第二十讲 矩阵特征值估计
特征值计算较困难，希望找到简便的特征值界限或分布范围的估计
方法
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。
1、 特征值界的估计
定理1. 设
，
为A的任意特征值，则有
其中，
证明：设x为A的属于特征值
的单位特征向量，即
，
，则
将x写成
（
表
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示不含i＝j）
不妨写为：
取等号的条件为
，但
，所以其它
定理2. 设
，
为A的任意特征值，则有
其中，
，
，
2、 盖尔圆法
定义：设
,由方程
所确定的圆称为A的第i个盖尔圆，
称为盖尔圆的半径。
定理3：矩阵A的所有特征值均落在它的所有盖尔圆的并集之中。
证明：设
，
为A的某一个特征值，x为相应的特征向量，将x写成
，设
由
，考虑
行
对于A的特征值
，一定存在
EMBED Equation.DSMT4 ，使
落在A的第
个盖尔圆中，对于每个特征值都有相同的结论。
定理4. 将矩阵A的全体盖尔圆的并集按连通部分分成若干个子集，（一个子集由完全连通的盖尔圆组成，不同子集没有相连通的部分），对每个子集，若它恰好由K个盖尔圆组成，则该子集中恰好包含A的K个特征值。
说明：盖尔圆相互重叠时重复计算，特征值相重时也重复计算
证明：设
，
令
，
，
的特征多项式是u的多项式，其特征值是u的连续函数，观察u（
）变化的过程中
特征值的变化，特征值只能在盖尔圆连通的子集内变动，而不能跨出连通子集。
由此可见，由K个盖尔圆组成的连通子集恰好包含K个特征值。
应该注意到：连通的这些盖尔圆中，有些盖尔圆可能包含两个或多个特征值，而其它盖尔圆中可能无特征值。
推论1. 孤立盖尔圆中恰好包含一个特征值。
推论2. 实矩阵的孤立盖尔圆恰好包含一个实特征值。
推论3. 盖尔圆方法中盖尔圆半径可以按列求和。（因为方阵转置后特征值不变）
推论4. 盖尔圆半径变为
，两个盖尔圆定理仍然成立。
说明如下：相似矩阵
与A具有相同的特征值，取
根据推论4，选取适当的
使盖尔圆变大或变小，可以对特征值进行隔离。但有时这种隔离特征值的方法会失效，如对于那些对角线上由相同元素的矩阵，此时盖尔圆的圆心相同。
作业：P261 2，3，4
_1161527860.unknown
_1161527877.unknown
_1161527885.unknown
_1161527889.unknown
_1161527891.unknown
_1161527893.unknown
_1161527890.unknown
_1161527887.unknown
_1161527888.unknown
_1161527886.unknown
_1161527881.unknown
_1161527883.unknown
_1161527884.unknown
_1161527882.unknown
_1161527879.unknown
_1161527880.unknown
_1161527878.unknown
_1161527868.unknown
_1161527873.unknown
_1161527875.unknown
_1161527876.unknown
_1161527874.unknown
_1161527870.unknown
_1161527872.unknown
_1161527869.unknown
_1161527864.unknown
_1161527866.unknown
_1161527867.unknown
_1161527865.unknown
_1161527862.unknown
_1161527863.unknown
_1161527861.unknown
_1161527843.unknown
_1161527852.unknown
_1161527856.unknown
_1161527858.unknown
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_1161527854.unknown
_1161527855.unknown
_1161527853.unknown
_1161527848.unknown
_1161527850.unknown
_1161527851.unknown
_1161527849.unknown
_1161527845.unknown
_1161527846.unknown
_1161527844.unknown
_1161527835.unknown
_1161527839.unknown
_1161527841.unknown
_1161527842.unknown
_1161527840.unknown
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_1161527838.unknown
_1161527836.unknown
_1161527831.unknown
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_1161527834.unknown
_1161527832.unknown
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_1161527830.unknown
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_1161527822.unknown
_1161527824.unknown
_1161527820.unknown
_1161527821.unknown
_1161527819.unknown
浙公网安备 33021202002483