2012数学分类汇编-推理与证明

1.湖南16.设N=2n（n∈N*，n≥2），将N个数x1,x2,…，xN依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到；当2≤i≤n-2时，将Pi分成2i段，每段个数，并对每段C变换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置. （1）当N=16时，x7位于P2中的第___个位置； （2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第___个位置. 【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】（1）6；（2） 【解析】（1）当N=16时, ,可设为, ,即为, ,即, x7位于P2中的第6个位置,； （2）方法同（1）,归纳推理知x173位于P4中的第个位置. 【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题. 2.江苏20．（2012年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，， （1）设，，求证：数列是等差数列； （2）设，，且是等比数列，求和的值． 【答案】解：（1）∵，∴。 ∴ 。∴ 。 ∴数列是以1 为公差的等差数列。 （2）∵，∴。 ∴。（﹡） 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。 ∴综上所述，。∴，∴。 又∵，∴是公比是的等比数列。 若，则，于是。 又由即，得。 ∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。 ∴。 ∴ 。 【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。 【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。 （2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。 从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。 3.江西6．观察下列各式：则（ ） A．28 B．76 C．123 D．199 6.C【解析】本题考查归纳推理的思想方法. 观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11，…， 发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右边依次为1,3,4,7,11，18,29,47,76,123,…， 故 【点评】归纳推理常常可借助前几项的共性来推出一般性的命题.体现考纲中要求了解归纳推理.来年需要注意类比推理等合情推理. 4.全国卷大纲版22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效） 函数。定义数列如下：是过两点的直线与轴交点的横坐标。 （1）证明：； （2）求数列的通项MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1714008121699_0。 解：（1）为，故点在函数的图像上，故由所给出的两点，可知，直线斜率一定存在。故有 直线的直线方程为，令，可求得 所以 下面用数学归纳法证明 当时，，满足 假设时，成立，则当时，， 由即也成立 综上可知对任意正整数恒成立。 下面证明 由 由，故有即 综上可知恒成立。 （2）由得到该数列的一个特征方程即，解得或 ① ② 两式相除可得,而 故数列是以为首项以为公比的等比数列[来源:Z.xx.k.Com] ,故。 【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用。先从函数入手， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示直线方程，从而得到交点坐标，再运用数学归纳法进行证明，根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通基。 【点评】以函数为背景，引出点的坐标，并通过直线与坐标轴的交点得到数列的递推公式。既考查了直线方程，又考查了函数解析式，以及不等式的证明，试题比较综合，有一定的难度。做这类试题那就是根据已知条件，一步一步的翻译为代数式，化简得到要找的关系式即可。 5.陕西11. 观察下列不等式 ， ， …… 照此规律，第五个不等式为 ． 【答案】 【解析】观察不等式的左边发现，第n个不等式的左边=， 右边=，所以第五个不等式为. 6上海23．对于数集，其中，，定义向量集 . 若对于任意，存在，使得，则称X 具有性质P. 例如具有性质P. （1）若x＞2，且，求x的值；（4分） （2）若X具有性质P，求证：1(X，且当xn＞1时，x1=1；（6分） （3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列的通 项公式.（8分） [解]（1）选取，Y中与垂直的元素必有形式. ……2分 所以x=2b，从而x=4. ……4分 （2）证明：取.设满足. 由得，所以、异号. 因为-1是X中唯一的负数，所以、中之一为-1，另一为1， 故1(X. ……7分 假设，其中，则. 选取，并设满足，即， 则、异号，从而、之中恰有一个为-1. 若=-1，则2，矛盾； 若=-1，则，矛盾. 所以x1=1. ……10分 （3）[解法一]猜测，i=1, 2, …, n. ……12分 记，k=2, 3, …, n. 先证明：若具有性质P，则也具有性质P. 任取，、(.当、中出现-1时，显然有满足； 当且时，、≥1. 因为具有性质P，所以有，、(，使得， 从而和中有一个是-1，不妨设=-1. 假设(且(，则.由，得，与 (矛盾.所以(.从而也具有性质P. ……15分 现用数学归纳法证明：，i=1, 2, …, n. 当n=2时，结论显然成立； 假设n=k时，有性质P，则，i=1, 2, …, k； 当n=k+1时，若有性质P，则 也有性质P，所以. 取，并设满足，即.由此可得s与t中有且只有一个为-1. 若，则1，不可能； 所以，，又，所以. 综上所述，，i=1, 2, …, n. ……18分 [解法二]设，，则等价于. 记，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于 原点对称. ……14分 注意到-1是X中的唯一负数，共有n-1个数， 所以也只有n-1个数. 由于，已有n-1个数，对以下三角数阵 …… 注意到，所以，从而数列的通项公式为 ，k=1, 2, …, n. ……18分 【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“具有性质”这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查集合的基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视． 7四川16、记为不超过实数的最大整数，例如，，，。设为正整数，数列满足，，现有下列命题： ①当时，数列的前3项依次为5,3,2； ②对数列都存在正整数，当时总有； ③当时，； ④对某个正整数，若，则。 其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号） [答案]①③④（lby lfx） [解析]若，根据 当n=1时，x2=[]=3, 同理x3=, 故①对. 对于②③④可以采用特殊值列举法： 当a=1时，x1=1, x2=1, x3=1, ……xn=1, …… 此时②③④均对. 当a=2时，x1=2, x2=1, x3=1, ……xn=1, …… 此时②③④均对 当a=3时，x1=3, x2=2, x3=1, x4=2……xn=1, ……此时③④均对 综上，真命题有 ①③④ . [点评]此题难度较大，不容易寻找其解题的切入点，特殊值列举是很有效的解决办法. 8重庆重庆21、（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分。） 设数列的前项和满足，其中。 （I）求证：是首项为1的等比数列； （II）若，求证：，并给出等号成立的充要条件。 21、 （1）证明：由，得，即。 因，故，得， 又由题设条件知， 两式相减得，即， 由，知，因此 综上，对所有成立，从而是首项为1，公比为的等比数列。 （2） 当或时，显然，等号成立。 设，且，由（1）知，，，所以要证的不等式化为： 即证： 当时，上面不等式的等号成立。 当时，与，（）同为负； 当时， 与，（）同为正； 因此当且时，总有 （）（）>0,即 ，（）。 上面不等式对从1到求和得， 由此得 综上，当且时，有，当且仅当或时等号成立。