2016-2-数模选修课-微分方程简单模型

一、药物动力学房室模型药物的作用过程：给药药剂学过程药物动力学过程药物转化为可吸收状态药物吸收入体内并参与循环，在血液中形成一定浓度。药效动力学过程血药浓度达到一定水平时，药物与受体相互作用产生药效。实际问题分析 药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量) 血药浓度需保持在一定范围内——给药 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 药物在体内吸收、分布和排除过程——药物动力学 建立房室模型——药物动力学的基本步骤 房室——机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移 本节讨论二室模型——中心室(心、肺、肾等)和周边室(四肢、肌肉等)模型假设 中心室(1)和周边室(2),容积不变 药物在房室间转移速率及向体外排除速率，与该室血药浓度成正比 药物从体外进入中心室，在二室间相互转移,从中心室排出体外模型建立线性常系数非齐次方程对应齐次方程通解模型建立模型分析1几种常见的给药方式1.快速静脉注射t=0时刻瞬时注射剂量D0的药物进入中心室,血药浓度立即为D0/V1给药速率f0(t)和初始条件初始条件：模型求解1.快速静脉注射模型分析2初始条件2.口服或肌肉注射相当于药物(剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室吸收室药量x0(t)3.恒速静脉滴注t较大时，c1(t)和c2(t)趋于常数；t>T,c1(t)和c2(t)按指数规律趋于零参数估计各种给药方式下的c1(t),c2(t)取决于参数k12,k21,k13,V1,V2t=0快速静脉注射D0,在ti(i=1,2,n)测得c1(ti)参数估计模型评价 本案例是机理分析与数据处理相结合的有效 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，帮助我们了解处理实际应用问题时应有的思路。 关于房室模型，究竟选取几个房室比较好好没有定论。通常的做法是先取一个，如果达不到满意的结果就再多取一个，甚至可以采用非线性结构，直到满意为止。二、正规战与游击战战争分类：正规战争，游击战争，混合战争只考虑双方兵力和战斗力兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加战斗力与射击次数及命中率有关建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型一般模型 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力 每方非战斗减员率与本方兵力成正比 甲乙双方的增援率为u(t),v(t)f,g取决于战争类型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力模型假设模型正规战争模型 甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力双方均以正规部队作战 忽略非战斗减员 假设没有增援f(x,y)=ay,a~乙方每个士兵的杀伤率a=rypy,ry~射击率，py~命中率正规战争模型为判断战争的结局，不求x(t),y(t)而在相平面上讨论x与y的关系平方律模型游击战争模型双方都用游击部队作战 甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加f(x,y)=cxy,c~乙方每个士兵的杀伤率c=rypyry~射击率py~命中率游击战争模型线性律模型混合战争模型甲方为游击部队，乙方为正规部队乙方必须10倍于甲方的兵力设x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)三、糖尿病的诊断问题背景：糖尿病是一种代谢系统疾病，表现为血液和尿中含有过多的糖，主要原因是病人本身不能提供足够的胰岛素促使肝脏吸收体内多余的糖。诊断早期糖尿病通常采用葡萄糖耐量检查(GTT)：空腹一夜，先测量血糖G0，再服用或注射大量葡萄糖。在随后的三到五个小时内，测量病人血糖若干次，观察血糖曲线与 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 曲线的偏差。注：GTT数学模型在60年代中期就已经建立起来了，但究竟偏差多少算是异常，还没有定论。实际问题分析医学背景知识：1、葡萄糖是人体的能量源泉，人体有一个最佳的血糖浓度，过高过低都会致病；2、血糖调节系统框架：葡萄糖输入系统葡萄糖肝脏组织吸收内分泌激素激素代谢记G为血糖浓度，H为激素浓度，以此判断早期糖尿病。模型假设 1、在血糖调节系统中只考虑G和H； 2、假定受检者到医院时，体内G、H达到稳定值G0、H0，平衡状态； 3、只考虑在平衡状态G0、H0附近的小偏差符合实际，而且便于数学处理； 4、G增则刺激H增，促进体内吸收葡萄糖而降低血糖浓度；H增则G降，最后导致H也降下来。G为血糖浓度，H为激素浓度模型构造由假设1和4可以得到下面方程组：1、在血糖调节系统中只考虑G和H；4、G刺激H增，促进体内吸收葡萄糖而降低血糖浓度；H增则G降，最后导致H也降下来。其中F1表示G、H对血糖浓度变化的影响；F2表示G、H对激素浓度变化的影响；J(t)为做GTT时，外加葡萄糖的速率，可以认为是一个脉冲函数。由假设2，GTT前有J(t)0，且G、H都达到平衡状态(不变化)，所以应有模型分析再由假设3，g和h都非常小，所以可以将F1、F2在(G0,H0)附近做泰勒展开。模型分析先考虑简化调整后的模型系数的正负。设t=0时外部输入的葡萄糖被完全吸收，则当t>0时J(t)=0，g(0)=J(0)即所有注入的糖都转化成了血糖。模型分析分析g>0,h=0时，血糖恢复正常时，g=0,h>0，模型分析根据微分方程平衡点的稳定性理论，0时特征根为实负的，故t时g(t)0，即GG0.这表明血糖浓度最终会趋于稳定浓度，与实际情况吻合。模型分析当<0时特征根为一对共轭复根，可以计算得到最终得到人体内血糖浓度的变化函数：参数估计注意到模型中含有5个未知参数，估计参数的办法有两个：1、病人注射糖前，先测G0，然后在随后4个时刻测量血糖浓度，代入模型中。列方程计算求解；2、最小二乘法：病人注射糖前，先测G0，然后在随后n个时刻测量血糖浓度，代入模型中，利用最小二乘法求解。第一种方法操作简单，但精度差；第二种方法精度较高，但操作起来有些复杂。模型的灵敏度分析则称模型在M的水平下对参数不灵敏。则称参数在M的水平下对模型不灵敏。所谓“灵敏”、“不灵敏”的具体含义下面尝试对我们的糖尿病诊断模型进行灵敏度分析。灵敏度分析所以应该在注射糖之后多等一段时间再开始测量、估计参数较好。灵敏度分析从上面还能看出，模型对w的反应并不很敏感，所以w可以作为GTT的基本指标来对糖尿病进行诊断。模型评价 诊断指标：一般采用自然周期T=2/w作为诊断的依据。一般而言，正常人的T=4小时，当受检人的T明显大于4小时后，可以确诊得了糖尿病。 注意：4小时正是正常两餐的间隔。 模型的缺陷1：只适用于轻微患者(模型中假设g、h都非常小)； 模型的缺陷2：有时正常人也会出现指标异常，需要进一步做检验，可能是其他激素在起作用，模型失效。模型评价值得特别注意的是，我们在这个医学模型中引入了灵敏度分析的思路和方法。灵敏度分析有极为重要的实用价值，掌握其核心思想和方法，对我们今后的工作和学习都会有很大的帮助。2008年1-11月，中国卷烟制造行业实现累计工业总产值4029亿元，比上年同期增长了17.82%。四、香烟过滤嘴的功效吸烟有害健康的主要物质是烟叶在燃烧过程中产生的焦油，因此生产低焦油卷烟是今后烟草行业发展的方向。烤烟叶焦油含量高，晾晒烟叶焦油含量低。在烤烟叶中加入30％～40％的晒晾烟叶开发混合型卷烟，是降低焦油含量的有效措施。香烟燃烧时产生的烟雾中含几百种对人体有害的化学成分，特别是焦油、亚硝胺等40多种致癌物质。为减少烟民的抵触情绪，烟草制造商给卷烟装上一段过滤嘴。卷烟过滤嘴是用醋酸纤维制成的。研究发现，在吸烟过程中，总会有少量纤维脱落下来随高温的烟雾吸入呼吸道,成为癌变的诱因.另有研究发现，卷烟中尼古丁的滤除率，长滤嘴为43.28％，短滤嘴仅为9.93％。而吸入气道的烟雾中，有害成分一氧化碳却上升了30％~40。 过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系 人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中哪些因素影响大，哪些因素影响小。问题人体吸入的毒物，是随着时间连续积累的；香烟点燃后，未燃烧的香烟中的毒物含量也会不断积累增加。不同的人、不同的周边环境，吸烟方式会有不同，烟雾进入人体的多少也会有差异，需要做进一步简化。模型分析 分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立吸烟过程的数学模型。 简化问题起见，设吸烟者不间断、稳定的吸完一支香烟，吸烟方式和外部环境都不变。 毒物均匀分布在烟草中；点燃后，毒物随烟雾扩散，一部分进入空气，一部分延香烟传入人体。 沿香烟穿行的毒物要通过未点燃的烟草和过滤嘴进入人体，与之相比，进入空气后再次被人吸收的毒物量要少得多。模型假设定性分析1）l1~烟草长，l2~过滤嘴长，l=l1+l2，毒物量M均匀分布，密度w0=M/l12）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比是a′:a,a′+a=13）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的(单位时间)吸收率分别是b和4）烟雾沿香烟穿行速度是常数v，燃烧速度是常数u，v>>uQ~吸一支烟毒物进入人体总量0l1l2b构造模型T=l1/v时燃尽，下面设法根据假设建立各个变量之间的关系，计算出最终吸入人体的毒物总量来。引入两个函数：t时刻单位时间内通过截面x处的毒物流量t时刻截面x处单位长度烟草中的毒物含量t=0,x=0，点燃香烟q(x,t)~毒物流量w(x,t)~毒物密度0l1lvxq(x)x+xq(x+x)l21)求q(x,0)=q(x)t时刻单位时间内通过截面x处的毒物流量q(x,t)穿行速度v燃烧速度ut时刻，香烟燃至x=ut2)求q(l,t)t时刻单位时间内通过截面x处的毒物流量t时刻截面x处单位长度烟草中的毒物含量q(x,t)w(x,t)穿行速度v燃烧速度ul3)求w(ut,t)一段时间内，x处的密度变化单位时间流过的总量穿行速度v,燃烧速度u4)计算Q结果分析结果分析根据资料，与无过滤嘴香烟做对比带过滤嘴不带过滤嘴结果分析即：提高过滤嘴的吸附能力、降低烟草的吸附能力或加长过滤嘴的尺寸，对于减少毒物对人体侵害的作用是大致相同的。研究表明，香烟燃烧可产生两种烟流：主流烟和侧流烟。主流烟是指抽烟时吸入过程中所产生的烟，由于空气供应充足，温度可达950度，燃烧完全。侧流烟是指静置燃烧产生的烟，由于空气供应不足，温度仅达350度，燃烧不完全，所以产生较多有害气体及致癌物质。二手烟主要是由侧流烟加上部分主流烟所组成。研究表明，环境烟害可以使不吸烟的成人罹患肺癌，并且可以增加各种非癌症呼吸道疾病的危险性。吸二手烟对身体影响与吸烟者相似，生活在二手烟中的无辜者，其获病率是20％－30％。某些特定人群，如女性，因被动吸入二手烟患上述疾病死亡的数字与吸烟者几乎同等。