客兴林高等量子力学习题EX21

21.1 21.2.证明任意量子系统的任何态 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 都是 的本征函数，且本征值为+1或-1，即有 ，系统中无自旋 粒子或有偶数个时取上号、有奇数个自旋 粒子时取下号。 （做题者：班卫华） 证明：由时间反演算符的定义可知， (1) 其中，算符 分别满足 （2） 当体系与自旋无关时，有 （3） 显然，任意的量子态都是 算符的本征态，相应的本征值为+1。 对一个自旋为 的粒子而言，时间反演算符 除满足（1）式与（2）式之外，还应满足 (4) 其中 是自旋为 粒子的自旋算符，为此令 (5) 式中 是自旋空间中一个 EMBED Equation.3 的矩阵。 将（5）式代入（4）式，得 (6) 在 EMBED Equation.3 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 象中，由于 为实矩阵，而 是纯虚数矩阵，故可以将上式写成分量形式： （7） 若取 （8） 则可满足（7）式的要求。于是满足（4）式的时间反演算符变成 (9) (10) 上式表明，对于一个自旋为 的粒子，任意的量子态都是 算符的本征态，想应的本征值为-1。 由于结果可知，对于由N个自旋为 粒子构成的体系，有 (11) 当N为偶数时 ,当N为奇数时 。 即 。系统中无自旋1/2粒子或有偶数个时取上号，有奇数个自旋1/2粒子时取下号。 # 21.3.利用上题结果证明：在存在任意电场但无磁场的情况下，含有奇数个电子的系统，其能级中没有单能级，至少是二重简并的（Kramers定理）。（做题者：班卫华） 证明：由上题结果可知，含奇数个电子的系统时，有 , 计算 , 与 是两个任意的量子态，暂时令 ，利用反幺正算符的性质 ，可知： 取 ，得 ,这表明 与 态正交，因此代表不同的态，假设体系具有时间反演不变性， , 此时，如 是 的一个本征态，则容易看出 也是 的一个本征态，而且它们对应的能量本征值相同，但 与 是两个不同的态，所以 的本征态出现简并。所以在存在任意电场但无磁场的情况下，含有奇数个电子的系统，其能级中没有单能级，至少是二重简并的。 练习 21.4 单电子包含自旋轨道相互作用的哈密顿为 （谷巍） 其中 式中I为 单位矩阵. 见（11.9）式. 这里 虽然不是实算符，证明若 则 的时间反演态 满足 和 都是一列二行的旋量. 证明：因为 ，即可知： 因为 ,即 ,则有： 即 ,故 为厄米算符，则其本征值 必为实数. 令 ,它是一个 矩阵，是自旋空间中的算符，则 的时间反演态为 . 又因为 不是实算符，则有 故证明成立。 21.5 在希尔伯特空间中求 、 和 （肖钰裴） 解： 练习21.6 在希尔伯特空间中，证明： （完成人：张伟） 证明： # 练习 21.7 下面是一段推导: 推导中利用了 ,这一推导结果与(21.16)式不符,原因何在? （梁立欢 审核:张伟） 解 正确的推导应该是 不仅仅作用于 ,还应作用与 # 练习21.8 根据希尔伯特空间的算符定义（21.20）式，证明： （完成人：张伟） 证明： # � EMBED Equation.3 ��� _1291273140.unknown _1291275004.unknown _1291486631.unknown _1291489553.unknown _1293269938.unknown _1293269983.unknown _1293282572.unknown _1294384873.unknown _1293282534.unknown _1293269959.unknown _1291490662.unknown _1291491635.unknown _1291489761.unknown _1291488546.unknown _1291489072.unknown _1291489270.unknown _1291488717.unknown _1291487684.unknown _1291488133.unknown _1291486766.unknown _1291400215.unknown _1291400395.unknown _1291400437.unknown _1291400304.unknown _1291400283.unknown _1291400002.unknown _1291400059.unknown _1291400195.unknown _1291399648.unknown _1291274477.unknown _1291274763.unknown _1291274886.unknown _1291274829.unknown _1291274842.unknown _1291274624.unknown _1291274651.unknown _1291274598.unknown _1291273804.unknown _1291274081.unknown _1291274198.unknown _1291273847.unknown _1291273732.unknown _1291273782.unknown _1291273690.unknown _1291271081.unknown _1291272045.unknown _1291272821.unknown _1291272995.unknown _1291273074.unknown _1291272947.unknown _1291272485.unknown _1291272743.unknown _1291272308.unknown _1291271466.unknown _1291271596.unknown _1291272011.unknown _1291271495.unknown _1291271115.unknown _1291271438.unknown _1291271095.unknown _1291270290.unknown _1291270694.unknown _1291270934.unknown _1291270996.unknown _1291271010.unknown _1291270771.unknown _1291270481.unknown _1291270635.unknown _1291270387.unknown _1291268979.unknown _1291269548.unknown _1291269975.unknown _1291270144.unknown _1291269627.unknown _1291269439.unknown _1291269154.unknown _1234567902.unknown _1234567904.unknown _1291055713.unknown _1291055908.unknown _1291009453.unknown _1234567903.unknown _1234567900.unknown _1234567901.unknown _1234567899.unknown