谈如何培养学生的审题能力
在小学数学教学中，数学运算占了相当大的比重。而运算的准确性很大程度上取决于审题的正确与否。因 此，在小学数学教学中，很有必要加强对学生审题能力的培养。为叙述方便，本文分小学数学应用题、计算题 、文字题就如何培养学生的审题能力作一探讨。
应用题
应用题是由情节和数量关系两个部分交织在一起组成的。审题过程就是要审清题目的情节内容和数量关系 ，知道该道题讲的是一件什么事情，事情的经过是怎样的，并能找出已知条件和要求的问题，使题目的条件、 问题及其关系在学生头脑中建立起完整的印象，为正确分析数量关系和解答应用题创造良好的前提条件。具体 说来要做到：
一、“读”
读，就是认真读题，初步了解题意。读题是了解题目内容的第一步，是培养审题能力的开始。要培养学生 反复、仔细、边读边想的读题习惯。
一年级
小学一年级数学20以内加减练习题小学一年级数学20以内练习题小学一年级上册语文教学计划人教版一年级上册语文教学计划新人教版一年级上册语文教学计划
教师要进行范读、领读。读题时要训练学生做到不添字、不漏字， 不读错字，不读断句。二年级开始培养学生独立朗读、逐步过渡到轻声读、默读，养成自觉通过默读理解题意 的习惯。
二、“敲”
敲就是仔细推敲字、词、句，准确理解题意，语言文字是应用题各种关系的纽带，也是解题的拦路虎。因 此，审题教学要像语文教学一样，让学生理解应用题中每个字、词、句的意义，培养学生书面语言的阅读能力 。
首先，对应用题表述中的数学术语有一个正确的理解。如“倍数”应用题“倍”的含义、行程问题“相向 而行”、“相背而行”的行走情景，学生对这些术语没有正确的理解，就无法理解题意，进而防碍数量关系的 确立。
其次，对应用题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义，为正确解题铺平道路。如“同 学们修补图书。 五年级修补127本，比四年级多修补28本。四年级修补多少本？”对此题有的学生一下子分辨 不出五年级修补的多还是四年级修补的多，这就要抓住“比四年级多修补28本”这个关键句，联系前后内容把 这个简短的句子一步一步地补充完整，使之明朗化，即“比四年级多修补28本”，就是“五年级比四年级多修 补28本”，也就是“127本比四年级修的多28本”， 这样不难判断出五年级修补的多，四年级修补的少，问题 便迎刃而解了。
三、“述”
述，就是复述题意，进入情境，用自己的话复述题意，能促进学生进一步分析清楚应用题的情节，使题目 内容转化为鲜明的表象，让学生真正进入角色。如“小明家养了35只鸡，28只鸭，如果每只鸡一年可以产13千 克蛋，每只鸭一年可以产12千克蛋。这些鸡、鸭一年一共可以产多少千克蛋？”学生若能这样复述：“小明家 养了35只鸡，每只鸡一年能产13千克蛋，还养了28只鸭，每只鸭一年可产12千克蛋。小明家养的这些鸡和鸭一 年总共能产多少千克蛋？”这就说明学生对题意已真正完整地理解了。
复述题意能准确地反映出学生对题意的理解程度，也有利于培养学生的概括能力和数学语言的表达能力， 从而提高审题能力。
四、“拟”
拟，就是模拟情景，展示数量关系，有些题目可通过指导学生列表、画图等方法模拟应用题的情景，使应 用题的情节、数量关系直观全面地展示在学生面前，进而扫除理解题意的障碍。
1.列表。如“某粮食加工厂有3台磨面机，4小时可磨面粉2184千克，现在要增加同样的5台磨面机，7小时 可以磨面粉多少千克？”审题时把条件和问题用表格表示出来，通过列表整理，题目中的条件、问题及其数量 关系便一目了然。 台数 时间 千克数 3 4 2184 3+5 7 ?
又如：“某农场种水稻600公亩，小麦180公亩，玉米比小麦多种300公亩，农场共种三种农作物多少公亩？ ”
┌ ┐
│水稻 600公亩 │
<小麦 180公亩 〉共种？公亩
│玉米 比小麦（180公亩）多300公亩 │
└ ┘
这样列表条理清楚，不至于搞错数量间的关系。
4
2.画图。如：“五（1）班─是男生，已知这个班的女生有24人，
7
求男生的人数。”
依题意可画出线段图：
（附图 {图}）
4
从图中可清楚地看出“24人”与“─”无直接关系，但从图中，可
7
4
看出其对应分率应是“1－─”，这一点的突破就是审题的关键。
7
或者利用上图，指导学生通过转换观察角度，将会发现：
1 1
（1）以女生人数为“1”，男生人数是它的1─倍。列式是24×1─。
3 3
3 3
（2）以男生人数为“1”，女生人数相当于它的─。列式是24÷─。
4 4
（3）数出男女生人数各占的格数，列式会更简便：24÷3×4。
此外，在教给审题方法的基础上，教师要对学生进行严格的审题训练，以培养他们认真审题的习惯和提高 审题的能力。
计算题
四则混合运算是计算教学中的难点内容，也是学生出错率最高的题型之一。因此，四则混合运算的审题教 学，要求学生必须做到：
一、“看”
“看”，就是先看一看题目里有几个什么数。会有几种运算符号；再看一看运算符号和数据有什么特点， 有什么内在联系。如405 ×（3076－2980）＋2136÷89。看的结果应是：①有5个数；②有4种运算；③含有小 括号；④是一道带有小括号的整数四则混合运算题。又如3.68×［1÷（2.1－2.09）］＋0.6。看的结果应是① 含有5个数；②有4种运算；③含有中括号；④是一道带有中括号的小数四则混合式题。
二、“定”
“定”，就是对题目整体观察后，确定运算顺序。即先算什么，再算什么，后算什么。可采用画线标序的 方法，如：
405×（3076－2980）＋2136÷89
│ │ ① │ │ ① │
│ └──┬─┘ └─┬─┘
│ ② │ │
└──┬──┘ ③ │
└────────┘
三、“想”
“想”，就是分析题中的数值特征和运算间的联系，联想到有关运算定律、运算性质， 然后进行运算。 如：405 ×（3076 －2980 ）＋2136÷89。这道题虽不存在简算问题，但括号部分与除法可同时计算，即同时 算出3076－2980的差与2136÷89的商。
有时候，根据数据特点，通过“想”将原式结构进行分解、组合等
1 5 1
变形，达到简算。如4─＋2.375＋5─＋7.75组合为（4─＋7.75）＋（2
4 8 4
5
.375＋5─）。
8
计算题的审题教学，特别要注重培养学生具体问题具体分析的习惯和灵活运用知识的能力，这样，才能使 学生对计算题算得正确、迅速。
文字题
文字题是介于计算题与应用题之间的一种题型，是计算题的语言表达形式，是应用题数量之间关系的概括 ，是沟通式题与应用题的桥梁。加强文字题的教学，可加深学生对基本概念和数学术语的理解，牢固掌握四则 混合运算的顺序，并为解答应用题奠定良好的基础。但有些文字题数量关系复杂，不仅层次多，而且一些表达 运算顺序的名词术语往往容易混淆和被忽视，致使学生经常造成解题差错。因此要强化文字题的审题教学，教 给学生一些基本的审题方法和技巧，提高解题的正确性。
一、“扣”
“扣”就是紧扣关键词。文字题中的数量关系，往往是由题中的一些关键词决定的。常用的关键词有“乘 ”、“乘以”、“被……乘”、“用……去乘”、“除”、“除以”、“被……除”、“用……去除”等等。 例如“用182除以13的商，去乘28与14的差，积是多少？ ”题中的关键词一个是“除以”，一个是“乘”，根 据题意，其数量关系是“商”乘“差”，列式是（28－14）×（182÷13）。 “乘”这个关键词，它决定着什 么量做被乘数，什么量做乘数，稍不慎就会把数量关系弄错。又如“从4000除以25的商里减去13与12的积，差 是多少？”题中的关键词一个是“除以”，一个是“减去”，它们决定着本题的数量关系：“商”减去“积” 列式是4000÷25－13×12。
二、“缩”
“缩”就是抓主干缩句，即把题目骨架用关键词表示出来，再列式计算。例如：“750与250的和比它们的 差多多少？”抓住其主干可缩减为：“‘和’比‘差’多多少？”这就可先分别算出750与250的和与差，再算 “和”比“差”多多少？列式是（750＋250）－（750－250）。
三、“分”
“分”就是抓关键分层次。即根据题中的数量关系，分清层次，把整道文字题分解为几个小部分，就能化 繁为简，化难为易。例如“96与80的和除以96减去80的差，商是多少？”可用“‖”把条件和问题分开，用“ │”把条件分为两层次，用“．”标出数学语言中的关键字词，即：96与80的和│除以96减去80的差，‖商是 多少？这样，通过分层次，不难看出本题要求商，应先求出“和与差”，最后再“和除以差”，这样就很快列 出式子为（96＋80）÷（96－80）。
四、“索”
“索”就是执果索因。如果文字题的问句中，直接指出了最后求的是什么，就可以从问题入手，执“问题 ”这个“果”去索取解决问题的“因”。例如：“从4500除以25的商里减去13与12的积，差是多少？”从问题 出发，抓住“差”是多少分析推理：要求差，就要知道被减数和减数。但被减数与减数均未直接给出，而要通 过已知数先分别求出商、积才能得到。引导学生列出：“被减数—减数”后，突出题中“商减去积，差是多少 ”，顺藤摸瓜，得
被减数 ─ 减数
↓ ↓
〈商〉 ─ （积）
↓ ↓
4500÷25－（13×12）
如何提高学生的计算速度
一、加强计算法则的教学。
计算法则是计算的依据。法则掌握得好，学生见题后能快速重现法则的内容，选择好算法。因此，要提高学生计算的速度，首先必须加强计算法则的教学，要让学生在计算时知其然也知其所以然，即不但要让学生掌握算法，而且能说出算理。
二、充分利用算盘。
珠算是工具算。它能使学生直观、形象地学习计算法则，理解算理。教学时，教师教完一道算式的拨珠方法后，还要训练学生边拨珠边想算理，不拨珠只看算盘想拨珠动作，不看算盘想拨珠动作，最终使学生在头脑中形成一盘式图。这对提高学生的计算速度有很大的促进作用。
三、增加一题多解的训练。
一题多解的训练，能使学生充分利用知识储备，开拓思路，找到速度最快的方法。引导学生一题多解时，教师可向他们介绍“变形”“凑整”等方法。
四、加强口算训练。
口算是一种凭思维和语言活动的计算方法，是学生应该具有的基本技能。要提高学生的口算能力，教师要注意以下几点：（１）让学生记住一些常用数据；（２）教学生一些基本的口算方法；（３）口算时一定要有速度要求；（４）采取多种形式进行口算训练
谈如何培养学生的解题能力
如何培养学生的解题能力，是一个较复杂的问题。从理论上看，解题能力涉及到逻辑学、心理学、教育学等学科的问题。从内容上看，解题能力包括对应用题、文字题、计算题等各类问题处理的能力。从小学生解题的行为实际看，小学生解题主要存在的问题有：一是难以养成思维习惯，常常盲目解题；二是任务观点严重，解题不求灵活简洁；三是马虎草率，错误百出。心理学认为：智力的核心是思维能力。从素质教育的观点来看，发展思维、提高智力，是提高素质的重要内容。要提高学生的解题能力，首先要提高学生的智力，发展他们的思维。
下面从发展学生的思维角度和学生的解题实际出发，谈谈如何培养学生的解题能力。
一、一例多说，养成解题的思维习惯
语言和思维密切相关，语言是思维的外壳，也是思维的工具。语言可以促进思维的发展，反过来，良好的逻辑思维，又会引导出准确、流畅而又周密的语言。在教学实践中，不少老师只强调“怎样解题”，而忽视了“如何说题（说题意、说思路、说解法、说检验等）”。看似这是重视解题，实则这是忽略解题能力的培养。由于缺少对解题的思维习惯、思维品质的培养，学生的解题能力，只囿于题海战术、死记硬背的机械记忆中，这与当前的素质教育格格不入。
另外，从学生解题的实际表现看，学生解题的错误，一般是由于缺乏细致、周密的逻辑思考和分析。特别是当作业量稍多时，这种表现更为突出。从教师教学实际看，教师为了强化对学生解题思路的训练，往往要求学生在作业本上写出分析思路图，或画出线段图。但这项工作，对于小学生来说，一方面难度比较大，另一方面因费时多，学生持久性不够，往往收效并不大。笔者认为加强课堂教学中的“说题训练”，即采用“顺逆说”、“转换说”和“辩论说”等几种训练形式，养成学生解题的思维习惯，从而培养学生的解题能力。
１．顺逆说。
每解答一道应用题时，不必急于去求答案，而要让学生分别进行顺思考和逆思考，把解题思路及
计划
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说出来。比如解答“三年级种树２５棵，四年级种树是三年级的２倍，四年级比三年级多种几棵？”先让学生用综合法从条件到问题依次说出思路，再让学生用分析法从问题到条件说出思路。学生顺逆分别说清思路后，再列出算式“２５×２－２５”。如果，学生在说的过程中，语言还不够流畅，思路还不够清晰，还要再让学生看算式“２５×２－２５”，再进行第二次“顺逆说”：先让学生说第一步“２５×２”表示什么？再让学生说第二步“２５×２－２５”表示什么？最后先说第二步、再说第一步。在解答文字题时，也可进行顺逆说的训练。如“３个１／５比２个１／４多多少？列出算式“１／５×３－１／４×２”后，让学生根据算式，说出“１／５×３－１／４×２”的意义，再把说出的意义与原题对照，看看是否一致？如不一致，则要重新分析，认真检查，直到说出的意义与原题一致为止。
２．转换说。
对于题中某一个条件或问题，要引导学生善于运用转换的思想，说成与其内容等价的另一种表达形式，使学生加深理解，从而丰富解题方法，提高解题能力。如已知“Ａ与Ｂ的比是３∶５”，可引导学生联想说出：（１）Ｂ与Ａ的比是５∶３；（２）Ａ是Ｂ的３／５；（３）Ｂ是Ａ的５／３；（４）Ａ比Ｂ少２／５；（５）Ｂ比Ａ多２／５；（６）Ａ是３份，Ｂ是５份，一共是８份，等等。这样，学生解题思路就会开阔，方法就会灵活多样，从而化难为易。
３．辩论说。
鼓励学生有理有据的自由争辩，有利于培养学生独立思考和勇于发表不同见解的思维品质，寻找到独特的解题方法。有一次，一位老师教学解答圆面积一题时，老师问学生：“计算圆面积要知道什么条件才能进行计算？”多数学生回答“必须知道半径，才能求出圆面积。”但有一个学生举手表示不同意，认为“知道周长或直径，同样可以计算圆面积。”对这个学生的回答，老师一方面作了肯定，另一方面要他和持不同意见的同学进行辩论。这样，双方经过几轮辩论后，使这位学生认识到“已知周长或直径，最终还是要先求出半径”的道理。另外，也使大部分同学明白了“不光只有知道半径，才能计算圆面积”的道理。
二、多向探索，培养解题的灵活性
求异思维是一种创造性思维。它要求学生凭借自己的知识水平能力，对某一问题从不同的角度，不同的方位去思考，创造性地解决问题。而小学生的思维是以具体形象思维为主，容易产生消极的思维定势，造成一些机械思维模式，干扰解题的准确性和灵活性。有的学生常常将题中的两个数据随意连接，而忽视其逻辑意义。如“小方和小圆各有同样多的水果糖，小方吃了５粒，小圆吃了６粒，剩下的谁多？”由于受数值大小这一表象的干扰，学生的思维定势集中在“６＞５”上，容易误判断为“小圆剩下的多”。为了排除学生类似的消极思维定势的干扰，在解题中，要努力创造条件，引导学生从各个角度去分析思考问题，发展学生的求异思维，使其创造性地解决问题。通常运用的方法有“一题多问”、“一题多解”和“一题多变”。
１．一题多问。
同一道题，同样的条件，从不同的角度出发，可以提出不同的问题。如解答“五一班有学生４５人。女生占４／９，女生有多少人？”这本来是一道很简单的题目。教学中，老师往往会因学生很容易解答，而一晃而过，忽视发散思维的训练。对于这样的题型，老师要执意求新，变换提出新的问题。如再提出如下问题：（１）男生有多少人？（２）全班有多少人？（３）男生比女生多多少人？（４）男生是女生的几倍？（５）女生是男生的几分之几？等等。这样，可以起到“以一当十”的教学效果。像同一道题，老师还可以从分析上多提问，从解法上多提问，从检验上多提问，进行多问启思训练，培养学习思维的灵活性。
２．一题多解。
在解题时，要经常注意引导学生从不同的方面，探求解题途径，以求最佳解法。
例如“某村计划修一条长１５０米的路，前３天完成了计划的２０％，照这样计算，完成这条路还需多少天？”首先老师要学生用多种方法解。在学生没有学习工程问题时，解法一般集中在以下三种上：①（１５０－１５０×２０％）÷（１５０×２０％÷３）＝１２（天）；②１５０÷（１５０×２０％÷３）－３＝１２（天）；③１５０×（１－２０％）÷（１５０×２０％÷３）＝１２（天）。
针对这些解法，老师要善于引导学生比较三种方法的异同点，总结出“三种方法中都运用了全程１５０米”这一条件的共性。针对这一共性，老师可打破思维定势，启迪学生的新思维：“假如把１５０米当作一条路（用１来表示），还可以怎样解答？”这一点拨，学生很容易发现如下解法：④３×［（１－２０％）÷２０％］＝１２（天）；⑤１÷（２０％÷３）－３＝１２（天）；⑥３÷２０％－３＝１２（天）。
综上六种解法，显然后三种解法（尤其是解法⑥），列式简洁，想象丰富，充分可以显示学生思维的灵活性。
３．一题多变。
小学生解题时，往往受解题动机的影响，因局部感知而干扰整体的认识。例如：“某商厦共有６层，每两层间的板梯长５米，从１楼到６楼共要走多少米？”往往由于“每两层５米”和“６层”与学生的解题动机发生共鸣，忽视了“６层只有５段间距”这一特点，而容易得出“５×６”的错解。要消除类似的干扰，就必须进行一些一题多变的训练。
针对解题模式的干扰进行变题训练。如学生学习了工程问题后，求合做工作时间，容易形成这样一种解题模式“１÷（１／Ａ＋１／Ｂ）”。我们可将条件中的时间改变成分数形式。如“一项工作，甲独做１／２小时完成，乙独做１／４小时完成，如两人合做要多少小时完成？”如老师不提醒，学生绝大多数会把“１／２小时”和“１／４小时”当作工效，仍然列出算式“１÷（１／２＋１／４）”来解答（实践统计，第１次这样的错误率在７５％以上）。又如学生学过等分除法应用题后，往往见“分成几份”就“用除法计算”。在学生掌握等份除法计算方法后，也要注意变题训练。如设计类似题“６粒水果糖分成３份，最少的１份是多少粒？”可淡化消极的“６÷３”思维定势的干扰。因为“６÷３”计算错了，其实最少的１份是１粒（题中并没有要求平均分）。
通常，教学中的变条件、变问题、条件和问题的互换等，都是一题多变的好形式，但是，变题训练要掌握一个原则，就是要在学生较牢固的掌握法则、公式的基础上，进行变题形练。否则，将淡化思维定势的积极作用，不利于学生牢固地掌握知识。
三、联系对比，提高解题的准确率
为了减少学生的解题错误，提高解题的准确率，除加强估算和检验外，通常较有效的办法是要善于联系对比，让学生在比较中认识、在比较中区别、在比较中理解、在比较中提高。常用的联系比较方法有：
１．联系生活实际对比。
对于一些农业生产上的株距、行距，工业上的产值、工效，商业上的成本、利润等，学生缺乏生活经验，难以产生共鸣；对于一些较大数字的四则运算，学生解答毅力不强，容易产生畏难情绪。加之，有些教师讲到应用题，便说应用题怎样重要，如何难学，上课要认真呀……说到计算题，又说怎样容易出错，计算时要怎样细心，否则……看似老师提醒学生重视，实则给学生增加了心理压力，背上了思想包袱。其实，只要把数学题与学生的生活实际联系起来进行对比，解题并不是一件很难的事情。
对于难理解的题，要增添一些与之数量关系相同，能贴近学生生活的实例，先解熟悉的题，再解生疏的题。如要解答：“某专业户要种一块３００平方米的果树，行距２米、棵距１米，种完这块地要多少棵树苗？”可首先补充另一题：“在一块３００平方米的操场上站队做操，每两排纵队之间相距２米，前后两人之间相距１米，按这样站队，站满这个操场一共要多少人？”因两题思路相通，解法相同，先解贴近学生生活的补充题，再解原题，迁移自然，默化易成。
２．联系正误对比。
有比较才有鉴别，学生解题的错误，往往错在认识不清、感知模糊、理解肤浅上，用给出正确答案（或算式）和错误答案（或算式）的对比如正误分析对比、正误解法对比等，都有利于加强学生辩证思维训练，有利于提高解题能力。通常的选择题就是很好的训练形式。
３．联系题型对比。
在小学数学题型中，归纳起来，不外乎是概念题、计算题、文字题、应用题和图式题等几大类。像计算式题、文字题、应用题、图式题大都是实际生活中的例子，只是用四种不同的描述形式表达而已。比如“６个苹果吃了２个，还有几个？”除用这种“应用题”的形式描述外，还可以用最简单的算式“６－２＝？”来描述，也可以用一句话“６减２的差是多少？”或一幅线段图（或实物图）来描述。根据这种知识内在的联系特点，在教学中，要善于把各种描述的形式，联系起来，进行训练，达到由此及彼，由里及外，融汇贯通和举一反三的效果。
培养解题能力的途径和方法很多，但无论哪种途径和方法，最根本的、相通的是离不开思维的训练。
从口算入手提高计算能力
纵观全国小学数学试题，涉及计算内容的题目在一份试卷中均占85％以上。从这个意义上说，加强计算教 学，有效地提高计算的正确率是小学数学教学的一个非常重要方面。教学情况表明，一个学生的计算正确率的 高低，与他口算能力的强弱是成正比例的。因此，如何提高口算能力，是值得探索研究的。本人在多年的教学 中，实行分类指导，加强训练，循序渐进，从提高口算能力来达到提高计算的正确率，取得较为理想的效果。 主要做法是：
一、基础性训练
从小学生不同的年龄心理特点上看，口算的基础要求不同。低中年级主要在一二位数的加法。高年级把一 位数乘两位数的口算作为基础训练效果较好。具体口算要求是，先将一位数与两位数的十位上的数相乘，得到 的三位数立即加上一位数与两位数的个位上的数相乘的积，迅速说出结果。这项口算训练，有数的空间概念的 练习，也有数位的比较，又有记忆训练，在小学阶段可以说是一项数的抽象思维的升华训练，对于促进思维及 智力的发展是很有益的。这项练习可以安排在两段的时间里进行。一是早读课，一是在家庭作业的最后安排一 组。每组是这样划分的：一位数任选一个，对应两位数中个位或十位都含有某一个数的。每组有18道，让学生 先写出算式，口算几遍后再直接写出得数。这样持续一段时间后（一般为2～3个月），其口算的速度、正确率 也就大大提高了。
二、针对性训练
小学高年级数的主体形式已从整数转到了分数。在数的运算中，异分母分数加法是学生费时多又最容易出 差错的地方，也是教与学的重点与难点。这个重点和难点如何攻破呢？经研究比较和教学实践证明，把分数运 算的口算有针对地放在异分母分数加法上是正确的。通过分析归纳，异分母分数加（减）法只有三种情况，每 种情况中都有它的口算规律，学生只要掌握了，问题就迎刃而解了。
1.两个分数，分母中大数是小数倍数的。
如“1/12＋1/3”，这种情况，口算相对容易些，方法是：大的分母就是两个分母的公分母，只要把小的分 母扩大倍数，直到与大数相同为止，分母扩大几倍，分子也扩大相同的倍数，即可按同分母分数相加进行口算 ：
1/12＋1/3＝1/12＋4/12＝5/12
2.两个分数，分母是互质数的。这种情况从形式上看较难，学生也是最感头痛的，但完全可以化难为易： 它通分后公分母就是两个分母的积，分子是每个分数的分子与另一个分母的积的和（如果是减法就是这两个积 的差），如2/7＋3/13，口算过程是：公分母是7×13＝91,分子是26(2×13)＋21(7×3)＝47，结果是47/91。
如果两个分数的分子都是1，则口算更快。如“1/7＋1/9”，公分母是两个分母的积(63)，分子是两个分母 的和(16)。
3.两个分数，两个分母既不是互质数，大数又不是小数的倍数的情况。这种情况通常用短除法来求得公分 母，其实也可以在式子中直接口算通分，迅速得出结果。可用分母中大数扩大倍数的方法来求得公分母。具体 方法是：把大的分母（大数）一倍一倍地扩大，直到是另一个分母小数的倍数为止。如1/8＋3/10把大数10，2 倍、3倍、4倍地扩大，每扩大一次就与小数8比较一下，看是否是8的倍数了，当扩大到4倍是40时，是8的倍数 （5倍），则公分母是40，分子就分别扩大相应的倍数后再相加(5＋12＝17)，得数为17/40。
以上三种情况在带分数加减法中口算方法同样适用。
三、记忆性训练
高年级计算内容具有广泛性、全面性、综合性。一些常见的运算在现实生活中也经常遇到，这些运算有的 无特定的口算规律，必须通过强化记忆训练来解决。主要内容有：
1.在自然数中10～24每个数的平方结果；
2.圆周率近似值3.14与一位数的积及与12、15、16、25几个常见数的积；
3.分母是2、4、5、8、10、16、20、25的最简分数的小数值，也就是这些分数与小数的互化。
以上这些数的结果不管是平时作业，还是现实生活，使用的频率很高，熟练掌握、牢记后，就能转化为能 力，在计算时产生高的效率。
四、规律性的训练
1.运算定律的熟练掌握。这方面的内容主要有“五大定律”：加法的交换律、结合律；乘法的交换律、结 合律、分配律。其中乘法分配律用途广形式多，有正用与反用两方面内容，有整数、小数、分数的形式出现。 在带分数与整数相乘时，学生往往忽略了乘法分配律的应用使计算复杂化。如2000/16×8，用了乘法分配律可 以直接口算出结果是1001.5，用化假分数的一般方法计算则耗时多且容易错。此外还有减法运算性质和商不变 性质的运用等。
2.规律性训练。主要是个位上的数是5的两位数的平方结果的口算方法（方法略）。
3.掌握一些特例。如较常遇见的在分数减法中，通分后分子部分不够减，往往减数的分子比被减数的分子 大1、2、3等较小的数时，不管分母有多大，均可以直接口算。如12/7-6/7它的分子只相差1，它差的分子一定 比分母少1，结果不用计算是6/7。又如：194/99-97/99，分子部分相差2，它差的分子就比分母少2，结果就是 97/99。减数的分子比被减数的分子大3、4、5等较小的数时，都可以迅速口算出结果。又如任意两位数与1.5积 的口算，就是两位数再加上它的一半。
五、综合性训练
1.以上几种情况的综合出现；
2.整数、小数、分数的综合出现；
3.四则混合的运算顺序综合训练。
综合性训练有利于判断能力、反应速度的提高和口算方法的巩固。
当然，以上这些情况，要使学生熟练掌握，老师首先要娴熟运用自如，指导时才能得心应手，提高效果。 同时训练应持之以恒，三天打渔两天晒网，是难以收到预期效果的。
低年级学生学习应用题的思维错误成因及对策
纵观全国小学数学试题，涉及计算内容的题目在一份试卷中均占85％以上。从这个意义上说，加强计算教 学，有效地提高计算的正确率是小学数学教学的一个非常重要方面。教学情况表明，一个学生的计算正确率的 高低，与他口算能力的强弱是成正比例的。因此，如何提高口算能力，是值得探索研究的。本人在多年的教学 中，实行分类指导，加强训练，循序渐进，从提高口算能力来达到提高计算的正确率，取得较为理想的效果。 主要做法是：
一、基础性训练
从小学生不同的年龄心理特点上看，口算的基础要求不同。低中年级主要在一二位数的加法。高年级把一 位数乘两位数的口算作为基础训练效果较好。具体口算要求是，先将一位数与两位数的十位上的数相乘，得到 的三位数立即加上一位数与两位数的个位上的数相乘的积，迅速说出结果。这项口算训练，有数的空间概念的 练习，也有数位的比较，又有记忆训练，在小学阶段可以说是一项数的抽象思维的升华训练，对于促进思维及 智力的发展是很有益的。这项练习可以安排在两段的时间里进行。一是早读课，一是在家庭作业的最后安排一 组。每组是这样划分的：一位数任选一个，对应两位数中个位或十位都含有某一个数的。每组有18道，让学生 先写出算式，口算几遍后再直接写出得数。这样持续一段时间后（一般为2～3个月），其口算的速度、正确率 也就大大提高了。
二、针对性训练
小学高年级数的主体形式已从整数转到了分数。在数的运算中，异分母分数加法是学生费时多又最容易出 差错的地方，也是教与学的重点与难点。这个重点和难点如何攻破呢？经研究比较和教学实践证明，把分数运 算的口算有针对地放在异分母分数加法上是正确的。通过分析归纳，异分母分数加（减）法只有三种情况，每 种情况中都有它的口算规律，学生只要掌握了，问题就迎刃而解了。
1.两个分数，分母中大数是小数倍数的。
如“1/12＋1/3”，这种情况，口算相对容易些，方法是：大的分母就是两个分母的公分母，只要把小的分 母扩大倍数，直到与大数相同为止，分母扩大几倍，分子也扩大相同的倍数，即可按同分母分数相加进行口算 ：
1/12＋1/3＝1/12＋4/12＝5/12
2.两个分数，分母是互质数的。这种情况从形式上看较难，学生也是最感头痛的，但完全可以化难为易： 它通分后公分母就是两个分母的积，分子是每个分数的分子与另一个分母的积的和（如果是减法就是这两个积 的差），如2/7＋3/13，口算过程是：公分母是7×13＝91,分子是26(2×13)＋21(7×3)＝47，结果是47/91。
如果两个分数的分子都是1，则口算更快。如“1/7＋1/9”，公分母是两个分母的积(63)，分子是两个分母 的和(16)。
3.两个分数，两个分母既不是互质数，大数又不是小数的倍数的情况。这种情况通常用短除法来求得公分 母，其实也可以在式子中直接口算通分，迅速得出结果。可用分母中大数扩大倍数的方法来求得公分母。具体 方法是：把大的分母（大数）一倍一倍地扩大，直到是另一个分母小数的倍数为止。如1/8＋3/10把大数10，2 倍、3倍、4倍地扩大，每扩大一次就与小数8比较一下，看是否是8的倍数了，当扩大到4倍是40时，是8的倍数 （5倍），则公分母是40，分子就分别扩大相应的倍数后再相加(5＋12＝17)，得数为17/40。
以上三种情况在带分数加减法中口算方法同样适用。
三、记忆性训练
高年级计算内容具有广泛性、全面性、综合性。一些常见的运算在现实生活中也经常遇到，这些运算有的 无特定的口算规律，必须通过强化记忆训练来解决。主要内容有：
1.在自然数中10～24每个数的平方结果；
2.圆周率近似值3.14与一位数的积及与12、15、16、25几个常见数的积；
3.分母是2、4、5、8、10、16、20、25的最简分数的小数值，也就是这些分数与小数的互化。
以上这些数的结果不管是平时作业，还是现实生活，使用的频率很高，熟练掌握、牢记后，就能转化为能 力，在计算时产生高的效率。
四、规律性的训练
1.运算定律的熟练掌握。这方面的内容主要有“五大定律”：加法的交换律、结合律；乘法的交换律、结 合律、分配律。其中乘法分配律用途广形式多，有正用与反用两方面内容，有整数、小数、分数的形式出现。 在带分数与整数相乘时，学生往往忽略了乘法分配律的应用使计算复杂化。如2000/16×8，用了乘法分配律可 以直接口算出结果是1001.5，用化假分数的一般方法计算则耗时多且容易错。此外还有减法运算性质和商不变 性质的运用等。
2.规律性训练。主要是个位上的数是5的两位数的平方结果的口算方法（方法略）。
3.掌握一些特例。如较常遇见的在分数减法中，通分后分子部分不够减，往往减数的分子比被减数的分子 大1、2、3等较小的数时，不管分母有多大，均可以直接口算。如12/7-6/7它的分子只相差1，它差的分子一定 比分母少1，结果不用计算是6/7。又如：194/99-97/99，分子部分相差2，它差的分子就比分母少2，结果就是 97/99。减数的分子比被减数的分子大3、4、5等较小的数时，都可以迅速口算出结果。又如任意两位数与1.5积 的口算，就是两位数再加上它的一半。
五、综合性训练
1.以上几种情况的综合出现；
2.整数、小数、分数的综合出现；
3.四则混合的运算顺序综合训练。
综合性训练有利于判断能力、反应速度的提高和口算方法的巩固。
当然，以上这些情况，要使学生熟练掌握，老师首先要娴熟运用自如，指导时才能得心应手，提高效果。 同时训练应持之以恒，三天打渔两天晒网，是难以收到预期效果的。
发挥习题功能提高解题能力
小学数学课本中设置了大量的练习、复习题，这些习题与教材内容紧密配合，作为巩固知识和形成技能、 技巧之用。如何进一步发挥习题的功能，充分挖掘题目的智能因素，达到其应有作用呢？
一、联想──沟通纵横联系
由于数学知识间存在着内在的联系，当某些应用题需运用某个
知识点
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解题时，那么，与之相通的知识点同 样可用来解题。因此，解答这样的应用题要引导学生作广泛的联想，以沟通各知识点的纵横联系，充分发挥习 题的系统、整体功能，使学生的认知结构得到完善，达到练一题，带一类，连一片之目的。
例1.一种农药是由药和水按1:8的重量比混合而成的。5.4千克的药水中，含药和水各多少千克？
以求含药重量为例，对题中“1:8”作广泛联想，可得（下面的X均为含药重量）：
1.联想比，用按比例分配法求解：
5.4×1/(1+8)
2.联想比例求解：X:5.4=1:(1＋8)
3.联想分数求解：把水的重要看作“1”，药是水的1/8，则得5.4÷(1＋1/8)×1/8
4.联想倍数求解：把药的重量看作1倍，水是药的8倍，则得5.4÷(1＋8)×1
二、思同──把握问题实质
有些应用题情节、事理不同，但数量关系、解题方法完全一样。为了使学生能把握一类题的实质，在解答 某一题后，启发学生自编形异质同的应用题，促使他们寻求这类题的解题规律，从而收到触类旁通，殊途同归 的效果。
例2.车站有一批货物，用甲汽车10小时可以运完，用乙汽车15小时可以运完。用两辆车同时运，多少小时 可以运完？
让学生解答后，要求他们思考编出不同情节、事理，数量关系不变的应用题。
1.甲乙两地，客车行全程需10小时，货车行完全程需15小时。如果两车分别从甲、乙两地同时相向开出， 需要几小时才能相遇？
2.张老师到新华书店买分上、下两集的书，他带的钱只买上集正好能买10本，如果只买下集正好能买15本 。他的钱最多可买此书多少套？
3.一桶麻油，灌入同样的大瓶正好灌10瓶；灌入同样的小瓶正好灌15瓶。如果同时灌入大、小瓶，且要瓶 数相等，这桶麻油最多可灌大、小瓶各是多少瓶？
三、归结──探索解题规律
应用题的数量关系千变万化，但万变不离其宗。一类应用题的分析、解答是有其规律可循的。组织学生练 习时，切忌就题论题，搞“题海战术”。教师可先让学生解两、三道同类题，然后启迪学生从中总结出解题规 律，这样就能运用规律顺利地寻求同类题的解题思路。
例3.①李家庄小学的学生积肥。五年级学生积肥50筐，五年级积的肥比四年级积的2倍少2筐。求四年级积 肥的筐数。
(x)
②一个化肥厂，今年一月平均每日生产化肥284吨，比去年平均日产量的2倍还多44吨。去年平均日产量是 多少吨？
(x)
解这类题只需紧扣表达数量关系的关键“……比……几倍多（少）几”，便能迅速、正确地布列方程：
①五年级积的肥比四年级积的2倍少2筐
列方程：50＝x×2－2
②今年一月平均日产量比去年平均日产量的2倍还多44吨
列方程:284＝x×2＋44
由以上两例可见，解这类题的规律是在正确分析数量关系的基础上，将“……比……几倍多（少）几”看 作“……等于……的几倍＋（－）几”，便可顺利地列出方程。
四、求异──拓宽解题思路
课本中有些练习题的解法不止一法，教师要引导学生求异，探索多解。也有的练习题是随着学生知识的增 多而解法有所不同，所以，教师可组织学生作“旧题新做”的练习，这样既能加深对题目的数量关系、结构特 征的理解，又能拓宽学生的解题思路，培养发散性思维。
例4.解放军某部进行野营训练。原计划15天行军525千米，实际提前1天行完了原定路程，平均每天比原计 划多行多少千米？
1.教学一般复合应用题时的解法
525÷(15－1)－525÷15
2.教学列方程解应用题后的解法
设平均每天比原计划多行x千米
列方程(525÷15＋X)×(15－1)＝525
或525÷15＋x＝525÷(15－1)
3.教学分数应用题后的解法：
525×(1/15－1－1/15)
4.教学比和比例知识后的解法：
设平均每天比原计划多行x千米。
因为总路程不变，所以原速：现速＝14:15
列比例式：(525÷15):x＝14:(15－14)
由此可见，教学中若能经常地训练学生提取头取脑中所储存的信息，综合运用所学知识，多角度分析解决 问题，则解题方法就会越发灵活、简便。
五、变通──提高应变能力
由基本题出发，通过纵横变换成较复杂应用题，能使学生把握应用题的结构特征，了解较复杂应用题的来 龙去脉，掌握解题的思考方法。这样便可消除学生的畏难情绪，增强解题的信心，有利于开阔视野，提高应变 能力。
例5.两列火车同时从甲地和乙地相对开出。
甲车平均每小时行75千米
①
乙车平均每小时行69千米，
②
两列火车开出后16小时相遇。
③
甲地到乙地的铁路长多少千米？
④
首先让学生解题，并写出数量关系式：
（甲速＋乙速）×相遇时间＝两地间的路程
① ② ③ ④
然后，引导学生作如下变换后再分别解题：
1.已知①、②、④，求③？
2.已知①（或②、）③、④，求②（或①）？
3.变②为：“乙车平均每小时比乙车少行6千米”。
4.变③为：“两列火车开出14小时后，还相距288千米”。或为：“两列火车开出16小时相遇后又相距288 千米。”
5.变④为：“相遇时，甲车比乙车多行了多少千米？”或为：“相遇后甲车距乙地还有多少千米”
……
通过这样一题多变，使学生牢固地掌握这类题的数量关系、解题方法及其变化，从而提高学生的解题能力 。
总之，只有充分发挥习题的各种功能，促进知识与能力的相互转化，使学生从“题海”中解脱出来，才能 提高学生分析、解决问题的能力。
解答判断题的几种思考方法
近几年来，随着教学的改革，
标准
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化试题中出现了一类判断题型。这种题是理论性较强的一类题，它能加 强对概念、法则、意义的理解，在做题时尤其应当谨慎处理。为提高学生判断能力，我们在教学实践中总结了 几点思考判断题的方法。
一.验证法：用题中的条件验证题中的结果
例1 在除法里，如果被除数小于商，除数一定是真分数。（√）
分析 “在除法里，如果被除数小于商”根据这个条件举例验证，“除数一定是真分数”这句话。如果被 除数是1，那么商一定是大于1的数，才能符合本题意，所以1÷（ ）＝2，由此得出除数是──，
1/2
──是真分数，此题是正确的。
二.概念法：用所学的概念分析判断
例2 如果A和B互为倒数，则 1÷A＝B。（√）
分析 因为“乘积是1的两个数，叫做互为倒数”，那么，A×B ＝1导出1÷A＝B，所以此题是正确的。
三.画图法：用图示帮助理解判断
例3 甲数比乙数多──，而乙数比甲数少──。（×）
附图{图}
画图分析 以乙数为单位“1”，乙数是3份，甲数比乙数多──，
甲数是4份，则乙数比甲数少───。所以这句话是错误的。
四.计算法：通过计算结果作出正确判断
例4 有三根铁丝都是长37.68米，围成长方形、正方形、圆形后，按围成的面积的大小排列顺序：正方形 面积＞长方形的面积＞圆形的面积。（×）
分析 涉及到三种图形的面积，必须求出三种图形的结果，便知对错：
1.①正方形的边长：37.68÷4＝9.42（米）
②正方形的面积：9.42×9.42＝88.7364（平方米）
2.①圆的半径：37.68÷3.14÷2＝6（米）
②圆的面积：6×6×3.14＝113.04（平方米）
3.①长方形的长和宽的和：37.68÷2＝18.84（米）
长方形的长和宽分别假设是9.43米和9.41米
②长方形的面积：9.43×9.41＝88.7363 （平方米）所以此题是错的，应排列为：
圆的面积＞正方形的面积＞长方形的面积
以此得出结论：在周长相等的平面图中，所围成的图形的面积相比较，圆的面积最大。
五.假设法：通过设数作出判断。
例5 有两根同样长的钢管，第一根用去──米，第二根用去──，
那么剩下的部分一样长。（×）
分析 ①假设这两根钢管都是长1米，那么1－──＝──（米）
1×（1－──）＝1──（米）
在这种情况下两根剩余的部分同样长。
②假设这两根都是2米。
那么2－──＝1──（米），
2×（1－──）＝1──（米），
那么用去──米的那一根剩下的长一些。
③假设这两根都是长0.5米，
那么0.5－──＝──（米），
0.5×（1－──）＝──（米），
1
用去──的那一根剩下的长些。
3
由此可知：这道题是错误的，得出：相同的分数可能表示不同的数量和分率，因此往往不能进行比较。
六.0和1的特殊功能法：利用特殊数（0或1）解决判断题
例6 甲数除以乙数，等于甲数乘以乙数的倒数。（×）
分析 因为“0”不能做除数，0做除数没有意义；所以应改为甲数除以乙数（0除外）等于甲数乘以乙数的 倒数。
例7 一个大于0的数，除以一个假分数，商小于被除数。（×）
分析 因为假分数有两种情况，一种是等于1的假分数， 另一种是大于1的假分数，如果这个假分数是等于 1的，那么商就等于被除数。所以这种说法是错误的。
小学数学思维训练法
在小学数学的简便运算教学中，教师要精心设计习题，把常见的简便运算梳理成口算、凑、分、估、合、转、变、略、消等方法，能有效地培养学生思维品质，促进学生思维能力和教学质量的提高。
一、抓口算，培养学生思维的敏捷性
准确迅速的解题思维活动是思维敏捷性的重要表现。抓口算基本训练，能提高学生应用法则的能力。口算时应注意两点：其一，不动笔，动笔计算不利于提高口算能力，亦不利于培养学生思维的敏捷性。其二，计算时要有速度的要求，使学生有一种紧迫感。
二、抓凑整，培养学生思维的灵活性
思维的灵活性反映了思维活动在选择角度、运用方法、展开过程诸多方面的灵活程度。主要抓以下几方面的训练。（１）凑。就是把数凑成整十、整百等，再进行计算。即用凑整法，多加再减或多减再加。（２）分。就是把运算中的一个数拆开，分别与另一个数运算，便于凑整运算。（３）估。算能提高学生的自检能力，提高速算的正确率，有利于培养学生思维的灵活性。估算，一般地把某些数估成与它最接近的整十、整百等，先估结果大约是多少，再精确做答。其次用估算检验。
三、勤归纳，培养学生思维的深刻性
思维的深刻性，是指思维活动的抽象程度与逻辑水平。主要抓住以下几方面训练。（１）合。根据凑整的特点，把两个数或两个以上的数合并，便于口算、心算。（２）转。转化运算方法，化繁为简，促使心算。引导学生总结规律，加深对知识的理解和记忆。（３）变。就是改变运算顺序，变型不变值。根据法则定义，改变运算符号和数据，促使学生对知识融会贯通。一是抓逆运算，二是掌握特殊性质，加深对题目的深刻理解，从而培养学生思维的深刻性，提高学生巧算能力。
四、精设题，培养学生思维的独创性
思维的独创性一般表现为多思善想，新颖独特等特点。主要抓以下几个训练。
（１）略。根据０和１在运算中的特殊性，使计算步骤省略，从而培养学生独特的创新思维。
（２）消。把两个相对应的数（如＋３与－３）对消，减少运算步骤，培养学生创新思维。
总之，在小学数学教学中，通过简便运算，注重学生思维能力的培养训练，能有效地提高教学质量，并能促进学生运算技能的提高。
相遇问题的十种训练形式
１．视图训练。这种训练，旨在能使学生凭借直观图形，进一步感知“相遇问题”，认识其特点。如：仔 细观察下图，再填空。
（附图 {图}）
李成和孔华的运动方向是（ ），从同时出发到相遇，经过了（ ）分钟，Ａ、Ｂ间的路程等于（ ）和 （ ）两段路程的和。
２．推理训练。即让学生分析解题思路，培养他们的逻辑推理能力。如：画出下题的分析思路框图。
甲地到乙地的公路长４３６千米。两辆汽车从两地对开，甲车每小时行４２千米，乙车每小时行４６千米 。甲车开出２小时后，乙车才出发，再经过几小时两车相遇？
３．技能训练。让学生在实际解题中，掌握相遇问题应用题的数量关系，形成熟练的技能技巧。如：根据 所求问题填写关系式，再解答。
李明和陈亮同时从Ａ、Ｂ两地出发，相向而行，李明每分走７５米，陈亮每分走５０米，６分钟后两人相 遇。Ａ、Ｂ两地间的路程是多少米？
（ ）×（ ）＝（ ），
（ ）×（ ）＋（ ）×（ ）＝（ ）。
４．补题训练。要求学生结合已知条件，补充相应的问题，或从问题、算式出发补充需要的条件。如：
（１）两城之间的公路长２５５千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行４８千米，乙车每小 时行３７千米。
①补充一个问题使它成为两步计算应用题：
问题————，解答————；
②补充一个问题使它成为三步计算应用题：
问题————，解答————；
③补充一个问题使它成为四步计算应用题：
问题————，解答————。
（２）一列快车从甲站开往乙站每小时行驶６５千米，一列慢车同时从乙站开往甲站，每小时行驶６０千 米，————。求甲、乙两站间的距离是多少千米？
根据下面的算式补充条件：
（６５＋６０）×［１０×２÷（６５－６０）］。
５．多解训练。如：
小强和小明同时从甲、乙两地相对而行，小强骑自行车每小时行驶１２千米，小明骑摩托车的速度是小强 骑自行车速度的４倍，经过３小时两人相遇。甲、乙两地相距多少千米？（用多种方法解答）
在教师的点拨下，学生先后用下面三种方法解题：
①１２×３＋１２×４×３；
②（１２＋１２×４）×３；
③１２×（１＋４）×３。
６．说算理训练。让学生根据算式说出其表示的实际意义，能够提高他们思维的准确性及算理的清晰度。 如：
甲城到乙城的公路长４７０千米。快慢两汽车同时从两城相对开出，快车每小时行５０千米，慢车每小时 行４４千米。
①４７０÷（５０＋４４）表示————；
②４７０－５０＋［４７０÷（５０＋４４）］表示————；
③（５０－４４）×［４７０÷（５０＋４４）］表示————；
④４７０－（５０＋４４）×３表示————；
⑤（４７０－９４）÷（５０＋４４）表示————。
７．选择训练。即让学生根据应用题的条件和问题来选择正确算式的练习，它可以使学生建立条件、问题 、算式间的对应关系，锻炼辨析能力。如：
东西两城相距４０５千米。一列货车以每小时５５千米的速度从西城开往东城，开出３小时后，一列客车 以每小时６５千米的速度从东城开往西城。
Ａ、４０５÷（５５＋６５）；
Ｂ、（４０５－５５×３）÷（５５＋６５）；
Ｃ、（４０５－６５×３）÷（５５＋６５）。
（１）表示两车同时相对开出求相遇时间的算式是（ ）；
（２）表示货车开出３小时后，客车才开出，求货车再经过几小时与客车相遇的算式是（ ）；
（３）表示客车开出了３小时后，货车才开出，求客车再经过几小时与货车相遇的算式是（ ）。
８．判断训练。如：
甲乙两城相距８５５千米。从甲城往乙城开出一列慢车，每小时行驶６０千米；３小时后，从乙城往甲城 开出一列快车，每小时行驶７５千米。快车开出几小时后将同慢车相遇？
根据题意，判断下列算式是否正确。正确的在方框里打“√”，错误的打“×”。
□８５５÷（６０＋７５）；
□（８５５－７５×３）÷（６０＋７５）；
□（８５５－６０×３）÷（６０＋７５）；
□（８５５＋６０×３）÷（６０＋７５）；
□（８５５－６０×３）÷７５。
９．变式训练。组织学生进行变条件、变问题、变事理的练习，有利于他们找出题目的差异和内在联系， 融会贯通地掌握数学知识，培养灵活变通能力。如：
基本题：甲乙两车从两地同时出发相向而行，甲车每小时行４０千米／①，乙车每小时行６０千米／②， 经过３小时相遇／③。两地相距多少千米？
（１）变条件：Ａ．变①为“甲车每小时比乙车少行１０千米”，Ｂ．变②为“乙车每小时比甲车多行１ ０千米”；Ｃ．变③为“４小时后还相距２０千米”。分别怎样解答？
（２）变问题：把问题分别变为“相遇时两车各行了多少千米？”、“相遇时哪辆车行的路程多？多多少 ？”、“乙车行完全程要多少小时？”。分别怎样解？
（３）变事理，要求学生解答下面两题。
Ａ．两个工程队合修一段公路，甲队从南到北每天修２８５米；乙队从北到南每天修３５０米。经过３０ 天完工，这段公路长多少米？
Ｂ．两个打字员合打一份１３４００个字的文稿，甲每分钟打３５个字，乙每分钟打４０个字。甲先打１ ４００个字后，两人合打要用多少分钟才能打完？
１０．编题训练。教师提供编题材料，提出编题要求，让学生自编应用题的训练，能促使学生深入理解相 遇问题应用题的结构特点，培养他们的数学语言能力。如：
（１）根据下式编一道相遇问题应用题。
［４３＋（４３＋５）］×２；
（２）看图编应用题。
（附图 {图}）
小学生解答复杂应用题的困难原因分析
应用题历来是小学数学教学的难点，但也是发展学生思维能力的重要工具。对于小学生解答应用题的困难 原因分析，既有利于改进教学方法，提高教学质量，也有利于对差生的学习障碍进行诊断，提高他们的思维技 巧。
对于造成一步或两步计算应用题困难的原因，国内早有研究。研究者认为，解一步应用题困难的原因主要 是学生对应用题的结构、类型以及对应用题中时间、空间的叙述不能正确理解；解两步应用题困难的原因主要 是没有学好一步应用题和没有掌握好分析应用题的方法。
我们针对三步以下应用题的困难原因进行了研究。在两所小学的六年级各选取2名最优秀的学生和2名中等 偏差学生，采取个别测试的方法，让他们每人分析6个应用题并列出算式（题目附后），要求他们解题时自言自 语“出声思维”，以研究他们的思维过程。每个题限思考8分钟。
结果列于下表。
表1 各题的有关特征及正确人数 题类型 分数应用题 行程应用题 归一应用题 题号 1 2 3 4 5 6 步骤数 3 4 3 5 3 5 优生（4人） 3 4 0 1 4 4 中下生（4人）1 0 0 0 2 3 合计（8人） 4 4 0 1 6 7
显然，总的来说，优生的成绩明显高于中下生，但差别最明显的是中等难度的题（第1、2、5题），在最容 易的题目上（第6题）正确率都很高，最难问题上（第3、4题）正确率都极低，差异均不显著。这可能是因为优 生和中下生都具备了一定的解决应用题的技巧，在解决较复杂的问题上，优生显然具备了更高的解题技巧，但 即使是优生，在解决第3、第4这样的题目时，也会显得一筹莫展，正确率极低。这充分暴露了应试教育在思维 技能培养上的缺陷。
小学生解答复杂应用题困难的主要原因是什么？我们原先设想，解答步骤越多，难度越大，但本实验的结 果证明，无论对于优生和差生来说，第1、2、3、5题（均为三步计算）的难度并不小于第2、4、6题（均为四至 五步），步骤多少不是造成复杂应用题困难的主要原因。那么主要原因在哪里？我们请有经验的数学教师（数 学教研组长、副校长）就这6个题的“典型程度”打分（每个题的典型程度是指该题在学生教材例题和习题中出 现的可能性大小），结果表明，典型程度和困难程度（正确率）呈高度相关（没有经验的教师“典型程度”评 分与困难程度相关系数偏低）。或许这能说明复杂应用题困难的最主要原因：小学生习惯于在解题时生搬硬套 教材中的例题和习题，缺乏创造性的思维技巧，因此出现对“不典型”的应用题的束手无策现象。
那么，对于典型程度不高的应用题，小学生感到困难的原因是什么呢？我们详细分析了学生解题过程中的 “出声思维”的记录，发现至少存在以下四个原因：
一、基本概念并未真正形成或熟练程度不够，所以容易错误
地判断题的类型
这一问题主要表现在中下生身上，下面是一位中下生解第4题的部分思维过程：
……用速度乘以时间，时间怎么求呢？
……不对，把整条水渠看成单位"1"
可以把甲队每天修的米数看成1/35，把乙队修的看成1/38，……知道怎么做了，用35与38的和去除以1/35 与1/38的和……
该生起初的思路是对的，可以把“每天挖35米”看成是速度，但由于“总长”不知道，因此无法求“时间 ”，所以该生很快否定了自己的正确思路，开始设想把整条水渠看成单位"1"，接下来又错误地把甲队每天修的 米数看成1/35。显然，该生头脑中的分数概念关未真正形成，至少分数概念并未达到熟练程度。1/35的真正含 义是“每米占全天工作量的1/35”，或者进一步理解为挖1米所需时间是全天时间的1/35，而不能理解成为“每 天能完成总工作量的1/35”。由于分数概念未牢固掌握，所以错误地把这个题看成是“工程问题”。
格式塔心理学家韦特海默尔(M.Weitheimer)早在1959年就发现，学生只要照搬老师的例题，就能运用“底 ×高”的公式来解决平行四边形面积计算问题，但头脑中并未真正行成“平行四边形面积”的科学概念，所以 遇到和老师画的平行四边形不同的奇特的非典型的平行四边形时，就束手无策了。他批评传统教学方法阻碍了 学生创造力的发展。
值得一提的是，运用传统方法进行教学时，学生往往凭生搬硬套就能解决基本概念问题（表现为一步计算 的应用题），而且多数情况下能得到正确答案。这样，教师无意之中强化了学生机械模仿与不深入思考的思维 习惯。
如何解决这一问题？我们认为最根本的措施是改革传统的应用题练习方法，应该用大部分时间练习那些单 凭机械模仿不能奏效的习题形式，如根据题意补充已知条件、删除多余条件，自己提出未知条件，依据数学运 算式自编应用题，说明在特定题意前提下的一个算式（或一个分数）的意义，等等。
二、不善于从整体上把握题目中的数量关系，因此不能正确
识别题的类型
当代认知心理学家西蒙(H.A.simon)认为，解决应用题的过程是“模式识别”的过程。例如，当学生识别出 眼前的应用题是“相遇问题”，就能调用有关相遇问题的解题方法来解决眼前的题。因此，识别问题的类型就 成了解题的关键。然而，困难的题往往“伪装”得很巧妙，让人难以识别其真面目。例如，第3题，表面上看是 个“相向问题”，而实质上是个“相遇的题”。尽管此题只需三步便能计算出来，然而在我们的实验中没有一 个学生能正确列出算式。下面是一位“优生”的思维过程：
先求甲车走完AB所用的时间：205÷48，
然后乙车速度乘以这个时间就是乙车所走的路程，205÷48×52，
然后再减205就是甲车……（发现不对），
205减去乙车沿原路返回的路程……不对，怎么做呢……
甲每小时48、乙每小时52……
52×(205÷48)－205……（又发现不对）
乙车每小时比甲车多行4公里(52-48)，
甲车行了几小时？每小时多行4…
205÷4就是乙车行的时间，……乙车返回……
很显然这位“优生”未能识别这个题“实质是相遇问题”的根本原因在于他未能形成对这个问题的“整体 把握”，只是就单个的句子进行联想或推理。如果画出下面一个示意图，就能从整体上理解题意，并因此很容 易识别出题的类型和相应的解题方法。
（附图 {图}）
由此看来，如何训练学生准确理解题意，特别是从整体上把握题目中的数量关系，是提高学生解答复杂应 用题能力的重要任务之一。我们认为，在这方面应该注意两个问题：第一，是研究学生把握题目整体数量关系 的特点，总结出把握题目整体数量关系的思维技巧并进行专门的训练，第二，必须使这种思维方法“条件化” 。所谓条件化，就是指知道这种思维方法在什么条件下使用。以上述第3题的“画图示”的思维方法为例，优等 生应该具备了画图示的能力，却不知道什么时候应该画图示，结果该画图时，却不去画图，从而难以从整体上 把握该题的题意及数量关系。
三、未能把解题模式抽象成为一种思维策略，所以难以识别
非典型的复杂应用题
国内的一项研究发现，许多能顺利解决下述例1问题的小学生却不能解决例2这样的问题。
例1 师傅完成某件工作需6天时间，而徒弟则需要8天才能完成，若师徒二人同时干，需多少天才能完成？
例2 妈妈上街买布，她选中了两种布，如果买第一种布，她的钱只够买6米，而买第2种布则可以买8米， 现在她决定两种布买相同数量，问两种布各可以买多少米？
这两个题是“同型的题”，为什么解第2个题困难得多呢？这是因为第一个题“典型得多”，一看便知是“ 工程问题”。但是，一些优生能顺利地解决例2，他们的思维方法是：“如果总体不知道，又要对总体按一定比 例进行划分，那么设它为"1"。很显然，在他们的头脑里，已经将“工作效率×工作时间＝工作总量”的应用题 解题模式上升成为一种抽象的思维策略，并且，这种策略已经条件化了，表述为“如果……那么……”，或“ 当……的时候，就……”。
再以本研究的第4题为例，如果学生头脑中能够将追击问题的解题模式上升为一种更抽象的模式：行程距离 之差÷速度之差＝行程时间，那么，他们实质上已经掌握了一种思维策略，就很容易识别出第4题的解题方法。 因此，我们在教学中，不仅要让学生掌握基本的解题类型或模式，而且要在基本模式熟练化的基础上，不失时 机地逐步进行思路上的抽象，发展起更抽象，更复杂的“解题模式”（或叫思维策略）。我们提倡教给学生解 题后的反思技巧（思路概括的技巧）：在遇到困难的新的习题时，解题之后要反思该题和过去见过的题有什么 不同之处，在解法上有什么特点，这种解法还可以用于其它什么场合？这样做，就能确保学生头脑中积累的“ 思路”越来越多，且概括程度越来越高，真正做到练习效率高，能够举一反三，触类旁通，思维的灵活性和创 造性不断得以提高。遗憾的是在传统教学中，学生的注意力往往集中于寻找习题的正确答案，一旦找到正确答 案，思索便停止了。这样的做法，很不利于思路的反思和概括，不利于解决复杂应用题能力的提高。
四、不能进行双向推理，所以难以接通已知条件和未知条件
的关系
可以说所有的习题都是先提供已知条件，然后提出一个未知条件（问题），要求学生利用已知条件来求未 知条件的数量或证明未知条件的成立。在解题时，思考的方向分为顺向和逆向推理方式。
顺向推理由于思维方向不明确，容易推导出众多的起干扰作用的中间变量，并且易使学生一旦走上错误的 思维方向就迷途难返，本实验中的中下生尤其如此。而逆向推理虽方向明确，始终把未知量作为思维的出发点 ，但由于未知量与已知量的关系很难接通，也容易造成学生解题失败。
在多数情况下，特别是解难题时，最好采用双向推理。顺向推理可以推导出更多的供选择使用的“已知条 件”，逆向推理使我们始终明确思维的方向，双向推理有助于顿悟和灵感的突然出现，能有效地缩短已知和未 知之间的距离，更有助于我们在心理视野范围内“看穿”已知和未知之间的路径。遗憾的是，本实验所选取的 被试（不论是差生还是优生）都不具备这种能力。看来，双向推理能力的训练已不能再忽视了。
我们认为，要想提高小学生解答复杂应用题的能力至少应采取以下三条措施：改革教学方法，确保学生准 确、熟练地掌握基本概念，并形成基本模式；教学生解决困难问题之后进行思路反思和概括的技巧，抽象出高 级的模式；教学生分析题意、整体上理解数量关系的技巧，以确保能识别出高级模式，并调动头脑中有关模式 灵活地解决眼前的复杂的题。
附录：测验用题
1.小明读一本课外读物，4天读了总页数的1/4，照这样的速度读了8天后，还剩45页没有读完，这本书有多 少页？
2.有一段路，一辆自行车第一天走了全程的1/4，第2天比第一天少走了5千米，还剩20千米没有走完，这段 路共有多少千米？
3.A、B两站相距205千米，甲乙两车同时从A站出发，向B站行驶，甲车每小时行48千米，乙车每小时行52千 米，乙车到达B站后立即沿原路返回，两车从出发到相遇经过了几小时？
4.甲、乙两队开挖一条水渠，两队从两端同时挖，甲队每天挖35米，乙队每天挖38米，结果在距中点3.75 米的地方接通，这条水渠共有多少米？
5.一辆自行车，4小时行72千米，现在要沿着一条环城路跑三圈，每圈18千米，需几小时？
6.一个修路队8个人5天可修路2160米，照这样计算如果增加10人，要修4860米，需几天完成？
小学生解题心理性错误原因分析与对策
无论数学问题的复杂性如何，小学生在解题过程中通常都要经过问题的识别、记忆、理解、激活背景观念 、选择调整解题方法等步骤。这表明主体能否顺利完成解题，除了依赖原有的知识技能外，还和本身的心理能 力和智力品质密不可分。有的数学题，主体虽已具备解决问题的必要的知识技能，但由于存在某种心理障碍， 仍然可能出错，甚至无所适从。因此分析并确定学生解题错误中的心理方面的原因，并提供有效的教学对策， 对提高学生的解题能力有着十分重要的意义。
一、心理性错误的原因分析
从小学生的心理状态来讲，解题出错大致可分为两类：视觉性错误和干扰性错误。
1.视觉性错误
视觉的感受器是眼，眼与视神经、大脑皮层的有机联系就形成了视觉。数学问题的这一知觉对象的各个部 分对大脑的刺激具有强弱的差别。强知觉对象往往会抑制弱知觉对象在大脑中产生的兴奋，造成对弱知觉
对象的暂时遗忘而出错。
比如学生计算类似（3＋1.75－1─×─）÷（4─÷5）＋1的式题时，
常常会因前面部分（强知觉对象）计算复杂，而忘记加上后面的“1”（弱知觉对象）。
此外，视觉参考（如小数加减法则以小数点为视觉参考等）、视觉注意的分散等，也是造成解题错误的一 种视觉性错误。
2.干扰性错误
干扰发生的心理原因，是当人的感觉器官受到某一强刺激的持续作用时，神经中枢就产生相当稳定的、集 中的兴奋，形成优势兴奋中心，由于优势原则的影响，在解题时，常常形成干扰而造成错误。具体表现如下：
（1）定势性干扰。如， 我们曾给学过分数应用题的六年级学生出示过如下一道试验题：
①一根长1米的电线，用去─后，还剩下多少米？
②一根长10米的电线，用去─后，还剩下多少米？
③一根长100米的电线，用去──米后，还剩下多少米？
结果有53％的学生错误地认为第③题的结果是100×（1－──）＝
80（米）。这显然是学生受到第①、②题的定势影响，不知不觉地把思维纳入了①、②题的解法惯性轨道 而导致第③题解答出错的。
（2）经验性干扰。比如，学生计算50＋80500÷（25＋75×23）时，见到25和75之和刚好能凑成100，即形 成定势兴奋， 仅凭借自己已有经验，忽视了计算顺序，因而造成错误。
（3）思维性干扰。如学生计算19×19──时， 在百思不得其解而处
于迷惘中，突发灵感，发现由19──＝20－──该题可以进行简便计算，
中枢神经的这一活动形成了优势，往往使学生忽略了某个环节的细微之
处，出现的错误：19×19──＝19×（20－──）＝19×20＋19×─＝
19
380——。
20
以上只是解题过程中学生发生的两类心理性错误的原因分析，实际上，学生出现的心理性错误，往往是由 一个或几个原因交织而成的，这是一个值得深入探讨的问题。
二、心理性错误的教学对策
针对上述心理性错误表现及原因，教学中要着重使学生养成注意力集中、兴奋适度等良好学习习惯。具体 可有如下做法供参考：
1.暴露思维过程
数学教学是思维教学，充分暴露思维过程，特别是暴露思维受阻时，如何加强思维操作的自我监控，进行 思维的合理调节的过程，必将有助于学生弄清一般范围、功能解决、特殊解决的三个解题过程的有效层次，形 成正确的心理势态，以探求到正确的解题途径。
如，学生计算9──×──＋──×──时，教师可以让学生自行
尝试，充分暴露其思维（受阻）过程：
尝试一：试图根据乘法对加法的分配律，提出分母为23的某个分数，以便进行简便运算。
9──×──＋──×──
8 2 2 2 7
＝9──×──＋──×（──＋──）
17 23 17 23 23
8 2 2 2 2 7
＝9──×──＋──×──＋──×──
17 23 17 23 17 23
＝（9──＋──）×──＋──×──
至此，计算还是不简便（继续下去很可能出错），尝试失败。
尝试二：试图仿上提出分母是17的某个分数，以简化计算。但发现这不仅困难，而且更繁。尝试再次失败 。
尝试三：发现仅在分数分母上做文章不易，试图以带分数9──为
突破口，适当变形后寻求巧解。
9──×──＋──×──
＝（10－──）×──＋──×──
＝10×──－──×──＋──×──
成功了！继续据此思考更妙解法，于是有下列解法。
尝试四：发现──×──与──×──刚好为两个分数分子进行对
调。故有9──×──＋──×──
＝ 9──×──＋──×──
＝（9──＋──）×──
＝10×──
＝──
上述简便运算的策略完全出自于学生思维过程的充分暴露，是学生不断进行思维操作的自我监控、评价与 调节的结果。这样的教学过程固然有助于学生养成集中思维等好习惯。
2.加强变式训练
在平时新知教学中，提供充分、全面的变式，能帮助学生从事物的各种表现形式和事物所在的不同情境中 认识事物的本质属性，对概念、法则等的理解更精确、更概括，更易于迁移。
在感性向理性的抽象思维活动中，除了提供常态的标准材料，还应变换材料的非本质属性（本质属性必须 保持恒态），提供充分的事物变式让学生去感知、比较、领悟。比如，教学过梯形的概念后，应即出示如下图 形，让学生去辨别图中哪几个为梯形。这种充分全面的变式教例，使学生从具体到抽象概括的思维活动趋势于 完善，形成的概念是深刻和可概括的。在以后概念应用中才能不犯或少犯仅凭视觉等而造成的错误。
附图{图}
当然，变式不仅运用于几何初步知识，在概念教学、计算教学和应用题教学等中，均可为学生提供适当的 变式情境，使理解进入更高的概括化程度，从而突破定势性等干扰。
3.重视反思教学
学生解题受阻后，一旦激发，产生顿悟，欣喜之余往往伴有着一种冲动心态，导致自身干扰增强，记忆冲 淡，形成暂时遗忘，使自己陶醉于胜利之中，从而忽视了必要的检查，极可能出错。此时，教师应重视引导学 生进行批判性回顾，以克服学生思维性干扰带来的弊端。反思，通常可从如下几方面入手。
（1）反思所运用的知识（概念、法则、性质、 公式等）的正确性。如四则计算中，有没有遵循四则混合 运算的规定等。所套用的公式是否正确无误等。
（2）反思所采用的解题方法是否合理或最佳。使用方法不合理，该如何调节。方法合理，是不是使解题简 捷等。
（3）反思数学问题本身有何特点。 特别注意挖掘出题中隐含的条件，谨防考虑不周，解题出错。
（4）反思解题格式是否
规范
编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载
。
总之，要在学生常犯错误的关键之处，经常适时地引导学生去反思、回顾，培养学生批判性数学思维品质 ，达到突破思维性干扰等，从而顺利正确解题的目的。同时，还有助于学生养成善于独立思考、善于提出疑问 、能够及时发现并纠正错误的良好习惯。
三年级上册综合测试
一、填空
1.计算：1993＋1992—1991—1990+1989+1988—1987-1986＋…＋5+4—3—2+1
2.把1、2、3、4、5、6这6个数字分别填入下面算式的6个方格内，能得到的两个三位数的和的最小值是（ ）。
3.求三个连续奇数的乘积的个位数字最小是多少。
4.按照下列图形的排列规律、在空格处填上合适的图形。
5.下图中，任意五个相邻方格中的数字之和都相等，则在第四个方格中应填______。
6.建筑工人计划修9条笔直的公路，并在被公路分割开的每个区域内各修一幢楼房，则最多可以修______幢楼。
二、解答题
1.五个连续自然数的和分别能被2、3、4、5、6整除，求满足此条件的最小的一组数。
2.小明与同学做游戏，第一次他把一张纸剪成6块；第二次从第一次所得的纸片中任取一块又剪成6块；第三次再从前面所得的纸片中任取一块剪成6块，这样类似地进行下去，问第10次剪完后，剪出来的大小纸片共多少块？是否有可能在某一次剪完后，所有纸片的个数正好是1993？
3.有一个五位奇数，将这个五位奇数中的所有2都换成5，所有5也都换成2，其他数保持不变，得到一个新的五位数，若新五位数的一半仍比原五位数大1，那么原五位数是多少？
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