高三数学二轮复习专题四第二讲数列的通项公式与数列求和教案理

第二讲　数列的通项公式与数列求和 研热点（聚焦突破） 类型一 数列的通项问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1．累加法求通项：形如an＋1－an＝f(n)． 2．累乘法求通项：形如 3．构造法：形如：an＋1＝pan＋q. 4．已知Sn求an，即an＝ [例1]　(2012年高考广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*. (1)求a1的值； (2)求数列{an}的通项公式． [解析]　(1)当n＝1时，T1＝2S1－12. 因为T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，解得a1＝1. (2)当n≥2时，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1， 所以Sn＝2Sn－1＋2n－1，① 所以Sn＋1＝2Sn＋2n＋1，② ②－①得an＋1＝2an＋2. 所以an＋1＋2＝2(an＋2)，即 当n＝1时，a1＋2＝3，a2＋2＝6，则 跟踪训练 数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，数列{an}的通项公式为________． 解析：由题意，当n≥2时， a1·a2·a3·…·an＝n2，① 故当n＝2时，有a1·a2＝22＝4， 又因为a1＝1，所以a2＝4. 故当n≥3时， 有a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，② 由 而当n＝1时，a1＝1，不满足上式，n＝2时，满足上式． 所以数列{an}的通项公式为an＝ 答案： 类型二 数列求和 数列求和的方法技巧 (1)转化法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并； (2)错位相减法 这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列； (3)裂项相消法 利用通项变形，将通项分裂成两项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和． [例2]　(2012年高考浙江卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N*. (1)求an，bn； (2)求数列{an·bn}的前n项和Tn. [解析]　(1) 由Sn＝2n2＋n，得 当n＝1时，a1＝S1＝3； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1. 所以an＝4n－1，n∈N*. 由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N*. (2)由(1)知anbn＝(4n－1)·2n－1，n∈N*， 所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1， 2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n， 所以2Tn－Tn＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)] ＝(4n－5)2n＋5. 故Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N*. 跟踪训练 (2012年高考课标全国卷)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为(　　) A．3 690　　　　　　　　 B．3 660 C．1 845 D．1 830 解析：利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解． ∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1，∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1， ∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234＝ 答案：D 类型三 数列的综合应用 1．数列的综合应用多涉及函数、不等式、解析几何等知识． 2．数列的单调性的判断方法： (1)作差：an＋1－an与0的关系； (2)作商： [例3]　(2012年高考广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列． (1)求a1的值； (2)求数列{an}的通项公式； (3) 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：对一切正整数n，有 [解析]　(1)∵a1，a2＋5，a3成等差数列， ∴2(a2＋5)＝a1＋a3. 又2Sn＝an＋1－2n＋1＋1， ∴2S1＝a2－22＋1，2S2＝a3－23＋1， ∴2a1＝a2－3，2(a1＋a2)＝a3－7. 由 (2)∵2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，① ∴当n≥2时，2Sn－1＝an－2n＋1.② ①－②得2an＝an＋1－an－2n＋1＋2n， ∴an＋1＝3an＋2n. 两边同除以2n＋1得 ∴ 又由(1)知 ∴ 即数列{an}的通项公式为an＝3n－2n. (3)证明：∵an＝3n－2n＝(1＋2)n－2n ＝C ＝1＋2n＋2(n2－n)＋…＋2n－2n >1＋2n＋2(n2－n)＝1＋2n2>2n2>2n(n－1)， ∴ ∴ <1＋ ＝1＋ ＝1＋ 即 跟踪训练 (2012年北京东城模拟)已知数列{an}满足a1＝ (1)试判断数列{ (2)设cn＝ansin 解析：(1)由an＝ 所以 ＝－2[ 又 故数列{ (2)证明：由(1)得 所以 an＝ 所以cn＝ansin ＝ 所以Tn< 析典题（预测高考） 高考真题 【真题】　(2012年高考湖南卷)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元． (1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式； (2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)． 【解析】　(1)由题意得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d， a2＝a1(1＋50%)－d＝ an＋1＝an(1＋50%)－d＝ (2)由(1)得an＝ ＝( ＝… ＝( 整理得an＝( ＝( 由题意，知am＝4 000， 即( 解得d＝ 即该企业每年上缴资金d的值为 【名师点睛】　本题考查利用递推数列求通项的方法，考查综合利用数列知识 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 解决实际问题的能力，难度较大，解答本题的关键是求出递推关系an＋1＝an－d，并变形求an. 考情展望 高考对数列的通项与求和的考查多以解答题形式出现，主要考查an与Sn的关系，以及错位相减求和、裂项求和及分组转化求和，难度中档偏上． 名师押题 【押题】　在平面直角坐标系中，设不等式组 (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＋1＝2bn＋an，b1＝－13.求证：数列{bn＋6n＋9}是等比数列，并求出数列{bn}的通项公式． 【解析】　(1)由 所以平面区域为Dn内的整点为点(3，0)或在直线x＝1和x＝2上． 直线y＝－2n(x－3)与直线x＝1和x＝2交点纵坐标分别为y1＝4n和y2＝2n，Dn内在直线x＝1和x＝2上的整点个数分别为4n＋1和2n＋1， ∴an＝4n＋1＋2n＋1＋1＝6n＋3. (2)由bn＋1＝2bn＋an得bn＋1＝2bn＋6n＋3， ∴bn＋1＋6(n＋1)＋9＝2(bn＋6n＋9)， ∵b1＋6×1＋9＝2， ∴{bn＋6n＋9}是以2为首项，公比为2的等比数列， ∴bn＋6n＋9＝2n， ∴bn＝2n－6n－9.