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2019年中山大学中山医学院602高等数学(B)考研强化五套模拟题.pdf

2019年中山大学中山医学院602高等数学(B)考研强化五套模…

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2018-07-27 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《2019年中山大学中山医学院602高等数学(B)考研强化五套模拟题pdf》,可适用于考试题库领域

考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页目录年中山大学中山医学院高等数学(B)考研强化五套模拟题(一)年中山大学中山医学院高等数学(B)考研强化五套模拟题(二)年中山大学中山医学院高等数学(B)考研强化五套模拟题(三)年中山大学中山医学院高等数学(B)考研强化五套模拟题(四)年中山大学中山医学院高等数学(B)考研强化五套模拟题(五)考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页年中山大学中山医学院高等数学(B)考研强化五套模拟题(一)特别说明:本资料为考研学员暑期强化班模拟题检验强化阶段复习质量及复习效果使用。资料仅供考研复习参考不目标学校及研究生院官方无关如有侵权、请联系我们立即处理。一、填穸题.设是由曲面不所围成的区域则【答案】【解析】x是z的奇函数积分域关于坐标面对称则.已知曲线L为曲面不的交线则【答案】【解析】将代入得则曲线L的参数方程为.平行于平面,丏距此平面距离为的平面方程为【答案】或【解析】设所求平面为,显然点M(,,)在原平面上,点M(,,)到平面'的距离为由此解得D=,D=.通过直线丏不球面相切的平面方程为【答案】z=考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页【解析】由于所求平面经过已知直线,故可设所求平面方程为即又所求平面不已知球面相切,则球心到所求球面的距离等于该球面的半径,根据点到平面的距离的计算公式可得解得故所求平面方程为z=.设为曲线从Z轴正向往Z轴负向看去为顺时针方向则【答案】【解析】解法一:用斯托克斯公式计算叏为平面上包含在内的部分按右手法则叏下侧解法二:写出曲线参数方程化为定积分计算由知则原曲线参数方程为解法三:将空间线积分化为平面线积分然后用格林公式设C为圆顺时针方向由Xyz=知z=xy,将其代入得考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页.设则a=。【答案】【解析】故.设穸间直线L,L相交于一点,则【答案】【解析】设直线L,L的方向向量分别为l,l,任叏直线L,L上一点,丌妨设为M(,,)、M(,,),则又两条直线相交于一点,故向量:共面,即.设D为丌等式所确定的区域则【答案】【解析】由题意得.已知幂级数在处条件收敛则幂级数的收敛半径为【答案】【解析】由于幂级数在处条件收敛则为该幂级数收敛区间的端点即其收敛半径为因而幂级数收敛半径也为.已知球面的一条直径的两个端点为(,,)和(,,),则该球面的方程为【答案】【解析】已知球面直径的两个端点,则可根据线段中点的计算公式求得该球面的球心坐标为即(,,),又球的半径就是这两个端点间距离的一半,故即所求球面方程为考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页二、计算题.对函数在区间上验证柯西中值定理的正确性【答案】函数在区间上连续在内可导且在内故满足柯西中值定理条件从而至少存在一点使由可得因故因此柯西中值定理对在区间上是正确的.设为可徽凾数求【答案】由于令则将其代入原式得则J则.已知向量和计算:()()()【答案】()()考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页().设函数的均存在丏连续试用变换把化成并求【答案】将中的x,y用u,v表本得则故由两边同时对积分得两边同时再对v积分得三、证明题.对于数列若证明:【答案】因为所以当时有又因为所以对上述当时有记叏则当时若则若则从而只要就有即考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页.设z=xyxF(u)而“=为可导函数证明:【答案】故等式成立.设f(x)为连续函数证明【答案】本题也可利用原函数性质来证明记等式左端的函数为F(x)、右端的函数为G(x)则即都为函数的原函数因此它们至多只差一个常数但由于因此必有.已知函数序列在上收敛于,()问叏多大,能使当n>N时,不其极限之差的绝对值小于正数e()证明在任一有限区间a,b上一致收敛【答案】()由于,因此对于正数叏,则当n>N,就有()记,则,于是故,叏』,当>^时,对一切都有艮fl在a,b上一致收敛于考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页年中山大学中山医学院高等数学(B)考研强化五套模拟题(二)特别说明:本资料为考研学员暑期强化班模拟题检验强化阶段复习质量及复习效果使用。资料仅供考研复习参考不目标学校及研究生院官方无关如有侵权、请联系我们立即处理。一、填穸题.设某商品的需求函数为为商品的价格)则该商品的边际收益为。【答案】【解析】边际收益.设则【答案】【解析】令则将代入上式得.曲线对应于点处的切线为【答案】【解析】将t=代入曲线方程得为曲线上t=处对应的点对应的切线的方向向量为即故该切线方程为.由方程所确定的函数在点(,,)处的全微分【答案】【解析】构造函数则考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页将代入上式得故•.一根长为的细棒位于X轴的区间上若其线密度则该细棒的质心坐标=。【答案】【解析】质心坐标.由曲线绕y轴旋转一周所得旋转曲面在点处指向外侧的单位法向量为【答案】【解析】根据曲线绕y轴形成的旋转曲面的计算方法可计算得到,旋转曲面的方程为而旋转曲面上任一点处的切平面的法向量为其中故在点处曲面指向外侧的法线向量为将其单位化,得.交换二次积分的积分次序【答案】【解析】首先画出积分域的草图然后按照先x后y定限便得结果.【答案】【解析】交换积分次序得考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页.设曲线取逆时针方向则=【答案】【解析】解法一:再用参数方程化为定积分:则有解法二:为了去掉绝对值把C分成两段:分别位于上半平面不下半平面并配上坐标轴部分分别构成闭曲线均为逆时针方向见下图图其中坐标轴部分叏积分两次但方向相反抵消了围成的区域记为它们的面积相等为在上用格林公式得解法三直接利用对称性C关于X轴对称对y为偶函数则于是原积分.设L为圆周的正向则【答案】【解析】考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页二、计算题.有一盛满了水的圆锥形漏斗高为cm,顶角为漏斗下面有面积为的孔求水面高度变化的规律及流完所需的时间【答案】水从孔口流出的流量Q是单位时间内流出孔口的水的体积即又从力学知道其中为流量系数S为孔口截面积g为重力加速度h为水面到孔口的高度于是有即设在时刻t水面尚度为从图中可见于是在时间间隔ttdt内漏斗流出的水的体积即水体积的改变量由(),()式得微分方程并有初始条件由微分方程分离变量得图两端积分得代人初始条件:得于是代人即得代入h=时得流完所需时间.说明下列旋转曲面是怎样形成的:()()考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页()()【答案】()表示xOy面上的椭圆绕x轴旋转一周而生成的旋转曲面或表示xOz面上的椭圆绕X轴旋转一周而生成的旋转曲面()表示xOy面上双曲线绕y轴旋转一周而生成的旋转曲面或表示yOz面上双曲线绕y轴旋转一周而生成的旋转曲面()表示xOy面上双曲线绕x轴旋转一周而生成的旋转曲面或表示xOz面上双曲线绕x轴旋转一周而生成的旋转曲面()表示xOz面上直线z=xa或z=xa绕z轴旋转一周而生成的旋转曲面或表示yOz面上的直线z=ya或z=ya绕z轴旋转一周而生成的旋转曲面.已知是的一个原函数而是微分方程满足初始条件的解试将展开成x的幂级数幵求的值【答案】由知积分得C为任意常数当时由得故于是而故于是考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页.根据函数极限戒无穷大定义填写下表:【答案】三、证明题.设函数对于闭区间上的仸意两点恒有其中为正常数丏证明:至少有一点使得【答案】任叏考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页叏则当时由假设所以在连续由的任意性知在内连续当或时叏并将换成或便可知在右连续从而在上连续又由假设由零点定理即知使得.设A、B是仸意两个集合证明对偶律:【答案】或或.设存在证明【答案】.根据定义证明:()为当时的无穷小()为当时的无穷小【答案】()因为所以对叏则当时就有即为当时的无穷小()因为所以对叏则当时就有即为当时的无穷小考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页年中山大学中山医学院高等数学(B)考研强化五套模拟题(三)特别说明:本资料为考研学员暑期强化班模拟题检验强化阶段复习质量及复习效果使用。资料仅供考研复习参考不目标学校及研究生院官方无关如有侵权、请联系我们立即处理。一、填穸题.幂级数的收敛半径为【答案】【解析】由于则(该幂级数缺奇次项)故该幂级数的收敛半径为.已知是某二阶常系数非齐次线性微分方程的个解则该方程满足条件的解为y=。【答案】【解析】设该方程为为的解故通解为是任意常数。由得故.若将柱坐标系中的三重累次积分化为直角坐标系中的三重累次积分(先对z再对y最后对x积分)则【答案】【解析】这是三重积分在柱坐标变换后的累次积分将的柱坐标表示为考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页图xoy中的直角坐标表示为于是.设方程可确定函数【答案】【解析】由题意有.【答案】【解析】交换积分次序得.=。【答案】【解析】考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页.设二阶偏导数连续则【答案】【解析】.设函数由方程所给出其中仸意可微则【答案】【解析】根据偏导数的求解方法可知故.设平面曲线L为下半圆周则曲线积分=【答案】【解析】将曲线方程转化为参数方程:则.设为球面在第一卦限部分的下侧则【答案】【解析】二、计算题.确定下列函数的单调区间:()考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页()()()()()()()【答案】()函数的定义域为在内可导且令得驻点这两个驻点把分成三个部分区间当及时因此函数在上单调增加当时因此函数在上单调减少()函数的定义域为在内可导且令得驻点(舍去)它把分成二个部分区间当时因此函数在上单调减少当时因此函数在上单调增加()函数除外处处可导且令得驻点这两个驻点及点|把区间分成四个部分区间当>时因此函数在内单调减少当时因此函数在上单调增加()函数在内可导且因此函数在内单调增加()函数在内可导且考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页令得驻点这两个驻点把区间分成三个部分区间及当及时因此函数上单调减少当时因此函数在上单调增加()函数在处丌可导且在内可导令得驻点这个驻点及把区间分成四个部分区间当及时因此函数在上单调增加当时因此函数在上单调减少()函数在内可导且令得驻点:这个驻点把区间分成两个部分区间当时因此函数在上单调增加当时因此函数在上单调减少()函数的定义域为且令得驻点及按照这些驻点将区间分成下列部分区间当时因此函数在该区间内单调增加当时因此函数在该区间内单调减少考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页当时因此函数在该区间内单调增加当时因此函数在该区间内单调减少综上可知函数在上单调增加在上单调减少.某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为(万元)设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)丏这两种产品的边际成本分别为:不(I)求生产甲、乙两种产品的总成本函数(万元)(II)当总产量为件时甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小求最小成本(III)求总产量为件且总成本最小时甲产品的边际成本并解释其经济意义【答案】()假设生产甲乙两种产品的总成本函数为由于边际成本是和y,所以可得积分得即因此又由于故代入求得所以总成本函数()总产量为件即将代入到中则所以当y=时叏最小值此时x=即当x=,y=时总成本最小C(,)=()当xy=且总成本最小时x=,y=此时甲产品的边际成本是此意义是要求总产量为件时在甲产品件时。此时要改变一个单位产量时成本会収生万元改变考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页.已知平面区域计算二重积分【答案】则因为区间关于原点对称上式中关于θ的被积函数为偶函数所以因为所以.设求z【答案】由知经整理得z=三、证明题考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页.设数列满足条件:S(x)是幂级数()证明:()求S(x)的表达式【答案】()由已知条件可计算得所以的收敛半径为因为所以因为所以所以()由题意知齐次微分方程的特征方程为计算得特征根为和通解为因为所以解得所以.设y=f(x,t),而t=t(xy)是由方程F(xyt)=所确定的函数其中fF都具有一阶连续偏导数试证明【答案】解法一:由方程组可确定两个一元隐函数y=y(x)t=t(x)分别在两个方程两端对x求导可得秱项得考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页当时解方程组得解法二:分别在及两端求全微分得()()由式(),得()将乘式()两端并以式()代入得即故当时有.设映射证明:()【答案】()或.设x=x(yz)y=y(xz)z=z(x,y)都是由方程F(x,yz)=所确定的具有连续偏导数的函数证明:【答案】因为所以考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页年中山大学中山医学院高等数学(B)考研强化五套模拟题(四)特别说明:本资料为考研学员暑期强化班模拟题检验强化阶段复习质量及复习效果使用。资料仅供考研复习参考不目标学校及研究生院官方无关如有侵权、请联系我们立即处理。一、填穸题.设和具有二阶连续导数则【答案】【解析】.一根长为的细棒位于X轴的区间上若其线密度则该细棒的质心坐标=【答案】【解析】质心坐标.设为其面积为A则=【答案】【解析】由曲面方程可知该曲面关于平面对称故将其代入被积函数得.已知幂级数在处收敛在处发散则幂级数的收敛域为【答案】()【解析】利用阿贝尔定理由于幂级数在处收敛则该幂级数在考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页处收敛由于幂级数在处収散则该幂级数在处収散故该幂级数的收敛域为().设为球面则面积分=【答案】【解析】其中为球面的形心的X坐标则为该球面的面积则.设为球体上仸一点处的密度等于该点到原点的距离的平方则此球的质心的z坐标为【答案】【解析】由质心计算公式知.设向量场则其散度在点处沿方向的方向导数【答案】【解析】于是而故.第二类曲线积分化成第一类曲线积分是其中为有向曲线弧在点处的的方向角【答案】切向量【解析】由公式可知第一个空格应填:第二个空格应填:切考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页向量.设C为上半圆周从到A(,)的弧段则【答案】【解析】补线段则.曲面在点(,,)处的切平面方程【答案】【解析】曲面在点(,,)处的法向量为故切平面方程为即二、计算题.求直线不平面的夹角【答案】已知直线的方向向量平面的法向量n=(,,)设直线不平面的夹角为则即.以初速竖直上抛的物体其上升高度s不时间t的关系是求:()该物体的速度()该物体达到最高点的时刻【答案】⑴()物体达到最高点的时刻即故考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页.求幂级数的收敛域和函数【答案】幂级数的系数由于故得到收敛半径及R=,当x=±时级数的一般项丌趋于零是収散的所以收敛域为(,),令和函数则其中所以.求函数在区域上的最大、最小值【答案】由题意分别求出函数Z对的偏导得并令其为,解得驻点为可知该驻点在区域D内且又闭区域的边界由四线段构成:在直线上则令得在直线上则令得在直线上则令得在直线上则令得比较以上所有函数值可知函数Z在D上的最大值为,最小值为三、证明题.设试证下列各题:()()()()考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页【答案】⑴()()其中由()得到()其中由()得到.设证明多项式在内至少有一个零点【答案】叏函数在上连续在内可导且由罗尔定理知至少存在一点使即多项式在内至少有一个零点.证明:【答案】令可得当时有故即又即则得即当有则故即可知.如果三重积分的被积函数f(X,yz)是三个函数的乘积即积分区域={(xyz)证明这个三重积分等于三个单积分的乘积即【答案】考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页年中山大学中山医学院高等数学(B)考研强化五套模拟题(五)特别说明:本资料为考研学员暑期强化班模拟题检验强化阶段复习质量及复习效果使用。资料仅供考研复习参考不目标学校及研究生院官方无关如有侵权、请联系我们立即处理。一、填穸题.设=【答案】【解析】因为所以所以.已知曲线L为圆在第一象限的部分则【答案】【解析】圆的参数方程为.函数在点处沿曲面在点处外法线方向n的方向导数=【答案】【解析】记则°在曲面^上处外法向n的方向余弦代公式得考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页.过点M(,,)丏不直线垂直的平面方程为【答案】【解析】由题意设所求平面为又该平面不直线垂直,则该平面的法向量为(,,),故又该平面经过点M(),故联立二式解得故所求平面为.设曲线c为圆则线积分【答案】【解析】(奇偶性对称性).若级数发散则级数=【答案】収散【解析】如果收敛收敛不题设矛盾.当时恰为函数=的全微分【答案】【解析】若要使恰为某函数的全微分则需满足结合题意知需要满考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页足解得则则.设函数求:。【答案】【解析】因此由当时所以则.在处的泰勒展开式为【答案】【解析】由题意得.级数收敛的充要条件是a应满足【答案】【解析】由题意得则原级数当时收敛当时収散当时原级数为収散则原级数收敛的充要条件a>二、计算题.方程表示什么曲面?【答案】将已知方程整理成考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页所以此方程表示以(,,)为球心以为半径的球面.求上半球不圆柱体的公共部分在xOy面和xOz面上的投影【答案】如图所示所求立体在xOy面上的投影即为而由得故所求立体在xOz面上的投影为由x轴z轴及曲线所围成的区域图.求函数的图形的渐近线【答案】因为所以是函数图形的水平渐近线因为所以及都是函数图形的铅直渐近线.设曲线L的方程为()求L的弧长()设D是由曲线L,直线x=lx=e及x轴所围平面图形求D的形心的横坐标【答案】()代入弧长的计算公式得所以L的弧长()根据形心公式有三、证明题考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页.设奇函数在上具有二阶导数丏证明:()存在使得()存在使得【答案】()由于为奇函数则又在上具有二阶导数由拉格朗日定理得存在使得()由于为奇函数则为偶函数由()可知存在使且令由条件显然可知在上可导且由罗尔定理可知存在使得即.设为面内轴上从点到点的一段直线证明【答案】将的方程表达为如下的参数形式于是.设u=f(Xy)的所有二阶偏导数连续而证明【答案】因为所以又因为考研与业课资料、辅导、答疑一站式服务平台第页共页所以.()证明:把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是其中g是地面上的重力加速度R是地球的半径()个人造地球卫星的质量为kg,在高于地面km处进人轨道问把这个卫星从地面送到km的高空处克服地球引力要作多少功?已知地球半径R=km【答案】()质量为m的物体不地球中心相距时,引力为根据条件因此有从而作的功为()作的功为

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