理论力学理力静力学第四章习题答案

4-1 解： 1.选定由杆OA，O1C，DE组成的系统为研究对象，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为 。 2.该系统的位置可通过杆OA与水平方向的夹角θ完全确定，有一个自由度。选参数θ为广义坐标。 3.在图示位置，不破坏约束的前提下，假定杆OA有一个微小的转角δθ，相应的各点的虚位移如下： ， ， ， ， 代入可得： 4.由虚位移原理 有： 对任意 有： ，物体所受的挤压力的方向竖直向下。 4-4 解：4a 1.选杆AB为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。 2.该系统的位置可通过杆AB与z轴的夹角θ完全确定，有一个自由度。选参数θ为广义坐标。由几何关系可知： 杆的质心坐标可表示为： 3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB逆时针旋转一个微小的角度 δθ，则质心C的虚位移： 4.由虚位移原理 有： 对任意 有： 即杆AB平衡时： 。 解：4b 1.选杆AB为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。 2.该系统的位置可通过杆AB与z轴的夹角θ完全确定，有一个自由度。选参数θ为广义坐标。由几何关系可知： 杆的质心坐标可表示为： 3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB顺时针旋转一个微小的角度 δθ，则质心C的虚位移： 4.由虚位移原理 有： 对任意 有： 即平衡时 角满足： 。 4-5 解： 1.选整个系统为研究对象，此系统包含弹簧。设弹簧力 ，且 ，将弹簧力视为主动力。此时作用在系统上的主动力有 ，以及重力 。 2. 该系统只有一个自由度，选定 为广义坐标。由几何关系可知： 3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定有一个微小的虚位移δθ，则质心的虚位移为： 弹簧的长度 ，在微小虚位移δθ下： 4.由虚位移原理 有： 其中 ，代入上式整理可得： 由于 ，对任意 可得平衡时弹簧刚度系数为： 4-6 解：解除A端的约束，代之以 ，并将其视为主动力，此外系统还受到主动力 的作用。系统有三个自由度，选定A点的位移 和梁AC的转角 为广义坐标。 1．在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 ，如图所示。由虚位移原理 有： 对任意 可得： 2．在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 ，如下图所示。由虚位移原理 有： (1) 由几何关系可得各点的虚位移如下： 代入(1)式： 对任意 可得： ，方向如图所示。 3．在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 ，如上图所示。由虚位移原理 有： (2) 有几何关系可得各点的虚位移如下： 代入(2)式： 对任意 可得： ，逆时针方向。 4-7 解：将均布载荷简化为作用在CD中点的集中载荷 ，大小为 。 1.求支座B处的约束力 解除B点处的约束，代之以力 ，并将其视为主动力，系统还受到主动力 的作用，如图所示。在不破坏约束的前提下，杆AC不动，梁CDB只能绕C点转动。系统有一个自由度，选转角 为广义坐标。给定虚位移 ，由虚位移原理 有： (1) 各点的虚位移如下： 代入(1)式整理可得： 对任意 可得： ，方向如图所示。 2.求固定端A处的约束力 解除A端的约束，代之以 ，并将其视为主动力，系统还受到主动力 的作用。系统有三个自由度，选定A点的位移 和梁AC的转角 为广义坐标。 2a.求 在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 ，此时整个结构平移，如上图所示。由虚位移原理 有： (2) 各点的虚位移如下： 代入(2)式整理可得： 对任意 可得： ，方向如图所示。 2b.求 在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 ，此时梁AC向上平移，梁CDB绕D点转动，如上图所示。由虚位移原理 有： (3) 各点的虚位移如下： 代入(3)式整理可得： 对任意 可得： ，方向如图所示。 2c.求 在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 ，此时梁AC绕A点转动，梁CDB平移，如上图所示。由虚位移原理 有： (4) 各点的虚位移如下： 代入(4)式整理可得： 对任意 可得： ，顺时针方向。 4-8 解：假设各杆受拉，杆长均为a。 1．求杆1受力 去掉杆1，代之以力 ，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角 为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，此时三角形ADK形状不变，绕A点转动，因此有 ，且： 滑动支座B处只允许水平方向的位移，而杆BK上K点虚位移沿铅垂方向，故B点不动。三角形BEK绕B点旋转 ，且： 对刚性杆CD和杆CE，由于 ，因此 。由虚位移原理 有： 代入各点的虚位移整理可得： 对任意 可得： （受压）。 2．求杆2受力 去掉杆2，代之以力 ，系统有一个自由度，选BK与水平方向的夹角 为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，杆AK绕A点转动，因此有 ，且： 同理可知B点不动，三角形BEK绕B点旋转 ，且： EMBED Equation.3 杆AD绕A点转动 ，由刚性杆DE上点E的虚位移可确定D点位移方向如图所示，且： 同理可知 。由虚位移原理 有： 代入各点的虚位移整理可得： 对任意 可得： （受压）。 3．求杆3受力 去掉杆3，代之以力 ，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角 为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，三角形ADK绕A点转动， ，且： 同理可知B点不动， ，且： 由虚位移原理 有： 代入各点的虚位移整理可得： 对任意 可得： （受拉）。 4-12铅垂力F为常力 解：F大小和方向不变，常力也是有势力。取 杆和弹簧构成的系统为研究对象。该系统为保 守系统，有一个自由度，选 为广义坐标，如 图所示。取 为零势能位置，则系统在 任意位置的势能为： 由平衡条件 可得： 有： 和 即： 和 也就是： 和 两个平衡位置。 为判断平衡的稳定性，取势能V的二阶导数： 当 时， ，即 时是不稳定平衡。 当 时， 由上式可知： 1． 当 且 时， 即 是稳定平衡位置； 2． 当 且 时， 即 是不稳定平衡位置。 4-15 解：取半径为r的半圆柱为研究对象，圆心为C。半圆柱作纯滚动，有一个自由度，取两个半圆心连线与y轴夹角 为广义坐标。作用在半圆柱上的主动力为重力，系统为保守系统，如图所示，其中 。由于半圆柱作纯滚动，有： （1） 取坐标原点为零势能位置，则半圆柱在任意位置的势能为： 代入（1）式有： 由平衡条件 可得 为平衡位置。势能V的二阶导数： 由上式可得当 ， 是稳定的。 β θ θ C h y x O θ _1082285650.unknown _1082298418.unknown _1082458503.unknown _1082461261.unknown _1082461838.unknown _1082462445.unknown _1082462907.unknown _1082463459.unknown _1082463458.unknown _1082462712.unknown _1082462410.unknown _1082461671.unknown _1082461800.unknown _1082461450.unknown _1082460273.unknown _1082461003.unknown _1082461245.unknown _1082460347.unknown _1082460069.unknown _1082460144.unknown _1082458921.unknown _1082459467.unknown _1082459831.unknown _1082459906.unknown _1082459325.unknown _1082458751.unknown _1082314679.unknown _1082315407.unknown _1082397647.unknown _1082398388.unknown _1082398606.unknown _1082400594.unknown _1082400817.unknown _1082399052.unknown _1082398516.unknown _1082398354.unknown _1082315905.unknown _1082315906.unknown _1082315728.unknown _1082315174.unknown _1082315221.unknown _1082315321.unknown _1082315153.unknown _1082314911.unknown _1082315035.unknown _1082314751.unknown _1082314783.unknown _1082314707.unknown _1082299168.unknown _1082314154.unknown _1082314520.unknown _1082314595.unknown _1082314356.unknown _1082313979.unknown _1082299256.unknown _1082313912.unknown _1082299102.unknown _1082299150.unknown _1082298726.unknown _1082298830.unknown _1082298566.unknown _1082295447.unknown _1082296870.unknown _1082297784.unknown _1082298169.unknown _1082298266.unknown _1082298403.unknown _1082298100.unknown _1082296966.unknown _1082297063.unknown _1082296954.unknown _1082296266.unknown _1082296767.unknown _1082296854.unknown _1082296525.unknown _1082295998.unknown _1082296235.unknown _1082295461.unknown _1082294156.unknown _1082295050.unknown _1082295174.unknown _1082295437.unknown _1082295134.unknown _1082294474.unknown _1082294914.unknown _1082294356.unknown _1082286049.unknown _1082293914.unknown _1082293952.unknown _1082286060.unknown _1082285821.unknown _1082286003.unknown _1082285763.unknown _1082271548.unknown _1082283918.unknown _1082284534.unknown _1082285360.unknown _1082285475.unknown _1082285636.unknown _1082285452.unknown _1082284758.unknown _1082285262.unknown _1082284584.unknown _1082284145.unknown _1082284268.unknown _1082284446.unknown _1082284028.unknown _1082284100.unknown _1082274482.unknown _1082275509.unknown _1082276082.unknown _1082283406.unknown _1082283755.unknown _1082283889.unknown _1082283166.unknown _1082275716.unknown _1082275075.unknown _1082275371.unknown _1082274610.unknown _1082273427.unknown _1082273772.unknown _1082274255.unknown _1082273627.unknown _1082271721.unknown _1082273386.unknown _1082227552.unknown _1082270245.unknown _1082271208.unknown _1082271519.unknown _1082271381.unknown _1082271081.unknown _1082271127.unknown _1082270423.unknown _1082270153.unknown _1082270208.unknown _1082269839.unknown _1082269931.unknown _1082227698.unknown _1082269702.unknown _1082225873.unknown _1082226604.unknown _1082226738.unknown _1082225944.unknown _1082226401.unknown _1082226443.unknown _1082225911.unknown _1082225435.unknown _1082225825.unknown _1082225188.unknown