§2重视数学思想 参考答案及提示
1.D.在同一坐标系中作出函数y=(半圆)和y=ax(直线系)的图象,从图象的位置关系上确定斜率a的取值范围.本题也可以利用最值法求参数a的范围.
2.C.画图判断.
3.B.分象限讨论.
4.A.函数f(x)的图象为一条线段,问题等价于解不等式f(-1)·f(1)<0.
5.(5/2).三条直线不能构成三角形的充要条件是:至少有两条平行或三条直线共点.
6.n=10.画出函数an=(n-)/(n-)=1+(-)/(n-)(n∈N)的图象(双曲线(x-)(y-1)=-上横坐标为自然数的点),观察即得.
7.3.设f(x)=tgx+,x∈(-(π/6),(π/6)),则由题设消去m,得-f(2x)=f(3y).因为f(x)为奇函数,所以f(-2x)=f(3y).又f(x)在(-(π/6),(π/6))上是增函数,所以-2x=3y,即2x+3y=0.故log2(2x+3y+8)=log28=3.
8.由题设得log3p=(2-q)(q+1)(-1<q<2).
∵ log3p=-q2+q+2=-(q-(1/2))2+(9/4),
∴ 0<log3p≤(9/4),即1<p≤3(9/4).
9.本题等价于:已知抛物线x2+mx-y+2=0与线段x-y+1=0(0≤x≤2)有公共点,求实数m的取值范围.可转化为区间根问题来研究.
由
x2+mx-y+2=0,
消去y,得
x-y+1=0(0≤x≤2)
x2+(m-1)x+1=0. ①
∵ A∩B≠Φ,
∴ 方程①在区间[0,2]上至少有一个实根.
首先,由Δ=(m-1)2-4≥0,得m≥3或m≤-1.
其次,设方程①的两个实根分别为x1、x2.
当m≥3时,由x1+x2=-(m-1)<0及x1x2=1知,方程①只有负根,不符合要求.
当m≤-1时,由x1+x2=-(m-1)>0及x1x2=1知,方程①只有正根,且必有一根在区间(0,1]内,从而方程①至少有一根在区间[0,2]内.
综上所述,m的取值范围是(-∞,-1].
10.(1)对于任意的x∈Ik,有2k-1<x≤2k+1,
即-1<x-2k≤1.
∴ f(x-2k)=(x-2k)2.
∵ f(x)是以2为周期的函数,
∴ 2k(k∈Z)也是f(x)的周期,
∴ f(x-2k)=f(x).
故f(x)=(x-2k)2 (x∈Ik).
(2)由(x-2k)2=ax,x∈(2k-1,2k+1],k∈N,构造函数y1=(x-2k)2,l:y2=ax,其图象如图所示.当且仅当l在x轴(不包括x轴)与l1之间时,l与y1=(x-2k)2(xk∈I,k∈N)的图象有两个不同的交点,则l的斜率a满足0<a≤1/(2k+1).
第10题
故所求集合Mk={a|0<a≤1/(2k+1),k∈N}.
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