阶段性测试
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
七(第二章基本知能检测)
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列
表
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述正确的是( )
①归纳推理是由部分到整体的推理过程；②归纳推理是由一般到一般的推理过程；③类比推理是由特殊到一般的推理过程；④类比推理是由特殊到特殊的推理过程．
A．①②
B．②④
C．②③
D．①④
[答案] D
2．推理：因为平行四边形对边平行且相等，而矩形是特殊的平行四边形，所以矩形的对边平行且相等，以上推理的
方法
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是( )
A．归纳推理
B．类比推理
C．演绎推理
D．合情推理
[答案] C
3．设a>0，b>0，若eq \r(3)是3a与3b的等比中项，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为( )
A．8
B．4
C．1
D.eq \f(1,4)
[答案] B
[解析] (3eq \f(1,2))2＝3a·3b ＝3a＋b，∴a＋b＝1
eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝(eq \f(1,a)＋eq \f(1,b))(a＋b)＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(1)＋2＝4
当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(a,b)即a＝b时等号成立，故选B.
4．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项
公式
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为( )
A．an＝3n－1
B．an＝3n
C．an＝3n－2n
D．an＝3n－1＋2n－3
[答案] A
[解析] 由a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，故猜an＝3n－1.
5．下列几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C．由平面三角形性质推测空间四面体的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝eq \f(1,2)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(1,an－1)))(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
[答案] A
[解析] C是类比推理，D是归纳推理，B是归纳推理．
6．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么( )
A．ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一
B．ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一
C．ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一
D．ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一
[答案] A
7．在十进制中，2004＝4×100＋0×101＋0×102＋2×103，那么在5进制(逢5进1)中数码2004折合成十进制为( )
A．29
B．254
C．602
D．2004
[答案] B
[解析] 2004＝4×50＋0×51＋0×52＋2×53＝254.
8．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是( )
A．有两个内角是钝角
B．有三个内角是钝角
C．至少有两个内角是钝角
D．没有一个内角是钝角
[答案] C
9．我们把1,4,9,16,25，…这些数称为正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形(如图)，
则第n个正方形数是( )
A．n(n－1)
B．n(n＋1)
C．n2
D．(n＋1)2
[答案] C
10．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等；
②各个面是全等的正三角形，相邻的两个面所成的二面角相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任两条棱的夹角都相等；
④各棱长相等，相邻两个面所成的二面角相等．
A．①④
B．①②
C．①②③
D．③
[答案] B
11．有一个奇数列1,3,5,7,9…现在进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组含两个数{3,5}，第三组含三个数{7,9,11}，第四组含四个数{13,15,17,19}，…观察每组内各数之和与其组的编号数n的关系为( )
A．等于n2
B．等于n3
C．等于n4
D．等于(n＋1)n
[答案] B
12．已知c>1，a＝eq \r(c＋1)－eq \r(c)，b＝eq \r(c)－eq \r(c－1)，则正确的结论是( )
A．a>b
B．a
b，则eq \r(c＋1)－eq \r(c)>eq \r(c)－eq \r(c－1).
∴eq \r(c＋1)＋eq \r(c－1)>2eq \r(c)，
∴c＋1＋c－1＋2eq \r(c2－1)>4c；
即eq \r(c2－1)>c矛盾，∴选B.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．平面上，周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大．将这些结论类比到空间，可以得到的结论是
______________________________________．
[答案] 表面积一定的空间体中，球的体积最大
[解析] 平面中的“周长”类比成空间中的“面积”，“平面图形”类比成“空间体”，“面积”类比成“体积”，“圆”类比成“球”．
14．对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a，而52的“分裂”中最大的数是b，则a＋b＝________.
[答案] 30
[解析] 类比规律
∴a＝21，b＝9故a＋b＝30.
15．已知数列{an}，a1＝eq \f(1,2)，an＋1＝eq \f(3an,an＋3)，则a2，a3，a4，a5分别为______________，猜想an＝____________.
[答案] eq \f(3,7)，eq \f(3,8)，eq \f(3,9)，eq \f(3,10) eq \f(3,n＋5)
[解析] 每一项的分子相同，分母是从7开始的自然数．
16．已知a>0，b>0，P＝eq \r(ab)，Q＝eq \r(\f(a2＋b2,2))，M＝eq \f(a＋b,2)，N＝eq \f(2ab,a＋b)，则P、Q、M、N从大到小顺序排列为______________．
[答案] Q、M、P、N
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)观察下列数表：
1，
2,3，
4,5,6,7，
8,9,10,11,12,13,14,15，
…
(1)此表第n行的最后一个数是多少？
(2)此表第n行的各个数之和是多少？
(3)2008是第几行的第几个数？
[解析] (1)由表知，从第二行起每行的第一个数为偶数，所以第n＋1行的第一个数为2n，第n行的最后一个数为2n－1.
(2)由(1)知第n－1行的最后一个数为2n－1－1，第n行的第一个数为2n－1，第n行的最后一个数为2n－1.又观察知，每行数字的个数与这一行的第一个数相同，所以由等差数列求和公式得
Sn＝eq \f(2n－1(2n－1＋2n－1),2)＝22n－3＋22n－2－2n－2.
(3)因为210＝1024,211＝2048，又第11行最后一个数为211－1＝2047，所以2008是在第11行中，由等差数列的通项公式得2008＝1024＋(n－1)·1，所以n＝985，所以2008是第11行的第985个数．
[说明] 观察表时，主要看项与项之间、项与序号之间的关系．
18．(2009·徐州高二检测)(本题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)．
(1)求证：tan(x＋eq \f(π,4))＝eq \f(1＋tanx,1－tanx)；
(2)设x∈R且f(x＋1)＝eq \f(1＋f(x),1－f(x))，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论．
[解析] (1)tan(x＋eq \f(π,4))＝eq \f(tanx＋tan\f(π,4),1－tanxtan\f(π,4))
＝eq \f(1＋tanx,1－tanx).
(2)f(x)是以4为其一个周期的周期函数．
∵f(x＋2)＝f((x＋1)＋1)＝eq \f(1＋f(x＋1),1－f(x＋1))
＝eq \f(1＋\f(1＋f(x),1－f(x)),1－\f(1＋f(x),1－f(x)))＝－eq \f(1,f(x))，
∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝eq \f(1,f(x＋2))＝f(x)．
∴f(x)是周期函数，其中一个周期为4.
19．(本题满分12分)已知f(x)＝－x3－x＋1(x∈R)．
(1)求证：y＝f(x)是定义域上的减函数；
(2)求证满足f(x)＝0的实数根x至多只有一个．
[证明] (1)∵f′(x)＝－3x2－1
＝－(3x2＋1)<0(x∈R)，
∴y＝f(x)是定义域上的减函数．
(2)假设f(x)＝0的实数根x至少有两个，不妨设x1≠x2，且x1，x2∈R，
f(x1)＝f(x2)＝0.
∵y＝f(x)在R上单调递减，
∴当x1f(x2)，
当x1>x2时，f(x1)0，b＝1－a>0.
∵(ax2＋by2)－(ax＋by)2＝(a－a2)x2－2abxy＋(b－b2)y2＝a(1－a)x2－2a(1－a)xy＋a(1－a)y2＝a(1－a)(x2－2xy＋y2)＝a(1－a)(x－y)2，
又∵a>0,1－a>0，(x－y)2≥0，
∴(ax2＋by2)－(ax＋by)2≥0，
即ax2＋by2≥(ax＋by)2.
22．(本题满分14分)设A、B为圆x2＋y2＝1上两点，O为坐标原点(A、O、B不共线)．
(1)求证：eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→))与eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))垂直；
(2)当∠xOA＝eq \f(π,4)，∠xOB＝θ，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，且eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(OB,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)时，求sinθ的值．
[解析] (1)由|eq \o(OA,\s\up6(→))|＝|eq \o(OB,\s\up6(→))|＝1得|eq \o(OA,\s\up6(→))|2＝|eq \o(OB,\s\up6(→))|2＝1，则eq \o(OA,\s\up6(→))2＝eq \o(OB,\s\up6(→))2＝1.
eq \o(OA,\s\up6(→))2－eq \o(OB,\s\up6(→))2＝0，(eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→)))·(eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→)))＝0.
则eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→))与eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))垂直．
(2)由∠xOA＝eq \f(π,4)得eq \o(OA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,4)，sin\f(π,4))).
又∠xOB＝θ，∴eq \o(OB,\s\up6(→))＝(cosθ，sinθ)．
由eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(OB,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)得coseq \f(π,4)cosθ＋sineq \f(π,4)sinθ＝eq \f(3,5)，
即coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝eq \f(3,5)，
∵－eq \f(π,4)<θ
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