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《高数答案》及额外习题033-1

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《高数答案》及额外习题033-1习题3(1 1( 验证罗尔定理对函数y(ln sin x 在区间 上的正确性( 解 因为y(ln sin x 在区间 上连续( 在 内可导( 且 , 所以由罗尔定理知( 至少存在一点 ( 使得y((()(cot ((0( 由y((x)(cot x(0得 ( 因此确有 ( 使y((()(cot ((0( 2( 验证拉格朗日中值定理对函数y(4x3(5x2(x(2在区间[0( 1]上的正确性( 解 因为y(4x3(5x2(x(2在区间[0( 1]上连续(...

《高数答案》及额外习题033-1
习题3(1 1( 验证罗尔定理对函数y(ln sin x 在区间 上的正确性( 解 因为y(ln sin x 在区间 上连续( 在 内可导( 且 , 所以由罗尔定理知( 至少存在一点 ( 使得y((()(cot ((0( 由y((x)(cot x(0得 ( 因此确有 ( 使y((()(cot ((0( 2( 验证拉格朗日中值定理对函数y(4x3(5x2(x(2在区间[0( 1]上的正确性( 解 因为y(4x3(5x2(x(2在区间[0( 1]上连续( 在(0( 1)内可导( 由拉格朗日中值定理知( 至少存在一点(((0( 1)( 使 ( 由y((x)(12x2(10x(1(0得 ( 因此确有 ( 使 ( 3( 对函数f(x)(sin x及F(x)(x(cos x在区间 上验证柯西中值定理的正确性( 解 因为f(x)(sin x及F(x)(x (cos x在区间 上连续( 在 可导( 且F((x)(1(sin x在 内不为0( 所以由柯西中值定理知至少存在一点 ( 使得 ( 令 ( 即 ( 化简得 ( 易证 ( 所以 在 内有解( 即确实存在 , 使得 ( 4( 试证明对函数y(px2(qx(r应用拉格朗日中值定理时所求得的点 总是位于区间的正中间( 证明 因为函数y(px2(qx(r在闭区间[a( b]上连续( 在开区间(a( b)内可导( 由拉格朗日中值定理( 至少存在一点(((a( b)( 使得y(b)(y(a)(y((()(b(a)( 即 (pb2(qb(r)((pa2(qa(r)((2p((q)(b(a)( 化间上式得 p(b(a)(b(a)(2p( (b(a)( 故 ( 5( 不用求出函数f(x)((x(1)(x(2)(x(3)(x(4)的导数,说明方程f ((x)(0有几个实根( 并指出它们所在的区间( 解 由于f(x)在[1( 2]上连续( 在(1( 2)内可导( 且f(1)(f(2)(0( 所以由罗尔定理可知( 存在(1((1( 2)( 使f (((1)(0( 同理存在(2((2( 3)( 使f (((2)(0( 存在(3((3( 4)( 使f (((3)(0( 显然(1、(2、( 3都是方程f ((x)(0的根( 注意到方程f ((x)(0是三次方程( 它至多能有三个实根( 现已发现它的三个实根( 故它们也就是方程f ((x)(0的全部根( 6( 证明恒等式( ((1(x(1)( 证明 设f(x)( arcsin x(arccos x( 因为 ( 所以f (x)(C( 其中C是一常数( 因此 ( 即 ( 7( 若方程a0xn(a1xn(1( ( ( ( ( an(1x(0有一个正根x0( 证明方程 a0nxn(1(a1(n(1)xn(2 ( ( ( ( (an(1 (0 必有一个小于x0的正根( 证明 设F(x)(a0xn(a1xn(1( ( ( ( ( an(1x( 由于F(x)在[0( x0]上连续( 在(0( x0)内可导( 且F(0)(F(x0)(0( 根据罗尔定理( 至少存在一点(((0( x0)( 使F ((()(0( 即方程 a0nxn(1(a1(n(1)xn(2 ( ( ( ( (an(1 (0 必有一个小于x0的正根( 8( 若函数f(x)在(a( b)内具有二阶导数( 且f(x1)(f(x2)(f(x3)( 其中a(x1(x2(x3(b( 证明( 在(x1( x3)内至少有一点(( 使得f (((()(0( 证明 由于f(x)在[x1( x2]上连续( 在(x1( x2)内可导( 且f(x1)(f(x2)( 根据罗尔定理( 至少存在一点(1((x1( x2)( 使f (((1)(0( 同理存在一点(2((x2( x3)( 使f (((2)(0( 又由于f ((x)在[(1( (2]上连续( 在((1( (2)内可导( 且f (((1)(f (((2)(0( 根据罗尔定理( 至少存在一点( (((1( (2)((x1( x3)( 使f (((( )(0( 9( 设a(b(0( n(1( 证明( nbn(1(a(b)(an(bn(nan(1(a(b) ( 证明 设f(x)(xn( 则f(x)在[b( a]上连续( 在(b( a)内可导( 由拉格朗日中值定理( 存在(((b( a)( 使 f(a)(f(b)(f ((()(a(b)( 即an(bn(n( n(1(a(b)( 因为 nbn(1(a(b)(n( n(1(a(b)( nan(1(a(b)( 所以 nbn(1(a(b)(an(bn( nan(1(a(b) ( 10( 设a(b(0( 证明( ( 证明 设f(x)(ln x( 则f(x)在区间[b( a]上连续( 在区间(b( a)内可导( 由拉格朗日中值定理( 存在(((b( a)( 使 f(a)(f(b)(f ((()(a(b)( 即 ( 因为b(((a( 所以 ( 即 ( 11( 证明下列不等式( (1)|arctan a(arctan b|(|a(b|( (2)当x(1时( ex(e(x ( 证明 (1)设f(x)(arctan x( 则f(x)在[a( b]上连续( 在(a( b)内可导( 由拉格朗日中值定理( 存在(((a( b)( 使 f(b)(f(a)(f ((()(b(a)( 即 ( 所以 ( 即|arctan a(arctan b|(|a(b|( (2)设f(x)(ex( 则f(x)在区间[1( x]上连续( 在区间(1( x)内可导( 由拉格朗日中值定理( 存在(((1( x)( 使 f(x)(f(1)(f ((()(x(1)( 即 ex (e(e( (x(1)( 因为( (1( 所以 ex (e(e( (x(1)(e(x(1)( 即ex(e(x( 12( 证明方程x5(x(1(0只有一个正根( 证明 设f(x)(x5(x(1( 则f(x)是[0( (()内的连续函数( 因为f(0)((1( f(1)(1( f(0)f(1)(0( 所以函数在(0( 1)内至少有一个零点( 即x5(x(1(0至少有一个正根( 假如方程至少有两个正根( 则由罗尔定理( f ((x)存在零点( 但f ((x)(5x4(1(0( 矛盾( 这说明方程只能有一个正根( 13( 设f(x)、g(x)在[a( b]上连续( 在(a( b)内可导( 证明在(a( b)内有一点(( 使 ( 解 设 ( 则((x)在[a( b]上连续( 在(a( b)内可导( 由拉格朗日中值定理( 存在(((a( b)( 使 ((b)(((a)((((()(b(a)( 即 ( 因此 ( 14( 证明( 若函数(f(x)在(((( (()内满足关系式f ((x)(f(x)( 且f(0)(1则f(x)(ex ( 证明 令 ( 则在(((( (()内有 ( 所以在(((( (()内((x)为常数( 因此((x)(((0)(1( 从而f(x)(ex ( 15( 设函数y(f(x)在x(0的某邻域内具有n 阶导数( 且f(0)(f ((0)( ( ( ( (f (n(1)(0)(0( 试用柯西中值定理证明( (0(((1)( 证明 根据柯西中值定理 ((1介于0与x之间)( ((2介于0与(1之间)( ((3介于0与(2之间)( 依次下去可得 ((n介于0与(n(1之间)( 所以 ( 由于(n可以表示为(n (( x (0(((1)( 所以 (0(((1)( _1118753792.unknown _1118753814.unknown _1118753993.unknown _1118754123.unknown _1118754213.unknown _1118754215.unknown _1118754216.unknown _1118754214.unknown _1118754208.unknown _1118754211.unknown _1118754212.unknown _1118754210.unknown _1118754130.unknown _1118754133.unknown _1118754207.unknown _1118754126.unknown _1118754015.unknown _1118754018.unknown _1118753996.unknown _1118753878.unknown _1118753980.unknown _1118753990.unknown _1118753883.unknown _1118753866.unknown _1118753869.unknown _1118753845.unknown _1118753803.unknown _1118753808.unknown _1118753811.unknown _1118753806.unknown _1118753797.unknown _1118753801.unknown _1118753795.unknown _1118753762.unknown _1118753780.unknown _1118753786.unknown _1118753790.unknown _1118753783.unknown _1118753770.unknown _1118753772.unknown _1118753767.unknown _1118753749.unknown _1118753756.unknown _1118753759.unknown _1118753752.unknown _1118753743.unknown _1118753746.unknown _1093691145.unknown _1118753738.unknown _1078469542.unknown
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分类:理学
上传时间:2018-09-09
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