2017-2018学年人教B版
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数学选修1-1导学案
2.3.2 抛物线的几何性质
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课程目标
学习脉络
1.理解抛物线的简单几何性质．
2．了解抛物线的简单应用．
3．归纳、对比四种方程所
表
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示的抛物线的几何性质的异同.
1．抛物线y2＝2px(p＞0)的几何性质
思考1掌握抛物线的性质，重点应抓住“两点”“两线”“一率”“一方向”，它们分别指的是什么？
提示：“两点”是指抛物线的焦点和顶点；“两线”是指抛物线的准线和对称轴；“一率”是指离心率1；“一方向”是指抛物线的开口方向．
思考2抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些？
提示：抛物线的离心率等于1，它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线．它没有中心，通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线．
2.抛物线四种形式的标准方程及其性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图象
性质
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
原点O(0,0)
焦点
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))
准线
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
离心率
e＝1
思考3怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向？
提示：一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向．
如果y是一次项，负时向下，正时向上．
如果x是一次项，负时向左，正时向右．
名师点拨1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析，其共同点：(1)顶点都为原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的eq \f(1,4)；(4)焦点到准线的距离均为p.其不同点：(1)对称轴为x轴时，方程的右端为±2px，左端为y2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，左端为x2；(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同，焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取正号，开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同，焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取负号．
2．只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程．
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