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不定积分-不定积分的换元积分法(2).pdf

不定积分-不定积分的换元积分法(2)

sunheyou
2018-01-31 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《不定积分-不定积分的换元积分法(2)pdf》,可适用于自然科学领域

不定积分的换元积分法()第二节第章二、典型例题一、主要内容三、同步练习四、同步练习解答一、主要内容(一)定理设)(tpsix=单调可导,且,)(neprimetpsi,)(d)()(CtGttpsitpsif=primeintxxfd)(int)()(的反函数是其中tpsixxpsit==minus分析需证:则有换元公式CxG=minus)(psi=primeminus})({CxpsiG)(xftttfd)()(psipsiprimeint)(tpsix=注第一类:左rarr右第二类:第一换元法与第二换元法的比较:xxxfd)()(ϕϕprimeintint=uufd)(如:intminusdxaxCax=arcsinaintminus)()(daxaxintminusdxaxtaxsin=),(pipiminusisintttatadcoscosintCt=Cax=arcsin第一类放入第二类取出左larr右()uxϕ=有五种:ordm三角代换ordm双曲代换ordm倒代换ordm换根代换ordm万能代换),(,sinpipiminusisin=ttax),(,tanpipiminusisin=ttax),(,secpiisin=ttax)(ch,sh==ttaxtax或tx=nxxtgammadeltabetaalpha=)(tanpi=xxt(二)常见代换适用类型xxaxRd),()(intminus代换),(,sinpipiminusisin=ttaxxaxxRd),()(int),(,tanpipiminusisin=ttaxxaxxRd),()(intminus),(,secpiisin=ttax,),(的有理函数为其中vuvuRordm三角代换),(,cospiisin=ttax或积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换适用类型代换xaxxRd),(inttaxsh=xaxxRd),(intminus)(ch=ttaxordm双曲代换shch=minustt当分母的次数较高时,可采用倒代换:tx=ordm倒代换倒代换效果:降低分母的幂次提高分子的幂次适用类型:xgammaxdeltabetaxalphagammaxdeltabetaxalphagammaxdeltabetaxalphaxRknnnd),,,,(intL),,,(NkiniL=isin均为常数其中gammadeltabetaalpha代换:=tnxxgammadeltabetaalpha,,,的最小公倍数为knnnnLordm换根代换适用类型:xxxRd)cos,(sinint代换:)(tanpi=xxttxarctan=或xsincoscossinxxxsdot=sectanxx=tantanxx=tt=cossinxx=ordm万能代换xcossincosxxminus=tantanxxminus=ttminus=)arctand(dtx=ttd=xxxRd)cos,(sininttherettttttRd),(sdotminus=intt的有理函数(三)基本积分表(Ⅱ)int=xxdtan)(=intxxdcotint=xxdsec)(int=xxdcscCxminuscoslnCxsinlnCxxtanseclnCxxminuscotcscln=intxxad)(=minusintxxad)(=minusintxaxd)(CaxaarctanCaxaxaminuslnCaxarcsinxaxd)(intplusmnCaxxplusmn=)ln(二、典型例题例求)(dminus=intaxxaI解令,),(,sinpipiminusisin=ttax则taaxasinminus=minustacos=ttaxdcosd=sdot=inttaIcosttadcos()Ca=sinttaxxaminustaxarcsina=tttcossinsin==axsdot为去根式cosdatt=intttadcosint=axt=sinaxatcosminus=axaminussdotCxaxminus例解(方法),),(,tanpipiminusisin=ttax令则tanataax=tasec=ttaxdsecd=int=Itasectasectdttdsecint=tanseclnCtt=axaxtln=axa)ln(aCCminus=Caxx=)ln(xaC为去根式求)(d=intaaxxIshch=minusttQttaxdchd=xaxdintthereint=ttatadchchint==dCttarshCax=)ln(Caaxax=(方法)taxsh=令)ln(Caxx=例求)(dminus=intaaxxI解,时当ax令,),(,secpiisin=ttax则secataaxminus=minustatan==xdtttadtansectIint=dttatansectatanttdsecint=tanseclnCtt=axaxminustlnC=Caxxminus=ln)ln(aCCminus=axminusaxa为去根式,时当axminus令,uxminus=,au则于是intminusdaxxintminusminus=dauulnCauuminusminus=lnCaxxminusminusminus=lnCaxxaminusminusminusminus=)ln(aCCminus=Caxxminus=ln为利用xa结果Caxxminus=lnintminusdaxx时当ax小结以上几例所使用的均为三角代换三角代换的目的是化掉根式一般规律如下:当被积函数中含有)(xaminus可令sintax=)(xa可令tantax=)(axminus可令sectax=积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换(或双曲代换)并不是绝对的需根据被积函数的情况来定()求dxxxint(三角代换较繁琐),xt=令,minus=tx则,ddttxx=xxxdintttttd)(intminus=tttd)(intminus=Ctttminus=)(Cxxxminus=解注例()xxxdintminus解xxxdintminus)d()(xxminusminusminus=int(凑微分)Cxminussdotminus=)()(Cxminusminus=此题不必用三角代换!当分母的次数较高时,可采用倒代换:tx=例求d)(xxxint令tx=,ddttxminus=则xxxd)(intttttd)()(minussdot=intCtminus=||ln||ln||lnCxxminus=解intminus=tttd倒代换效果:降低分母的幂次提高分子的幂次例已知,d)(Cxxxfxminus=int求d)(xxfint解=)(xfx,minus=xx则()fxxx=minusttttd)(minussdotminusint)(primeminusCx)(minus=xxxfintintxxddttttdintminussdotminus=xt=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧minusminusminusminus=intint,d,dtttttttt)(d)(ttminusminusminus=int)(d)(ttminusminusminusintCtminus)(Cxxxminussdot=)()(tminusminus=dtttintminusminus=()minusxxfd)(inttttdintminusminus=,时即当txCttminus=)()(xt=,时即当minusminustxxt=xxfd)(inttttdintminus=dtttintminusminusminus=()minus)(d)(ttminusminus=int)(d)(ttminusminusminusminusintCtminusminus)()(tminus=Cttminusminus=)()(Cxxxminusminussdotminus=)()(Cxxxminussdot=求d)(xxxint解令tx=,ddttx=xxxd)(intint=ttttd)(int=tttdintminus=tttdintminus=ttd)(Cttminus=arctanarctanCxxminus=例求解dexxintxte=令,eminus=tx,ddtttxminus=xxdeintttdintminus=tttd)(intminusminus=Cttminus=ln)eln(Cxxminusminus=),ln(minus=tx例dcosxxIint=求解令)(tanpi=xxttxarctan=则ttttIdsdotminus=intttdintminus=tttd)(minus=intCttminus=lnCxxminus=tantanln例例求下列不定积分:int=)()(dxxCxx=lnuaudintCauu=)ln(int=dxxI例dintminusxxx求解(方法)用三角代换令txsec=于是则,dtansecdtttxsdot=dsectandsectanxtttttxx=minusintintint=tdtC=arccosCx=(方法)用双曲代换,chtx=令dintminusxxx求,dshdttx=则intminusdxxxintsdot=ttttshchdshttdchint=tttdchchsdot=int)d(shshttint=Ct=)arctan(sh)arctan(Cxminus=chshttminus=(方法)用凑微分法intminusdxxxintminus=)(dxxxintminusminus=)()d(xxarcsinCxminus=用倒代换,dd,ttxtxminus==则令intminusdxxxintminusminus=dttttintminusminus=dttCtminus=arcsinarcsinCxminus=(方法)dintminusxxx求(方法)用换根代换则令minus=xt,tx=,ddttxx=intminusdxxxintminus=dxxxxint=tttt)(dttdint=Ct=arctanarctanCxminus=dintminusxxx求三、同步练习d)(intminus=xxxIintdxxx求dxxxintintminusminusdxxxx求)(dintxxx求求dint=axxxI求下列积分xxxd)(intxxxxd)(intminusxxxxxIdsinsincossinint=四、同步练习解答求解d)(intminus=xxxI,sintx=令,sintx=ttxdcosd=int=ttttIdcos)sin(cosint=ttdsin分子分母同除以tcosint=tttandtanint=tttand)tan(Ct=)tanarctan(Cxxminus=arctanint=ttttdtansecsecintdxxx求解(方法),tantx=令从而得到:intdxxxsecdtansectttt=inttttdsincosint=sinCt=minusxCx=minus(方法):从而得到令,tx=intdxxxttttdintminus=Ctttminus=intd)(rArrtx()()dttminus=intminus原式tC=minus()Cx=minus=L)(rArrtx()略求解dxxxintxxxdint令tx=,ddttxminus=rArrttttd)()()(minussdot=int(分母的次数较高)tttdintminus=dtttintminus=tu=intminus=uuudintminusminus=uuudintminus=)d()(uuuCuuminus=)()(Cxxxxminus=dintminusminusxxxx求解从而得到:令,tx=intminusminusdxxxxintminusminusminus=ttttttd)()(rArrtx()intminusminus=dtt原式Ctminus=arcsin)(rArrtx()intminus=dtt原式Ct=arcsinarcsinCxx=intminusdxxxxintminusminus=ttttttd)(arcsinCxxminus=)(dintxxx求解令:从而得到,tx=int)(dxxxintminus=)(dttttintminus=tttd)(intminus=)d(ttCtminus=lnlnCxminus=求dint=axxxI解令,tx=ttatdintminus=intminus=)(dtataaCtaaminus=Cxaaxminus=难点:分母因子x则ddttxminus=,时当x倒代换效果:降低分母的幂次int=minustatttd)(xxxxxIdsinsincossinint=)sin(dx令xtsin=int=ttintminus=ttd)(t=CtminusarctanCxminus=sinxxcossin=prime)(xsin)sin(dxdt=ttdxsinarctanint=)sin(sinxx求下列积分xxxd)(int)(d=intxxCx=xxxxd)(intminusxxxdintminus=)(minusminusxintminusminusminus=)d(xxxxint)(minusminusx)d(minusxxxminusminus=Cxminusarcsin

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