内恰有两个不同的根. _1192963529.unknown _1192969338.unknown _1192970225.unknown _1192978182.unknown _1192979364.unknown _1192979921.unknown _1192980785.unknown _1192992622.unknown _1192992690.unknown _1192992863.unknown _1192992889.unknown _1192992969.unknown _1192993008.unknown _1192993093.unknown _1192992985.unknown _1192992940.unknown _1192992878.unknown _1192992787.unknown _1192992837.unknown _1192992740.unknown _1192992651.unknown _1192992662.unknown _1192992634.unknown _1192992388.unknown _1192992508.unknown _1192992557.unknown _1192992598.unknown _1192992468.unknown _1192992476.unknown _1192992434.unknown _1192980837.unknown _1192992387.unknown _1192980786.unknown _1192980305.unknown _1192980542.unknown _1192980648.unknown _1192980685.unknown _1192980639.unknown _1192980418.unknown _1192980493.unknown _1192980364.unknown _1192980077.unknown _1192980259.unknown _1192980293.unknown _1192980078.unknown _1192980045.unknown _1192980076.unknown _1192979951.unknown _1192979581.unknown _1192979739.unknown _1192979867.unknown _1192979908.unknown _1192979772.unknown _1192979650.unknown _1192979716.unknown _1192979601.unknown _1192979488.unknown _1192979504.unknown _1192979538.unknown _1192979489.unknown _1192979430.unknown _1192979487.unknown _1192979402.unknown _1192978957.unknown _1192979206.unknown _1192979289.unknown _1192979353.unknown _1192979306.unknown _1192979340.unknown _1192979273.unknown _1192979234.unknown _1192979263.unknown _1192979092.unknown _1192979117.unknown _1192979151.unknown _1192979105.unknown _1192979010.unknown _1192979072.unknown _1192978972.unknown _1192978719.unknown _1192978868.unknown _1192978876.unknown _1192978939.unknown _1192978869.unknown _1192978773.unknown _1192978807.unknown _1192978747.unknown _1192978648.unknown _1192978660.unknown _1192978693.unknown _1192978378.unknown _1192978424.unknown _1192978634.unknown _1192978220.unknown _1192970426.unknown _1192977838.unknown _1192978079.unknown _1192978122.unknown _1192978167.unknown _1192977920.unknown _1192970435.unknown _1192977772.unknown _1192977781.unknown _1192977817.unknown _1192977711.unknown _1192970427.unknown _1192970270.unknown _1192970425.unknown _1192970243.unknown _1192969874.unknown _1192970137.unknown _1192970173.unknown _1192970188.unknown _1192970154.unknown _1192970138.unknown _1192970046.unknown _1192970022.unknown _1192969648.unknown _1192969715.unknown _1192969873.unknown _1192969661.unknown _1192969598.unknown _1192969642.unknown _1192969499.unknown _1192968435.unknown _1192969046.unknown _1192969134.unknown _1192969329.unknown _1192969330.unknown _1192969248.unknown _1192969062.unknown _1192969124.unknown _1192969047.unknown _1192968590.unknown _1192968933.unknown _1192968934.unknown _1192968831.unknown _1192968497.unknown _1192968544.unknown _1192968440.unknown _1192968117.unknown _1192968275.unknown _1192968338.unknown _1192968434.unknown _1192968332.unknown _1192968172.unknown _1192968255.unknown _1192968150.unknown _1192963831.unknown _1192968058.unknown _1192968078.unknown _1192964004.unknown _1192963686.unknown _1192963743.unknown _1192963644.unknown _1192962318.unknown _1192962838.unknown _1192963345.unknown _1192963441.unknown _1192963470.unknown _1192963499.unknown _1192963455.unknown _1192963377.unknown _1192963397.unknown _1192963346.unknown _1192963040.unknown _1192963240.unknown _1192963344.unknown _1192963343.unknown _1192963239.unknown _1192963011.unknown _1192963030.unknown _1192962889.unknown _1192962906.unknown _1192962697.unknown _1192962733.unknown _1192962768.unknown _1192962785.unknown _1192962748.unknown _1192962767.unknown _1192962644.unknown _1192962650.unknown _1192962326.unknown _1192962632.unknown _1192961662.unknown _1192962175.unknown _1192962235.unknown _1192962317.unknown _1192962218.unknown _1192962013.unknown _1192962063.unknown _1192961941.unknown _1192961851.unknown _1192961939.unknown _1192961940.unknown _1192961938.unknown _1192961850.unknown _1192961229.unknown _1192961372.unknown _1192961570.unknown _1192961593.unknown _1192961468.unknown _1192961532.unknown _1192961281.unknown _1192961361.unknown _1192961256.unknown _1192204427.unknown _1192206880.unknown _1192960849.unknown _1192960931.unknown _1192961122.unknown _1192961079.unknown _1192961104.unknown _1192961033.unknown _1192960897.unknown _1192960823.unknown _1192960834.unknown _1192690414.unknown _1192960789.unknown _1192206900.unknown _1192204722.unknown _1192206749.unknown _1192206788.unknown _1192206703.unknown _1192204544.unknown _1192204554.unknown _1192204441.unknown _1192204231.unknown _1192204324.unknown _1192204348.unknown _1192204292.unknown _1192204205.unknown _1192204167.unknown _1192204158.unknown