《高数答案》及额外习题033-1习题3(1
1( 验证罗尔定理对函数y(ln sin x 在区间
上的正确性(
解 因为y(ln sin x 在区间
上连续( 在
内可导( 且
, 所以由罗尔定理知( 至少存在一点
( 使得y((()(cot ((0(
由y((x)(cot x(0得
(
因此确有
( 使y((()(cot ((0(
2( 验证拉格朗日中值定理对函数y(4x3(5x2(x(2在区间[0( 1]上的正确性(
解 因为y(4x3(5x2(x(2在区间[0( 1]上连续(...
习题3(1
1( 验证罗尔定理对函数y(ln sin x 在区间
上的正确性(
解 因为y(ln sin x 在区间
上连续( 在
内可导( 且
, 所以由罗尔定理知( 至少存在一点
( 使得y((()(cot ((0(
由y((x)(cot x(0得
(
因此确有
( 使y((()(cot ((0(
2( 验证拉格朗日中值定理对函数y(4x3(5x2(x(2在区间[0( 1]上的正确性(
解 因为y(4x3(5x2(x(2在区间[0( 1]上连续( 在(0( 1)内可导( 由拉格朗日中值定理知( 至少存在一点(((0( 1)( 使
(
由y((x)(12x2(10x(1(0得
(
因此确有
( 使
(
3( 对函数f(x)(sin x及F(x)(x(cos x在区间
上验证柯西中值定理的正确性(
解 因为f(x)(sin x及F(x)(x (cos x在区间
上连续( 在
可导( 且F((x)(1(sin x在
内不为0( 所以由柯西中值定理知至少存在一点
( 使得
(
令
( 即
(
化简得
( 易证
( 所以
在
内有解( 即确实存在
, 使得
(
4( 试证明对函数y(px2(qx(r应用拉格朗日中值定理时所求得的点
总是位于区间的正中间(
证明 因为函数y(px2(qx(r在闭区间[a( b]上连续( 在开区间(a( b)内可导( 由拉格朗日中值定理( 至少存在一点(((a( b)( 使得y(b)(y(a)(y((()(b(a)( 即
(pb2(qb(r)((pa2(qa(r)((2p((q)(b(a)(
化间上式得
p(b(a)(b(a)(2p( (b(a)(
故
(
5( 不用求出函数f(x)((x(1)(x(2)(x(3)(x(4)的导数,说明方程f ((x)(0有几个实根( 并指出它们所在的区间(
解 由于f(x)在[1( 2]上连续( 在(1( 2)内可导( 且f(1)(f(2)(0( 所以由罗尔定理可知( 存在(1((1( 2)( 使f (((1)(0( 同理存在(2((2( 3)( 使f (((2)(0( 存在(3((3( 4)( 使f (((3)(0( 显然(1、(2、( 3都是方程f ((x)(0的根( 注意到方程f ((x)(0是三次方程( 它至多能有三个实根( 现已发现它的三个实根( 故它们也就是方程f ((x)(0的全部根(
6( 证明恒等式(
((1(x(1)(
证明 设f(x)( arcsin x(arccos x( 因为
(
所以f (x)(C( 其中C是一常数(
因此
( 即
(
7( 若方程a0xn(a1xn(1( ( ( ( ( an(1x(0有一个正根x0( 证明方程
a0nxn(1(a1(n(1)xn(2 ( ( ( ( (an(1 (0
必有一个小于x0的正根(
证明 设F(x)(a0xn(a1xn(1( ( ( ( ( an(1x( 由于F(x)在[0( x0]上连续( 在(0( x0)内可导( 且F(0)(F(x0)(0( 根据罗尔定理( 至少存在一点(((0( x0)( 使F ((()(0( 即方程
a0nxn(1(a1(n(1)xn(2 ( ( ( ( (an(1 (0
必有一个小于x0的正根(
8( 若函数f(x)在(a( b)内具有二阶导数( 且f(x1)(f(x2)(f(x3)( 其中a(x1(x2(x3(b( 证明(
在(x1( x3)内至少有一点(( 使得f (((()(0(
证明 由于f(x)在[x1( x2]上连续( 在(x1( x2)内可导( 且f(x1)(f(x2)( 根据罗尔定理( 至少存在一点(1((x1( x2)( 使f (((1)(0( 同理存在一点(2((x2( x3)( 使f (((2)(0(
又由于f ((x)在[(1( (2]上连续( 在((1( (2)内可导( 且f (((1)(f (((2)(0( 根据罗尔定理( 至少存在一点( (((1( (2)((x1( x3)( 使f (((( )(0(
9( 设a(b(0( n(1( 证明(
nbn(1(a(b)(an(bn(nan(1(a(b) (
证明 设f(x)(xn( 则f(x)在[b( a]上连续( 在(b( a)内可导( 由拉格朗日中值定理( 存在(((b( a)( 使
f(a)(f(b)(f ((()(a(b)( 即an(bn(n( n(1(a(b)(
因为 nbn(1(a(b)(n( n(1(a(b)( nan(1(a(b)(
所以 nbn(1(a(b)(an(bn( nan(1(a(b) (
10( 设a(b(0( 证明(
(
证明 设f(x)(ln x( 则f(x)在区间[b( a]上连续( 在区间(b( a)内可导( 由拉格朗日中值定理( 存在(((b( a)( 使
f(a)(f(b)(f ((()(a(b)( 即
(
因为b(((a( 所以
( 即
(
11( 证明下列不等式(
(1)|arctan a(arctan b|(|a(b|(
(2)当x(1时( ex(e(x (
证明 (1)设f(x)(arctan x( 则f(x)在[a( b]上连续( 在(a( b)内可导( 由拉格朗日中值定理( 存在(((a( b)( 使
f(b)(f(a)(f ((()(b(a)( 即
(
所以
( 即|arctan a(arctan b|(|a(b|(
(2)设f(x)(ex( 则f(x)在区间[1( x]上连续( 在区间(1( x)内可导( 由拉格朗日中值定理( 存在(((1( x)( 使
f(x)(f(1)(f ((()(x(1)( 即 ex (e(e( (x(1)(
因为( (1( 所以
ex (e(e( (x(1)(e(x(1)( 即ex(e(x(
12( 证明方程x5(x(1(0只有一个正根(
证明 设f(x)(x5(x(1( 则f(x)是[0( (()内的连续函数(
因为f(0)((1( f(1)(1( f(0)f(1)(0( 所以函数在(0( 1)内至少有一个零点( 即x5(x(1(0至少有一个正根(
假如方程至少有两个正根( 则由罗尔定理( f ((x)存在零点( 但f ((x)(5x4(1(0( 矛盾( 这说明方程只能有一个正根(
13( 设f(x)、g(x)在[a( b]上连续( 在(a( b)内可导( 证明在(a( b)内有一点(( 使
(
解 设
( 则((x)在[a( b]上连续( 在(a( b)内可导( 由拉格朗日中值定理( 存在(((a( b)( 使
((b)(((a)((((()(b(a)(
即
(
因此
(
14( 证明( 若函数(f(x)在(((( (()内满足关系式f ((x)(f(x)( 且f(0)(1则f(x)(ex (
证明 令
( 则在(((( (()内有
(
所以在(((( (()内((x)为常数(
因此((x)(((0)(1( 从而f(x)(ex (
15( 设函数y(f(x)在x(0的某邻域内具有n 阶导数( 且f(0)(f ((0)( ( ( ( (f (n(1)(0)(0( 试用柯西中值定理证明(
(0(((1)(
证明 根据柯西中值定理
((1介于0与x之间)(
((2介于0与(1之间)(
((3介于0与(2之间)(
依次下去可得
((n介于0与(n(1之间)(
所以
(
由于(n可以表示为(n (( x (0(((1)( 所以
(0(((1)(
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