课时达标检测（二十） 幂函数
一、选择题
1.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )
A．n
m>0
D．m>n>0
解析：选A 由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.由曲线C1，C2的图象可知nb；构造指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，由该函数在定义域内单调递减，所以aa>b.
二、填空题
6．函数y＝(m－1)x
为幂函数，则该函数为________(填序号)．
①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数．
解析：由y＝(m－1)x
为幂函数，得m－1＝1，即m＝2，则该函数为y＝x2，故该函数为偶函数，在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．
答案：②
7．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下
表
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：
x
1
eq \f(1,2)
f(x)
1
eq \f(\r(2),2)
则不等式f(|x|)≤2的解集是________．
解析：由表中数据知eq \f(\r(2),2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α，∴α＝eq \f(1,2)，∴f(x)＝x
，∴|x|
≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.
答案：{x|－4≤x≤4}
8．为了保证信息的安全传输，有一种为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．
解析：由题目可知加密密钥y＝xα(α是常数)是一个幂函数模型，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意得2＝4α，解得α＝eq \f(1,2)，则y＝x
.由x
＝3，得x＝9.
答案：9
三、解答题
9．点(eq \r(2)，2)与点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问：当x为何值时，有：①f(x)>g(x)？②f(x)＝g(x)？③f(x)g(x)；
当x＝1时，f(x)＝g(x)；
当x∈(0,1)时，f(x)0，eq \f(2,x1x2)＋1>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，
即f(x)＝eq \f(2,x)－x在(0，＋∞)上单调递减．
11．已知幂函数f(x)＝x
(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)
<(3－2a)
的a的取值范围．
解：∵幂函数f(x)＝x
在(0，＋∞)上单调递减，
∴m2－2m－3<0，解得－13－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a.
解得a<－1或eq \f(2,3)
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